1、函数模型及其应用复习小结复习目标：能用函数刻画实际问题，强化函数的应用意识能利用计算器或计算机，比较指数函数、对数函数、及幂函数的增长差异，体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数模型增长的含义掌握实际问题的数学建模过程，能把所学的知识真正应用到实际生活中去知识要点：一不同函数模型能够刻画现实世界不同的变化规律例如，指数函数、对数函数以及幂函数就是常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型你能说说这三种函数模型的增长差异吗？你能举例说明直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义吗？二函数模型的应用，一方面是利用已知函数模型解决问题；另一方面是建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解
2、释有关现象，对某些发展趋势进行预测你能结合实例说明应用函数模型解决问题的基本过程吗？三用函数模型解决实际问题的过程中，往往涉及复杂的数据处理在处理复杂数据的过程中，需要大量使用信息技术因此在函数应用的学习中要注意充分发挥信息技术的作用典型例题解析：例 某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为 40 元/ 个，出厂价为 60 元/个，日销售量为 1000个.为适应市场需求，计划提高蛋糕档次，适度增加成本，若每个蛋糕成本增加的百分率为x(0x1)，则每个蛋糕的出厂价相应提高的百分率为 0.5x，同时预计日销售量增加的百分率为0.8x，已知日利润 =（出厂价 成本） 日销售量，且设增加成本后的日利润为 y.（）
3、写出 y 与 x 的关系式；（）为使日利润有所增加，问 x 应在什么范围内？分析：由于成本的增加，相应的出厂价也提高了，日销售量也增加，因此在计算增加成本后的日利润时，要考虑这三个量的变化解：（）由题意得 ).10)(34(20 )8.0(5.162 xxxy（）要保证日利润有所增加,当且仅当 1xy本例主要是利用二次函数来解决实际问题，这是本节中的一个重点，也是难点，更是易错点在解决实际问题时，常把实际问题转化为二次函数的有关知识来解决，如求最值问题等，但要注意函数的定义域即 ， 解得 10342x430x点评：本例是实际应用问题，解题过程是从问题出发，引进数学符号，建立函数关系式，再研究函
4、数关系式的定义域，并结合问题的实际意义做出回答，这个过程实际上就是建立数学模型的一种最简单的情形。练习：某产品总成本 C（万元）与产量 （台）满足关系 ，其中x 230.1Cx，若每台产品售价 25 万元，则厂家不亏本的最低产量为 台024x某商场售物 A，日销量 1000 件，每件可获利 4 元，据经验，每件降价 元，则每天多0.买 100 件，问每件减价多少元，每天所得利润最大，最大利润为多少元解： 元.6250,5.1);43(1max2 yxxy时例 （1）在 1975 年某市每公斤猪肉的平均价格是 元，而到了 2005 年，该市每公斤猪1.4肉的平均价格是 元，假定这 30 年来价格
5、年平均增长率相同，求猪肉价格的年平均增长15率（2 ）另一方面，1975 年时该市职工月平均工资是 40 元，而到了 2005 年，该市职工月平均工资是 860 元，通过猪肉价格的增长和工资增长的对比，试说明人们的生活水平是日益提高，并计算若按这种速度，到 2020 年，估计该市职工月平均工资是多少元解：（1）设猪肉价格的年平均增长率是 ，则有%x利用计算器可得 305.4(%)x8.2（2 ）该市职工月工资和年平均增长率是 ，则有，利用计算器可得 80110.因为 ，因此人们的生活水平是日益提高.照这样的速度到 2020 年，职工月平均工资是元156()40练习：我国工农业总产值计划从 20
6、00 年到 2020 年翻两番，设平均每年增长率为 ，则 （ x）A. B C D4)1(9x3)1(20x2)1(0x4)1(20x有一片树林现有木材储蓄量为 7100 cm3，要力争使木材储蓄量 20 年后翻两番，即达到28400cm3 （1 ）求平均每年木材储蓄量的增长率 （2）如果平均每年增长率为 8%，几年可以翻两番？这是一个指数函数模型的应用题，加强对计算器及计算机的使用，进一步理解指数增长的含义 解：（1）设增长率为 x，由题意得 28400=7100（1+ x） 20（1+x） 20=420lg（1+x）=2lg2，lg（1+x）0030101+x1072，x 0072=72%
7、（2）设 y 年可以翻两番，则 28400=7100（1+0 08） y，即 108 y=4y= ，故 18 年可翻两番2.8034.68.1lg例我国 1999 年至 2002 年国内生产总值（单位：万亿元）如下表：年份 1999 2000 2001 2002 0 1 2 3生产总值 8.2067 8.9442 9.5933 10.2398(1) 画出函数图形,猜想它们之间的函数关系,近似地写出一个函数关系式；(2) 利用得出的函数关系式求生产总值并与表中实际生产总值比较；(3) 利用关系式预测 2003 年我国的国内生产总值分析：根据数据表，画出散点图，用比较合适的函数拟合散点，从而得到一
8、个函数模型，然后用此模型解释这一实际问题解：（）画出函数图形（略） ，从图形可以看出，画出的点近似地落在一条直线上，设所求的函数为 ，把两点（，8.2067）和(3,10.2398)代入公式,解得bkxy所求的函数关系为 2067.8,.0bk 2067.8.)(xfy（）由得到的关系式计算出 2000 年和 2001 年的国内生产总值分别为， 与实际的生产841.)(f 51.9.67.0)2(f总值相比,误差不超过 0.1 亿元（）若按此规律增长，2003 年时，即时，可得培养学生对数据的分析处理的能力，在刻画拟合函数时，培养学生的动手能力及分析推理能力，让学生体会求拟合函数的基本过程，并
9、在以后的学习生活中加以运用即预测 2003 年国内生产总值约为 109175 万亿9175.026.8467.0)(f元点评：通过上述模型解决实际问题是否符合实际情况，还要经过实践的验证，若与实际误差较大，就要修正得到的数学模型练习：麋鹿是国家一级保护动物，位于江苏省中部黄海之滨的江苏大丰麋鹿国家级自然保护区成立于 年，最初一年只有麋鹿 100 头，由于科学的人工培育，这种当初快要灭绝的动物1986只数 （只）与时间 （年）的关系可近似地由关系式 给出，则到 2006 年yx 2log(1)yax时，麋鹿的只数约为（ ）A400 B440C500 D600今有一组实验数据如下： t 1.99
10、3.0 4.0 5.1 6.12v 1.5 4.04 7.5 12 18.01现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（ ）A B. C. D.t2logtv21log21tv2tv例有一批单放机，每台 元，两个商场均有销售甲商场的优惠办法是：买 1 台少收 280元，买 2 台每台少收 4 元，买 3 台少收 6 元，直到减到半价为止乙商场的优惠办法是：一律按原价的 销售某公司要为每个员工买一台这样的单放机，问到哪个商场购买7%比较合算？分析：要比较到哪个商场购买比较合算，就看买相同的台数谁花的钱少因此设大家都买台，列出所需钱数的函数关系式即可解：设共买 （台
11、） ，在甲乙两个商场购买分别需 和 元，则有x ()fxg， (802)4f(120)x(56g在同一直角坐标系中分别作出函数 和 的图象（图略） ，由图象可知，它们有一个)fx交点 由图可知，当公司员工少于 12 人时，到乙商场购买合算；当当公司员工恰(12,67)好是 12 人时，到甲乙商场都一样；当公司员工多于 12 人时，到甲商场购买合算一方面渗透数形结合的思想，另一方面生活中经常会碰到类似的事情，需要你对某个事件作出选择，这就可用我们学过的数学知识来分析解决，体现了数学的应用价值，培养学生学好数学的信心点评：这是一类函数值大小的比较的问题，一般可借助计算器或计算机，画出函数图形，从图
12、形上比较直观地反映出来；也可通过大小比较（一般是作差） ，求出满足题意的答案练习：某养鱼场，第一年鱼产量增长率为 200%，以后每年产量的增长率都为前一年的一半，则四年后鱼产量为原来的 倍45某厂出售某种手表,成本 24 元/只,如直接设立门市部,每只售价可定为 32 元,但需支付门市费用每月 2400 元;如批发给零售商,出厂价只能定为 28 元/只, 那么该手表每月销量至少为只时设立门市部较合算例设海平面上（海拔高度为 0 米）是一个标准大气压，随着海拔高度的增加，气压越来越低当海拔高度为 1000 米时，约为 个大气压；当海拔高度为 10000 米时，约为.891个大气压，当海拔高度为
13、20000 米时，约为 个大气压设海拔高度为 米的地0.317 0.2x方，气压为 个标准大气压y（1 ）建立 与 间的函数模型，找出 与 的函数关系式；xyx（2 ）从身体需氧的角度讲，当大气压低于 个大气压时，就会比较危险根据你找的.65与 的函数关系，计算常人攀登山的高度不宜超过多少米y分析：先要根据散点图，找出合适的函数模型进行拟合计算常人攀登山的高度不宜超过多少米就是用二分法找零点解：显然， 随 的增加而减小且依题意，不可能是直线，也不可能是反比例函数，而用x指数型函数较适合设 ，由 时， 知， ，即yka01ykxya， ； ， ；10.89a0.8910.37a.89， ； 2
14、.xy（2 ）设 ，构造函数 ，.65.x().65g用二分法求此方程的零点 ，1， ， ，()0g()0,5， ， ，. (2.)x， ， ，251,， ， ，(3.7)(.)g.37， ， ，10g3750(5,.)， ， ，.4.14x知， 约为 米1x6点评：在计算常人攀登山的高度不宜超过多少米时，可用前面学过的知识，在根据数据，画出散点图后，需要选择一个函数模型来拟合，旨在培养学生求拟合函数，如何使所求函数更能反映事实，能对未来作出更准确的判断在计算常人攀登山的高度不宜超过多少米时，采用二分法，旨在加强知识间的联系注意知识间的联系练习 5：从 2001 年起的 20 年内，我国力争使
15、全国工农业总产值翻两番按目前的年平均增长率（约为 ）计算，要实现这一目标，约需（ ）8.1%A20 年 B18 年 C16 年 D15 年某医院研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量使用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量 与时间 之间近似满足如图所示的曲线，yt（1 ）写出服药后 与 之间的函数关系式；（2 ）据测定，每毫升血液中含药量不少于 4 微克时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药为 7：00 ，问一天中怎样安排服药时间、次数，效果最佳？解：（1）依题意，得 )85.0(,324,1tty（2）设第二次服药时，在第一次服药后 小时，则 ， （小时）1t 45321t31t因而第
16、二次服药应在 10：00.设第三次服药在第一次服药后 小时，则此时血液中含药量应为两次服药后含药量之和，2t即有 ，解得 （小时），453)(4532tt 72t因而第三次服药应在 14:00.x860.5O 小时微克设第四次服药在第一次服药后 小时（ ），则此时第一次服的药已吸收完，此时3t83t血液中含药量应为第二、三次之和 ，4532)7(452)(43t解得 （小时），故第四次服药应在 17：30.5.103t复习小结：用函数有关的知识建立数学模型，难点是理解题意，把实际问题数学化，对数学建模的原理要有一定的认识数学建模的基本步骤是：（）解读：领会题意，并把题中的普遍语言译成数学语言；
17、（）建模：根据题目要求，分析量与量之间的关系，建立恰当的函数模型并注意题目对变量的限制条件；（）解模：对已经数学化的问题，用所学过的数学知识处理，求出解；将数学问题的解代入实际问题检验，舍去不合题意的解，并作答几种常见的函数模型：（）函数模型为正、反比例函数的问题；（）函数模型为一次函数的问题；（）函数模型为二次函数的问题；（）函数模型为指数、对数、幂函数的问题；4上述函数模型常解决的几类应用题：（1 ）几何问题；（ 2）利润最大，费用最省问题；（3 ）复利问题；（4）变化率问题；（5）物理问题课外同步训练：轻松过关在本市投寄平信,每封信不超过 20 克付邮资 08 元, 超过 20 克但不超
18、过 40 克付 16元,依此类推, 每增加 20 克增加 08 元(信的质量在 100 克以内),某人所寄一封信 725 克,则应付邮资 元 （ ）A2 4 B28C3 D32商品 A 降价 10%促销，经一段时间后欲恢复原价，需提价（ ）A B C D10%1910%9长为 4 宽为 3 的矩形，当长增加 宽减少 时面积最大，则 ，最大面积x2xS某厂 1998 年产值为 ，预计每年以 %递增，则 2010 年的产值为（ ）anA B 13)(na12)(C D1%)(na12)(90na按复利计算利率,存入银行二万元, 年息 8%,5 年后支取,可得利息（ ）A B52(8) 4(8%)C
19、 D121麋鹿是国家一级保护动物，位于江苏省中部黄海之滨的江苏大丰麋鹿国家级自然保护区成立于 年，最初一年只有麋鹿 100 头，由于科学的人工培育，这种当初快要灭绝的动物986只数 （只）与时间 （年）的关系可近似地由关系式 给出，则到 2006 年yx 2log(1)yax时，麋鹿的只数约为（B ）A400 B440C500 D600CE OA BD适度拓展世界人口已超过 56 亿，若按千分之一的年增长率计算，则两年增长的人口就可相当于一个（ ）A新加坡（270 万） B香港（560 万） C （瑞士 700 万） D （上海 1200 万）如图所示，有一块半径为 R 的半圆形纲板，计划剪裁
20、成等腰梯形 ABCD 的形状，它的下底 AB 是 O 的直径，上底 CD 的端点在圆周上，写出这个梯形周长 和腰长 间的函数式，yx并求出它的定义域。解：如图所示，AB=2R，C、D 在O 的半圆周上设腰长 AD=BC= ，作 DEAB，垂足为 E，x墨守成规结 BD，那么ADB 是直角，由此 RtADEABD。 即 ABE2Rx2RCD22所以， 即)(Ryxy4再由 解得022RxRx2周长 与腰长 的函数式为： ，定义域为：y xRy421)2,0(R某厂生产一种服装,每件成本 40 元,出厂价定为 60 元/件,为鼓励销售商订购,当一次订购量超过 100 件时,每多订购一件 ,订购的全
21、部服装的出厂单价就降低 0.02 元,据市场调查, 销售商一次订购量不超过 500 件,（1 ）设一次订购量为 件,实际出厂单价为 P,写出 的表达式;x()Pfx（2 ）当销售商一次订购 450 件时,该厂获得利润多少元?解：（1） ；()Pfx60.2(10)x(10)5x（2 ）利润 ,(40)LPxNxx)501(5022时， 元450x85综合提高居民自来水收费规定：月总费用=基本费用 3 元+保险金 C 元+超额费（C 为定值且C 5 元） ；每月每户用量不超出基本限额 A m3 付基本费 3 元和保险费，超出 A 部分付 B 元/m3,某户近三月费用见表，求 A、B、C月序号 用水量（m 3）费用（元）1 4 42 25 14 35 19解：费用 y= ,由于 ,故 2，3 月都超额)()(30AxBc8c(1)1 月不超额, ， ；41c又 ，故 ；1259()50.(2)如果 1 月份也超额, 将数据代入 ，无解3()ycxB综合之, 0.,1ABC
