初高中衔接课程(7).doc

1、目 录课程说明 2使用说明 3第一讲 基本运算问题 4第二讲 方程与方程组 .14第三讲 一次函数与反比例函数 .24第四讲 二次函数 .35第五讲 不等式 .46第六讲 函数的综合应用 .58第七讲 三角形与四边形 .70第八讲 锐角三角函数 .79第九讲 圆 .79第十讲 高中数学常见的思想方法 .79课程说明课程名称 初高中数学衔接课程课程定位 关注初高中数学教材编排特点；关注初高中学生的思维发展水平；总体课程目标通过本课程的学习，能够起到以下效果：一、弥补基础知识的不足，夯实学习高中数学的良好基础。二、训练运算能力、空间想象能力、逻辑推理能力和分析问题解决问题的能力。三、初步掌握高中数

2、学思想方法，形成良好的学习习惯。课程适用区域（省或直辖市） 适用使用新课标教学的地区初中 高中数学衔接课程（教师用书）初高中数学衔接课程 戴又发编课程研发理念和思路高中数学难，难就难在初高中数学无论是在知识的广度和难度上，还是在思维模式和学习方法上，都存在较大的差异，形成了一个“高台阶” 。特别在新一轮课程改革后，初中数学的教学要求有所降低，有些学习高中数学所必须具备的基础知识、常用方法和基本能力，在初中的教材中都进行了淡化处理，有的甚至不做要求。 初高中数学衔接课程旨在帮助即将进入高中的学生弥补知识储备的漏洞，掌握基本的数学思想方法，形成良好学习习惯，提振学习信心，闯过高中数学的第一道坎。编

3、号 课题 课程容量第一讲 基本运算问题 120 分钟第二讲 方程与方程组 120 分钟第三讲 一次函数与反比例函 120 分钟第四讲 二次函数 120 分钟第五讲 不等式 120 分钟第六讲 函数的综合应用 120 分钟第七讲 三角形与四边形 120 分钟第八讲 锐角三角函数 120 分钟第九讲 圆 120 分钟主要内容第十讲 高中数学常见的思想方法 120 分钟使用说明本课程适合在即将学习高中数学课程的初中毕业生中使用。共分十讲，每讲安排有教学目标、重难点提示、基础知识梳理、主要方法归纳、典型例题精讲和课后巩固练习等栏目。无论在小组课还是一对一授课过程中，老师都可以进行二次开发，更需要根据学

4、生的具体情况进行个性化处理，让我们共同成为精品课程的开发者。第讲三角形与四边形课时数量 2 课时（120 分钟）适用的学生水平 优秀 中等 基础较差 初高中数学衔接课程 戴又发编教学内容一、 基础知识梳理1、三角形边角关系（1）边与边的关系任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三边（2）角与角的关系三角形三个内角和等于 180 ；任意一个外角等于和它不相邻的两个内角和（3）边与角的关系在同一个三角形中，等边对等角，等角对等边；在同一个三角形中，大边对大角，大角对大边三 角 形 内 角 平 分 线 分 对 边 所 成 的 两 条 线 段 ， 和 这 角 的 两 条 邻 边 成 比 例 2、三角形

5、的“四心”三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部过不共线的三点 A、B、C 有且只有一个圆，该圆是三角形 ABC 的外接圆，圆心 O 为三角形的外心三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点教学目标三角形边角关系，理解三角形的“四心”概念；掌握特殊三角形的性质，并能

6、灵活运用；理解和运用梯形和平行四边形性质教学重点、难点 重点：理解和运用特殊三角形和特殊四边形的基本性质难点：平面几何证明方法，逻辑思维能力的形成建议教学方法 讲练结合资 料任 取 两 个 正初高中数学衔接课程 戴又发编3、几种特殊的三角形（1）等腰三角形的内心 、 重心 、 垂心 、 外心必然在同一条直线上（2）直角三角形垂心为直角顶点； 外心为斜边的中点，外接圆直径等于斜边长；内心在三角形的内部，且内切圆的半径为 2bca+-（其中 分别为三角形的三边的长 为斜边） ,abca直角三角形的三边长满足勾股定理，常见的勾股数为3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17； 9，4

7、0，41；等等（3）正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心（内心、重心、垂心、外心）合一，该点称为正三角形的中心边长为 的正三角形的高为 ；内切圆的半径为 ；外接圆半径为 ；面积为aa23a63a32434、梯形（1）梯形的中位线长等于上下底和的一半；（2）等腰梯形的两条腰相等，两个底角相等，两条对角线相等；（3）等腰梯形是轴对称图形，对称轴是上下底中点的连线所在直线；（4）直角梯形有两个角是直角（5）对角线互相垂直的梯形面积等于两条对角线积的一半5、平行四边形（1）平行四边形两组对边平行；两组对边相等；平行四边形两组对角相等；两个邻 角 互 补 ；平行四边形两条对角线互相平分；（2）平行四

8、边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心；（ 3） 连 接 任 意 四 边 形 各 边 的 中 点 所 得 图 形 是 平 行 四 边 形 ；（ 4） 过 平 行 四 边 形 对称中心的任意直 线 ， 将 平 行 四 边 形 分 成 全 等 的 两 个 图 形 ；（ 5） 平 行 四 边 形 两 条 对 角 线 把 平 行 四 边 形 面 积 分 成 四 等 分 ；（ 6） 平 行 四 边 形 四 条 边 的 平 方 和 等 于 两 条 对 角 线 的 平 方 和 ；整 数 m， n， 那么 m2 n2， 2mn，m2 n2 是 一 组 勾股 数 这 是 我 国清 朝 数 学 家 罗 士

9、琳 （ 1789-1853）提 出 的 ， 被 称 为罗 士 琳 法 则 初高中数学衔接课程 戴又发编菱 形 、 矩 形 、 正 方 形 是 特 殊 的 平 行 四 边 形 二、主要方法归纳1平面几何是学习高中平面解析几何、立体几何、平面向量、三角函数的重要基础几何证明是对培养学生逻辑思维能力和空间想象能力具有十分重要的作用。几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题2几何证明的基本方法（1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决；（

10、2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；（3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的3. 掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的三、典型例题精讲例 1 如图，在直角三角形 中， 为直角，ABC于 求证：BCAD（1） ，

11、 ；2 D2（2）【证明】 （1）在 与 中， ，BACRttB= ，t于是有 ， D=D2初高中数学衔接课程 戴又发编同理可证得 BCDA2（2）在 与 中， ，Rtt ADCB-90 = ，B于是有 ，AD= C2例 2 在 中， 为 的平分线，求证： BBDCBA=【证明】 过 作 / ，交 延长线于 ，EADE则 ，C于是有 ，=由 CEAB = ，E DC=例 3 如图在 中， 为边 的中点， 为边 上的任意一点， 交 于点 某同ABEACBEADO学在研究这一问题时，发现了如下的事实：（1） 当时，有 .（如图 a）12AEC=+231AOD=+例 1 的结论称为直角三角形的射影定

12、理，也叫欧几 里 德 (Euclid)定理 初高中数学衔接课程 戴又发编（2）当 时，有 .（如图 b）132AEC=+24AOD=+（3）当 时，有 .（如图 c）453当 时（如图 d） ，参照上述研究结论，请你猜想用 表示 的一般结论，并给出1AECn=+ nAOD证明（其中 为正整数） 【解】 依题意可以猜想：当 时，有 成立1AECn=+2AODn=+证明：过点 D 作 DF/BE 交 AC 于点 F，D 是 BC 的中点，F 是 EC 的中点，由 ，可知 ， ， ，1AECn=+1AECn=n2nAE+= OF2例 4 求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2

13、1已知：D、E、F 分别为 三边 BC、CA、AB 的中点，ABC求证：AD、BE 、CF 交于一点，且都被该点分成 21 两段【证明】 连结 DE，设 AD、BE 交于点 G， 、 分别为 BC、AE 的中点，则 DE/AB，且 ，12DEAB= ，且相似比为 12，G即 ， AG设 AD、CF 交于点 ，同理可得，2,2.DCF=则 与 重合，GAD、BE、CF 交于一点，且都被该点分成 21 两段想一想，如图d 中，若，则1AODn=?EC初高中数学衔接课程 戴又发编例 5 求证：三角形的三条高交于一点已知： 中， 于 ， 于 ， 与 相交于 ABCDCBEADBEH求证： .H【证明】

14、 延长 CH 交 于 ，F 、 在以 CH 为直径的圆上，E ， ADCF =同理， 、 在以 AB 为直径的圆上，可得， EB ACF于是 ，B H例 6 在 中， 求AC3,2.C（1） 的面积 及 边上的高 ；BABSBE（2） 的内切圆的半径 ；r（3） 的外接圆的半径 R【解】 （1）如右图，作 于 DC为 的中点，,ABC ， 2D221=ADBSAC又 ， 1=ESABC 34（2）如图，设 为 的内心，则 到三边的距离均为 ，IIr连结 ， ,I，即2=+=AICIBAIBCSS1122rr解得 .（3） 是等腰三角形，ABC初高中数学衔接课程 戴又发编外心 在 上，连 ，OA

15、DB在 中，,R22,OBD解得22()1,R9.8例 7 求证：等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值已知：点 为等边三角形 内任一点，过点 分别PABCP作 、 、 的垂线，垂足分别为 、 、 ABCDEF求证： 为定值FED+【证明】 设等边三角形 的高为 ，h连结 、 、 ，则有P，ACPBABCSS+=即 PEAFDh+2121 ， ，BPAB=即 为定值，hFEP+例 8ABC 的三边 BC、CA、AB 或其延长线上有点 P、Q、R，且 P、Q、R 共线，则 1RBAQCP【证明】 过点 作 交 于 ，G则有 ，B=，ARCQB=三式相乘，得 1RBAQPC例 9 试证平 行

16、四 边 形 四 边 的 平 方 和 等 于 对 角 线 的 平 方 和 已 知 ： ABCD 是 平 行 四 边 形 由古希腊数学家梅涅劳斯（Menelaus）首先证得，故称为梅涅劳斯定理（简称梅氏定理） ，其逆命题也成立A B C P Q R G 初高中数学衔接课程 戴又发编求 证 ： 222 BDACDBCA+=+【证明】 过点 作 于 E于是 ，22)(=，两式相加，得22BD+=22BEDAEAC+)(222BB)+(+=222 BEAEADA+)(22B+=2ACA例 10 梯形 ABCD 中，AD BC，EF 经过梯形对角线的交点 O，且 EFAD（1）求 的值；BCOFADE+（

17、2）求证： 12=【解】（1） AD OFE于是 ，BAD=BEC= +A1（2 ） 由（1 ）知 ，即 ，FE=+OD又 ，O= EFBCAD2+四、课后巩固练习A 组B A C D E 初高中数学衔接课程 戴又发编1如图， 中，ADDFFB，ABCAEEGGC，FG4，则（ ）ADE1，BC 7 BDE 2，BC 6 CDE3，BC5 DDE 2，BC 8 2若一个梯形的中位线长为 15，一条对角线把中位线分成两条线段.这两条线段的比是 ，则梯3:2形的上、下底长分别是_3如图，在 中， 的外角平分线 交 的ABCADBC延长线于点 ，求证： D=B 组1 已知：如图，在梯形 中， ， 点

18、 ， ， 分别在边 ，ABCB ACEFGAB， 上， CEGF（1 ）求证：四边形 是平行四边形；（2 ）当 时，求证：四边形 是矩形2 EFG2已知平行四边形 ABCD 中，点 E、F 分别在边 AB、BC 上（1）若 AB10，AB 与 CD 间距离为 8，AE EB，BF FC，求DEF 的面积（2）若ADE、BEF、CDF 的面积分别为 5、3、4，求DEF 的面积C 组1设 AD 是ABC 的边 BC 上的中线，直线 CF 交 AD 于 F求证： FBAED2=BEDCF初高中数学衔接课程 戴又发编第 1 题 第 2 题2设 X、 Y、 Z 分别为ABC 的边 BC、CA、AB 上的一点，则 AX、BY、CZ 所在直线交于一点，求证： 1AZZBBXXCCYYA五、参考答案与提示A 组1B2 12 ， 18 3略B 组1提示：（1）证 ；（2）过 作 于 ，AEGFFCH2提示：C 组1提示：直线 CEF 截ABD，利用梅氏定理 1=FABCDE2提示：设 S APB S1，S BPC S2，S CPA S3则 ， ， ，AZZB S3S2 BXXC S1S3 CYYA S2S1三式相乘，即得证这就是著名的塞瓦定理意大利数学 Ceva1678 年发现，其逆命题也成立AB CPXYZ