1、05-06 第三学期线性代数期终考试试卷一 （30%）填空题（ 表示相应的单位矩阵）E1. 设 3 阶矩阵 的行列式 ,矩阵 ， 则矩阵123,A3A231,B的行列式 3 ；B2. 若矩阵 满足 ，则 的逆矩阵 E-a ；2OE1()3. 若向量组 的秩为 2，则参数 满足条件 -2 123,1,tttt；4. 假设 3 阶矩阵 的特征值为 ，矩阵 ，其中， 是 的伴随矩A,*BEA*A阵，则 的行列式 ；B5. 若矩阵 与矩阵 相似，则 1,-1 ； 1023x03By,xy6. 设 是 3 阶实对称矩阵 的相应于某个非零二重特征值的特征向(1,0),(1)TTA量。若 不可逆，则 的另一
2、个特征值为，相应的一个特征向量为；A7. 已知 3 元非齐次线性方程组 的系数矩阵的秩为 2, 并且， 是xb123,的 3 个解向量,其中 ,则 的通解是；xb123(,)(46)TTAxb8. 若 4 阶方阵 的秩都等于 1，则矩阵 的行列式 ；ABAB9. 若矩阵 与矩阵 合同，则参数 满足条件。21x2x二 （10%）计算下述行列式的值 ：1+1xDx三 （15%）设线性方程组 。问：当参数 取何值时, 线性方123014x程组有唯一解？当参数 取何值时，线性方程组有无穷多组解？当线性方程组有,无穷多组解时，求出其通解。四 （12%）假设矩阵 ， ，矩阵 满足 ，102A103CX1*
3、2ACX其中 是 的伴随矩阵，求 。*X五 （10%）已知向量组 线性无关，问：参数 满足什么条件时，向量组123,abc线性相关？123,abc六 （15%）已知二次型 22123131(,)fxxx 写出二次型 的矩阵； 求一正交变换 ，将 变成其标准形（并写出 的f Qyf f相应的标准形） ； 求当 时 的最大值。Tx123(,)fx七 （8%）证明题：1. 设向量组 中， 线性相关， 线性无关，证明： 能1234,123,234,1由 线性表示。2342. 设 是 阶正定矩阵,证明：矩阵 也是正定矩阵。An1AE07-08 学年第一学期线性代数转系考试试卷一 (18%)填空题（ 表示
4、单位矩阵）E1. 设 ， ，若 和 都是对称矩阵，则 的值分别为；102A41xByAB,xy2. 若 矩阵 的特征值是 ，则 的伴随矩阵 的行列式等于；3,2*A3. 如果矩阵 相似于对角阵，则参数 必满足条件；0xx4. 如果矩阵 是正定的，则参数 满足条件；3A5. 对秩为 的 矩阵 ，非齐次线性方程组 的解集合中，线性无关的rsn()Axb解向量的个数为；6. 如果将实对称矩阵按合同关系分类，使得两个矩阵在同一类的充分必要条件是它们是合同的，则 实对称矩阵全体可以分成的合同类的个数为二(12%) 选择题1 对于 矩阵 ，齐次线性方程组 的基础解系中向量个数不可能是46AAx（A）； （
5、B）； （C）； （D）2 假设 是矩阵 的属于不同特征值 的特征向量，则 线性无关的充,kl,()A分必要条件是（A） ； （B） ； 0k0l（C） ； （D） 3 下列论断中，正确的一项为（）存在实对称矩阵 ，使得 ，但 ；,ABO2AB（）存在实对称矩阵 ，使得 ，但 ；2（）存在实对称矩阵 ，使得 与 相似，但 与 不合同；,（）存在实对称矩阵 ，使得 与 合同，但 与 不相似三（10%）计算行列式 0342D四（12%）已知线性方程组 的每个解都满足方程 。1234xa 12xb1 求参数 的值；,ab2 求所述线性方程组的通解五（14%）已知矩阵方程 与 有公共解求公共10212
6、X01aXbc解 ，并求参数 的值X,abc六（12%）已知矩阵 与 相似求参数 的值，并求一01Ab01,ab正交矩阵 使得 QT七（14%）假设 是不全为零的实数，二次型,ac123123123(,)()()fxxaxbc1 求二次型 的矩阵 ；A2 证明：二次型 的秩等于 2 当且仅当 不全相等；f ,3 当 的秩等于 2 时，求 的正、负惯性指数ff八（8%）设 是 上三角矩阵，且 的主对角元素均为 1记 （其中 是单An BIAI位阵） 。证明 可逆，且 12nIB05-06 第三学期线性代数期终考试试卷八 （30%）填空题（ 表示相应的单位矩阵）E10. 设 3 阶矩阵 的行列式
7、,矩阵 ， 则矩阵123,A3A231,B的行列式 ；B11. 若矩阵 满足 ，则 的逆矩阵 ；2OE1()12. 若向量组 的秩为 2，则参数 满足条件；123,1,tttt13. 假设 3 阶矩阵 的特征值为 ，矩阵 ，其中， 是 的伴随矩A,*BEA*A阵，则 的行列式 ；B14. 若矩阵 与矩阵 相似，则 ； 1023x03By,xy15. 设 是 3 阶实对称矩阵 的相应于某个非零二重特征值的特征向(1,0),(1)TTA量。若 不可逆，则 的另一个特征值为，相应的一个特征向量为；A16.已知 3 元非齐次线性方程组 的系数矩阵的秩为 2, 并且， 是xb123,的 3 个解向量,其
8、中 ,则 的通解是；xb123(,)(46)TTAxb17.若 4 阶方阵 的秩都等于 1，则矩阵 的行列式 ；ABAB18.若矩阵 与矩阵 合同，则参数 满足条件。21x2x九 （10%）计算下述行列式的值 ：1+1xDx十 （15%）设线性方程组 。问：当参数 取何值时, 线性方123014x程组有唯一解？当参数 取何值时，线性方程组有无穷多组解？当线性方程组有,无穷多组解时，求出其通解。十一 （12%）假设矩阵 ， ，矩阵 满足102A103CX，其中 是 的伴随矩阵，求 。1*2AXC*十二 （10%）已知向量组 线性无关，问：参数 满足什么条件时，向量123,abc组 线性相关？12
9、3,abc十三 （15%）已知二次型 22123131(,)fxxx 写出二次型 的矩阵； 求一正交变换 ，将 变成其标准形（并写出 的f Qyf f相应的标准形） ； 求当 时 的最大值。Tx123(,)fx十四 （8%）证明题：3. 设向量组 中， 线性相关， 线性无关，证明： 能1234,123,234,1由 线性表示。2344. 设 是 阶正定矩阵,证明：矩阵 也是正定矩阵。An1AE03-04 学年第三学期线性代数期终考试试卷二 （24%）填空题：1 假设矩阵 ，则 。102AnA2 假设向量组 A： ，则当参数 满足条件时，向量组 A 的秩为1,tttt1；时 A 的秩为 2；时
10、A 的秩为 3。3 若向量 是矩阵 的特征向量，则 。b10a,ab4 设矩阵 ， ，且 ，则参数 满足1aA1B2()ABB,ab条件。5 若矩阵 与对角阵 相似，则 满足条件。3041xx6 若 是正交矩阵，则 满足条件。aAbc,abc7 若对满足条件 的实对称矩阵 ， 都是正定矩阵，则实数234AEOAaE必定满足条件。a三 （8%）求矩阵 的行列式 的值。1xdet()四（15%）已知矩阵 ，向量 。12Ap31,bq1 若 是线性方程组 的解，试求 的值，并求这时 的通解；xb,Axb2 若 有无穷多组解，但 不是 的解，求 的值。xbAxb,p五 （15% ）解矩阵方程 。其中
11、， 。2XB3012021B六 （15%）设二次型 22123131(,)fxxx1 写出二次型 的矩阵；f2 求一正交变换 将 化成标准形，并写出相应的标准形。XQYf七 （12%）设 3 阶矩阵 的特征值是 （二重）和 ，且 ，A2410T是 的相应于特征值 2 的特征向量， 是 的相应于01T A特征值是 4 的特征向量。求矩阵 及 。()nAE八 （5% ）已知矩阵 ， 。问：当参数 满足什么条件时，矩12Ax31By,xy阵方程 有解，但 无解？XBY九 （6%）证明题：1 已知向量组 可以由 线性表示。若向量组 的秩为 2，证明：123,12,123,线性无关。2,2 设 2 阶方
12、阵 ，且 ， 。若 不全为零，证明：abAcd21adbc,不与任何对角阵相似。01-02 学年第三学期线性代数期终考试试卷一（33%）填空题（ 表示单位矩阵， 表示零矩阵， 指矩阵 的转置矩阵）：EOTA1 设 ， ，则 ； ；(,2)(1,)T9()T2 设矩阵 ， ，则行列式 ；03A2345607B1AB3 若向量组 ，则当参数 时， 线性相关；1231,3kk123,4 矩阵 的伴随矩阵 = ；2abAcd*A5 设矩阵 及 均可逆， ，则 ；E1()GE1G6 分块矩阵 的逆矩阵为 ；O7 设 矩阵。若齐次线性方程组 的解空间是 2 维的，则齐次线性方程组5A是 Ax的解空间是Tx
13、维的；8 与向量 ， 均正交的一个单位向量为；(1,0)T(1,)T9 已知矩阵 ， ，则当数 满足条件时， 是正定的；243MkAMkA10 若 n 阶实对称矩阵 满足 ，且有两个不同的特征值, 则当参数 满23EOk足条件时，矩阵 是正定的；E二（12%）求矩阵方程 的解，其中， 。2XAB31100,32AB三（12%）设 3 阶方阵 有特征值 ， 是其相应于特征值 1()二 重 和 12,11的特征向量， 是其相应于特征值 的特征向量。3011. 求 。9A及2. 若 3 阶实对称矩阵 的特征值也是 ，证明： 与 必定相似。B1()二 重 和 AB四（12%）设线性方程组 123412
14、340523()1xxpqx1 问：当参数 满足什么条件时，方程组无解、有唯一解、有无穷多解？,pq2 当方程组有无穷多解时，求出其通解（写成向量形式） 。五（12%）矩阵 。3120A2. 求一 42,();BOB矩 阵 使 得 且 秩3. 问：是否存在秩大于 2 的矩阵 使得 ？为什么？CA六（12%）设实对称矩阵 10432.kB与 相 似1. 求参数 ；k的 值2. 求一正交矩阵 ,.TQAB使 得七（7%）证明题：1 设 是矩阵 的两个互异的特征值， 是 的属于 的线性无关的特征向量，2,12,A1是 的属于 的特征向量。证明： 线性无关。3A32 已知 阶方阵 相似于对角阵，并且，
15、矩阵 的特征向量均是矩阵 的特征向量（注：n B， 的特征值未必相同） 。证明 BAB线性代数教学大纲32 学时本课程是以矩阵为主要工具研究数量间的线性关系的基础理论课程，也是本科阶段关于离散量数学的最重要的课程。本课程的目的是使学生熟悉线性代数的基本概念，掌握线性代数的基本理论和基本方法，提高其抽象思维、逻辑思维的能力，为用线性代数的理论解决实际问题打下基础。教学内容和基本要求一 行列式1 理解二阶、三阶行列式的定义，熟练掌握它们的计算；2 知道全排列及全排列的逆序数的定义，会计算排列的逆序数，知道对换及对换对于排列的奇偶性的影响；3 了解 阶行列式的定义，会用行列式的定义计算简单的 阶行列
16、式；n n4 掌握行列式的性质，熟练掌握行列式按行、列展开公式，了解行列式的乘法定理；5 掌握不很复杂的低阶行列式及简单的高阶行列式的计算；6 理解 Cramer 法则，掌握用 Cramer 法则求方程组的解的方法。二 矩阵1 理解矩阵的概念；2 理解矩阵的加法、数乘、乘法运算及矩阵的转置及相关的运算性质，熟练掌握上述运算；3 理解零矩阵、单位矩阵、数量矩阵、对角阵、三角阵、对称矩阵、反对称矩阵的定义及其运算性质； 4 理解矩阵的可逆性的概念，掌握矩阵可逆的判别方法，掌握逆矩阵的性质；5 了解伴随矩阵的概念，熟练掌握伴随矩阵的性质，掌握利用伴随矩阵计算矩阵的逆矩阵；6 了解分块矩阵的运算性质，
17、掌握简单的分块矩阵的运算规则。三 矩阵的初等变换与 Gauss 消元法1 理解矩阵的初等行变换与 Gauss 消元法的关系，理解矩阵的初等变换及矩阵的等价关系的概念；2 了解矩阵的等价标准形的概念，理解矩阵的初等变换与矩阵的乘法间的关系；3 了解可逆矩阵与初等矩阵间的关系，掌握用初等变换求逆矩阵的方法，会求简单的矩阵方程的解；4 理解矩阵的秩的概念，熟练掌握矩阵的秩的求法，理解矩阵运算前后的秩之间的关系；5 熟练掌握用矩阵的秩判断线性方程组的相容性及讨论解的情况的方法。四 向量组的线性相关性1 理解向量的概念，理解线性组合和线性表示的概念；2 理解向量组的线性相关、线性无关的概念以及有关性质，
18、掌握向量组的线性相关性的判别方法；3 理解向量组的秩的概念，理解向量组的秩与矩阵的秩间的关系，熟练掌握向量组的秩的性质；4 理解向量组的最大线性无关组的概念，理解向量组的最大线性无关组与向量组的秩间的关系，会求向量组的最大线性无关组；5 理解齐次线性方程组有非零解的充要条件，理解齐次线性方程组的基础解系的概念，熟练掌握基础解系的求法；6 理解非齐次线性方程组有解的充要条件，理解非齐次线性方程组与相应的齐次线性方程组的解之间的关系，熟练掌握非齐次线性方程组的通解的表达式的求法；7 知道向量空间、子空间、向量空间的基及维数的概念，会判断向两空间的子集是否构成子空间，会求由一向量组生成的子空间及一齐
19、次线性方程组的解空间的基及它们的维数；8 知道坐标变换公式，会求两组基间的过渡矩阵。五 相似矩阵和二次型1 理解向量的内积、长度及正交性的概念，了解向量内积的基本性质；2 理解向量空间的标准正交基的概念，熟练掌握 Schimidt 正交化方法；3 理解正交矩阵的概念，了解正交矩阵的性质；4 理解矩阵的特征值、特征向量的概念，熟练掌握矩阵的特征多项式、特征值、特征向量的求法，理解特征多项式、特征值、特征向量的性质；5 理解矩阵的相似性概念，理解两矩阵相似的必要条件；6 熟练掌握矩阵相似于对角阵的充要条件，并熟练掌握相应的对角阵及相似变换矩阵的求法；7 熟练掌握实对称矩阵的性质，熟练掌握求正交矩阵将实对称矩阵化成对角阵的方法；8 理解二次型及二次型的矩阵的概念，熟练掌握二次型的矩阵的求法；9 理解可逆线性变换及二次型的标准形的概念，了解二次型的规范形的概念；10 理解矩阵间的合同关系的概念；11 理解二次型在正交变换下的标准形与二次型的矩阵的特征值的关系，熟练掌握用正交变换化二次型为标准形的方法，掌握用可逆线性变换化二次型为标准形的方法；12 理解惯性定理的结论，掌握判断实对称矩阵合同的方法；13 理解正定性的概念，熟练掌握判断二次型、实对称矩阵是否正定的方法。注：对于概念与结论分知道、了解、理解三个层次，对方法分会、掌握、熟练掌握三个层次。
