1、第 6 讲 双曲线最新考纲1了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)2了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用3理解数形结合的思想.知 识 梳 理1双曲线的定义平面内动点 P 与两个定点 F1， F2(|F1F2|2 c0)的距离之差的绝对值为常数 2a(2a2 c)，则点 P 的轨迹叫双曲线这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距2双曲线的标准方程和几何性质标准方程 1( a0， b0)x2a2 y2b2 1( a0， b0)y2a2 x2b2范 围 x a 或 x a， yR xR， y a 或 y a对称性 对称轴：坐标轴；对称
2、中心：原点顶点 A1( a,0)， A2(a,0) A1(0， a)， A2(0， a)渐近线 y xba y xab离心率 e ， e(1，)，其中 cca a2 b2实虚轴 线段 A1A2叫做双曲线的实轴，它的长| A1A2|2 a；线段 B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长| B1B2|2 b； a 叫做双曲线的半实轴长， b 叫做双曲线的半虚轴长性 质a， b， c 的关系 c2 a2 b2(c a0， c b0)辨 析 感 悟1对双曲线定义的认识(1)平面内到点 F1(0,4)， F2(0，4)距离之差等于 6 的点的轨迹是双曲线()(2)平面内到点 F1(0,4)， F2(0，4)距离
3、之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双曲线()2对双曲线的标准方程和几何性质的理解(3)方程 1( mn0)表示焦点在 x 轴上的双曲线()x2m y2n(4)(2013新课标全国卷改编)已知双曲线 C： 1( a0， b0)的离心率为 ，y2a2 x2b2 52则 C 的渐近线方程为 y x.()12(5)(2013陕西卷改编)双曲线 1 的离心率为 ，则 m 等于 9.()x216 y2m 54(6)若直线与双曲线交于一点，则直线与双曲线相切()感悟提升1一点提醒 双曲线定义中的“差”必须是“绝对值的差” ，常数必须小于| F1F2|且大于零，如(1)中应为双曲线的一支；如(2)中应为两条射
4、线2二个防范 一是双曲线 1( a0， b0)的渐近线方程为 y x，而双曲线x2a2 y2b2 ba 1( a0， b0)的渐近线方程为 y x ，应注意其区别与联系，如y2a2 x2b2 ab(即 x bay)(4)；二是直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时， 直线与双曲线仅有一个交点，如(6)考点一 双曲线的定义及应用【例 1】 (1)若双曲线 1 上的一点 P 到它的右焦点的距离为 8，则点 P 到它的左焦x24 y212点的距离是( )A4 B12 C4 或 12 D6(2)已知 F 为
5、双曲线 C： 1 的左焦点， P， Q 为 C 上的点若 PQ 的长等于虚轴长的x29 y2162 倍，点 A(5,0)在线段 PQ 上，则 PQF 的周长为_解析 (1)由题意知 c 4，设双曲线的左焦点为 F1(4,0)，右焦点为 F2(4,0)，4 12且| PF2|8.当 P 点在双曲线右支上时，| PF1| PF2|4，解得| PF1|12；当 P 点在双曲线左支上时，| PF2| PF1|4，解得| PF1|4，所以| PF1|4 或 12，即 P 到它的左焦点的距离为 4 或 12.(2)由 1 得 a3， b4， c5.x29 y216| PQ|4 b162 a.又 A(5,0
6、)在线段 PQ 上， P， Q 在双曲线的右支上，且 PQ 所在直线过双曲线的右焦点，由双曲线定义知Error!| PF| QF|28. PQF 的周长是| PF| QF| PQ|281644.答案 (1)C (2)44规律方法 (1)双曲线定义的集合语言： P M|MF1| MF2|2 a,02 a| F1F2|是解决与焦点三角形有关的计算问题的关键，切记对所求结果进行必要的检验(2)利用定义解决双曲线上的点与焦点的距离有关问题时，弄清点在双曲线的哪支上【训练 1】 (1)(2014大连模拟)设 P 是双曲线 1 上一点， F1， F2分别是双曲线左、x216 y220右两个焦点，若| PF
7、1|9，则| PF2|( )A1 B17C1 或 17 D以上答案均不对(2)已知 F 是双曲线 1 的左焦点， A(1,4)， P 是双曲线右支上的动点，则x24 y212|PF| PA|的最小值为( )A5 B54 C7 D93解析 (1)由双曲线定义| PF1| PF2|8，又| PF1|9，| PF2|1 或 17，但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为 c a6421，| PF2|17.(2)如图所示，设双曲线的右焦点为 E，则 E(4,0)由双曲线的定义及标准方程得|PF| PE|4，则| PF| PA|4| PE| PA|.由图可得，当 A， P、 E 三点共线时，(| PE|
8、 PA|)min| AE|5，从而| PF| PA|的最小值为 9.答案 (1)B (2)D考点二 求双曲线的标准方程【例 2】 (1)已知双曲线 1( a0， b0)和椭圆 1 有相同的焦点，且双曲x2a2 y2b2 x216 y29线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为_(2)与双曲线 x22 y22 有公共渐近线，且过点 M(2，2)的双曲线方程为_解析 (1)椭圆 1 的焦点坐标为 F1( ，0)， F2( ，0)，离心率为 e .由于双x216 y29 7 7 74曲线 1 与椭圆 1 有相同的焦点，因此 a2 b27.x2a2 y2b2 x216 y29又双曲线的离心率 e
9、 ，所以 ，所以 a2， b2 c2 a23，故双曲线a2 b2a 7a 7a 274的方程为 1.x24 y23(2)设与双曲线 y21 有公共渐近线的双曲线方程为 y2 k，将点(2，2)代入得x22 x22k (2) 22.222双曲线的标准方程为 1.y22 x24答案 (1) 1 (2) 1x24 y23 y22 x24规律方法 求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据 a， b， c， e 及渐近线之间的关系，求出 a， b的值如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为 ( 0)
10、，再由条件求出 的值即可.x2a2 y2b2【训练 2】 根据下列条件，求双曲线的标准方程(1)虚轴长为 12，离心率为 ；54(2)焦距为 26，且经过点 M(0,12)(3)经过两点 P(3,2 )和 Q(6 ，7)7 2解 (1)设双曲线的标准方程为 1 或 1( a0， b0)x2a2 y2b2 y2a2 x2b2由题意知，2 b12， e . b6， c10， a8.ca 54双曲线的标准方程为 1 或 1.x264 y236 y264 x236(2)双曲线经过点 M(0,12)， M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在 y 轴上，且 a12.又 2c26， c13. b2 c2
11、 a225.双曲线的标准方程为 1.y2144 x225(3)设双曲线方程为 mx2 ny21( mn0)Error! 解得Error!双曲线的标准方程为 1.y225 x275考点三 双曲线的几何性质【例 3】 (1)(2013湖南卷)设 F1， F2是双曲线 C： 1( a0， b0)的两个焦x2a2 y2b2点若在 C 上存在一点 P，使 PF1 PF2，且 PF1F230，则 C 的离心率为_(2)设 F1， F2分别为双曲线 1( a0， b0)的左、右焦点若在双曲线右支上存在x2a2 y2b2点 P，满足| PF2| F1F2|，且 F2到直线 PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该
12、双曲线的渐近线方程为( )A3 x4y0 B3 x5y0C4 x3y0 D5 x4 y0解析 (1)因为 PF1 PF2， PF1F230，所以| PF2| |F1F2| c，| PF1| |F1F2| c.12 32 3由双曲线的定义知，| PF1| PF2|2 a，即 c c2 a，所以离心率 e 1.3ca 3(2)设 PF1的中点为 M，由| PF2| F1F2|，故 F2M PF1，即| F2M|2 a，在直角三角形 F1F2M中，| F1M| 2 b，故| PF1|4 b，根据双曲线的定义 4b2 c2 a，即 2c 2 2a 22b a c，即(2 b a)2 a2 b2，即 3
13、b24 ab0，即 3b4 a，故双曲线的渐近线方程是y x，即 y x，即 4x3y0.ba 43答案 (1) 1 (2)C3规律方法 在双曲线的几何性质中，涉及较多的为离心率和渐近线方程(1)求双曲线离心率或离心率范围的两种方法：一种是直接建立 e 的关系式求 e 或 e 的范围；另一种是建立 a， b， c 的齐次关系式，将 b 用 a， e 表示，令两边同除以 a 或 a2化为 e 的关系式，进而求解(2)求曲线 1( a0， b0)的渐近线的方法是令 0，即得两渐近线方程x2a2 y2b2 x2a2 y2b2 0.xa yb【训练 3】 (1)设点 P 在双曲线 1( a， b0)的
14、右支上，双曲线的左、右焦点分别x2a2 y2b2为 F1， F2，若| PF1|4| PF2|，则双曲线离心率的取值范围是_(2)已知双曲线的渐近线方程为 2x3y0，则该双曲线的离心率为_解析 (1)由双曲线的定义得| PF1| PF2|2 a，又| PF1|4| PF2|，所以 4|PF2| PF2|2 a，所以| PF2| a，| PF1| a，23 83所以Error! 整理得 a c，所以 ，即 e ，53 ca 53 53又 e1，所以 1 e .53(2)当焦点在 x 轴上时， ，即 ，ba 23 c2 a2a2 49所以 e2 ，解得 e ；139 133当焦点在 y 轴上时，
15、 ，即 ，ba 32 c2 a2a2 94所以 e2 ，解得 e ，134 132即双曲线的离心率为 或 .132 133答案 (1) (2) 或(1，53 132 1331双曲线的很多问题与椭圆有相似之处，在学习中要注意应用类比的方法，但一定要把握好它们的区别和联系2双曲线是具有渐近线的曲线，画双曲线草图时，一般先画出渐近线，要熟练掌握以下两个部分：(1)已知双曲线方程，求它的渐近线；(2)求已知渐近线的双曲线的方程如果已知渐近线方程为 axby0 时，可设双曲线方程为 a2x2 b2y2 ( 0)，再利用其他条件确定 的值，求法的实质是待定系数法3双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六
16、点”(两个焦点、两个顶点、虚轴的两个端点)， “四线”(两条对称轴、两近线)， “两形”(中心、焦点以及虚轴端点构成的三角形、双曲线上的点与两焦点构成的三角形)来研究它们之间的关系 教你审题 8运用双曲线的标准方程及其性质【典例】 如图， F1， F2分别是双曲线 C： 1( a， b0)的左，右焦点， B 是虚轴的端x2a2 y2b2点， 直线 F1B与C 的两条渐近线分别 交于 P， Q 两点， 线段 PQ 的垂直平分线 与 x 轴交于点 M.若|MF2| F1F2|，则 C 的离心率是( )A. B. C. D.233 62 2 3审题 一审：求出直线 F1B 的方程二审：求出点 P、
17、Q 的坐标及 PQ 中点坐标三审：求出 PQ 的垂直平分线方程，令 y0 得 M 点的坐标四审：由| MF2| F1F2|建立关系式，求出离心率解析 依题意，知直线 F1B 的方程为 y x b，联立方程Error!得点 Q ，bc (acc a， bcc a)联立方程Error!得点 P ，(acc a， bcc a)所以 PQ 的中点坐标为 .(a2cb2， c2b)所以 PQ 的垂直平分线方程为 y .c2b cb(x a2cb2)令 y0，得 x c ，所以 c 3 c.(1a2b2) (1 a2b2)所以 a22 b22 c22 a2，即 3a22 c2.所以 e .故选 B.62答
18、案 B反思感悟 求解双曲线的离心率的关键就是找出双曲线中 a， c 的关系对于本例的求解，给出的条件较多，对基础知识的考查较为全面，如双曲线的焦点、虚轴、渐近线及垂直平分线等，但都为直接、连贯的条件，直接根据已知条件就可以求解本题【自主体验】(2013山东卷)抛物线 C1： y x2(p0)的焦点与双曲线 C2： y21 的右焦点的连线12p x23交 C1于第一象限的点 M.若 C1在点 M 处的切线平行于 C2的一条渐近线，则 p( )A. B. C. D.316 38 233 433解析 抛物线 C1： y x2的标准方程为 x22 py，其焦点为 F ；双曲线12p (0， p2)C2
19、： y21 的右焦点 F为(2,0)，其渐近线方程为 y x.由 y x，所以x23 33 1px ，得 x p，所以点 M 的坐标为 .由点 F， F， M 三点共线可求 p .1p 33 33 (33p， p6) 433答案 D基础巩固题组(建议用时：40 分钟)一、选择题1(2014郑州二模)设 F1， F2是双曲线 x2 1 的两个焦点， P 是双曲线上的一点，且y2243|PF1|4| PF2|，则 PF1F2的面积等于( )A4 B8 C24 D482 3解析 由Error!可解得Error!又由| F1F2|10 可得 PF1F2是直角三角形，则 S PF1F2 |PF1|PF2
20、|24.12答案 C2(2013湖北卷)已知 0 ，则双曲线 C1： 1 与 C2： 4 x2sin2 y2cos2 y2cos21 的( )x2sin2A实轴长相等 B虚轴长相等C离心率相等 D焦距相等解析 0 ，sin cos .由双曲线 C1： 1 知实轴长为 4 x2sin2 y2cos22sin ，虚轴长为 2cos ，焦距为 2，离心率为 .由双曲线1sin C2： 1 知实轴长为 2cos ，虚轴长为 2sin ，焦距为 2，离心率为y2cos2 x2sin2.1cos 答案 D3(2014日照二模)已知双曲线 1( a0， b0)的一个焦点与圆 x2 y210 x0x2a2 y
21、2b2的圆心重合，且双曲线的离心率等于 ，则该双曲线的标准方程为( )5A. 1 B. 1x25 y220 x225 y220C. 1 D. 1x220 y25 x220 y225解析 由题意知圆心坐标为(5,0)，即 c5，又 e ， a25， b220，双曲线的ca 5标准方程为 1.x25 y220答案 A4双曲线 x2 1 的离心率大于 的充分必要条件是( )y2m 2A m B m1 C m1 D m212解析 在双曲线 x2 1 中， a1， b ，则 c ，离心率 e ，解y2m m 1 m ca 1 m1 2得 m1.答案 C5(2014成都模拟)已知双曲线的方程为 1( a0
22、， b0)，双曲线的一个焦点到x2a2 y2b2一条渐近线的距离为 c(其中 c 为双曲线的半焦距长)，则该双曲线的离心率为( )53A. B. C. D.32 52 352 52解析 不妨取双曲线的右焦点( c,0)，双曲线的渐近线为 y x，即 bx ay0.则焦点到渐ba近线的距离为 c，即 b c，从而 b2 c2 c2 a2，所以 c2 a2，即 e2 ，|bc|b2 a2 53 53 59 49 94所以离心率 e .32答案 A二、填空题6(2014青岛一模)已知双曲线 x2 ky21 的一个焦点是( ，0)，则其离心率为5_解析 由已知，得 a1， c . e .5ca 5答案
23、 57(2014广州一模)已知双曲线 1 的右焦点为( ，0)，则该双曲线的渐近线方x29 y2a 13程为_解析 由题意得 c ，所以 9 a c213，所以 a4.即双曲线方程为 1，所13x29 y24以双曲线的渐近线为 2x3y0.答案 2 x3y08(2014武汉诊断)已知双曲线 1 的一个焦点是(0,2)，椭圆 1 的焦距等x2m y23m y2n x2m于 4，则 n_.解析 因为双曲线的焦点(0,2)，所以焦点在 y 轴，所以双曲线的方程为 1，即y2 3m x2 ma23 m， b2 m，所以 c23 m m4 m4，解得 m1，所以椭圆方程为 x21，且 n0，椭圆的焦距为
24、 4，所以 c2 n14 或 1 n4，解得 n5 或3(舍y2n去)答案 5三、解答题9已知椭圆 D： 1 与圆 M： x2( y5) 29，双曲线 G 与椭圆 D 有相同焦点，它的x250 y225两条渐近线恰好与圆 M 相切，求双曲线 G 的方程解 椭圆 D 的两个焦点为 F1(5,0)， F2(5,0)，因而双曲线中心在原点，焦点在 x 轴上，且 c5.设双曲线 G 的方程为 1( a0， b0)，x2a2 y2b2渐近线方程为 bxay0 且 a2 b225，又圆心 M(0,5)到两条渐近线的距离为 r3. 3，得 a3， b4，|5a|b2 a2双曲线 G 的方程为 1.x29 y
25、21610中心在原点，焦点在 x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点 F1， F2，且| F1F2|2，椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为 4，离心率之比为 37.13(1)求这两曲线方程；(2)若 P 为这两曲线的一个交点，求 cos F1PF2的值解 (1)由已知： c ，设椭圆长、短半轴长分别为 a， b，双曲线半实、虚轴长分别为13m， n，则Error! 解得 a7， m3. b6， n2.椭圆方程为 1，双曲线方程为 1.x249 y236 x29 y24(2)不妨设 F1， F2分别为左、右焦点， P 是第一象限的一个交点，则|PF1| PF2|14，| PF1| PF2|6，所以
26、| PF1|10，| PF2|4.又| F1F2|2 ，13cos F1PF2|PF1|2 |PF2|2 |F1F2|22|PF1|PF2| .102 42 213 22104 45能力提升题组(建议用时：25 分钟)一、选择题1(2014焦作二模)直线 y x 与双曲线 C： 1( a0， b0)左右两支分别交于3x2a2 y2b2M、 N 两点， F 是双曲线 C 的右焦点， O 是坐标原点，若| FO| MO|，则双曲线的离心率等于( )A. B. 1 C. 1 D23 2 3 2 2解析 由题意知| MO| NO| FO|， MFN 为直角三角形，且 MFN90，取左焦点为F0，连接
27、NF0， MF0，由双曲线的对称性知，四边形 NFMF0为平行四边形又 MFN90，四边形 NFMF0为矩形，| MN| F0F|2 c，又直线 MN 的倾斜角为 60，即 NOF60， NMF30，| NF| MF0| c，| MF| c，3由双曲线定义知| MF| MF0| c c2 a，3 e 1.ca 3答案 B2(2014临沂联考)已知点 F 是双曲线 1( a0， b0)的左焦点，点 E 是该双曲线x2a2 y2b2的右顶点，过点 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A， B 两点，若 ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率 e 的取值范围是( )A(1,2) B( ，2)
28、C( ，2) D(2,3)2 3解析 由题意知， ABE 为等腰三角形若 ABE 是锐角三角形，则只需要 AEB 为锐角根据对称性，只要 AEF1，故 1e2.b2a答案 A二、填空题3.如图，双曲线 1( a， b0)的两顶点为 A1， A2，虚轴两端点为 B1， B2，x2a2 y2b2两焦点为 F1， F2.若以 A1A2为直径的圆内切于菱形 F1B1F2B2，切点分别为 A， B， C， D.则(1)双曲线的离心率 e_；(2)菱形 F1B1F2B2的面积 S1与矩形 ABCD 的面积 S2的比值 _.S1S2解析 (1)由 B2OF2的面积可得a bc， a43 a2c2 c40，
29、e43 e210， e2 ， e .b2 c23 52 1 52(2)设 B2F1O ，则 sin ，cos ， bb2 c2 cb2 c2 S1S2 2bc4a2sin cos e2 .2bc4a2 bcb2 c2 b2 c22a2 12 2 52答案 (1) (2)1 52 2 52三、解答题4(2014湛江二模)已知双曲线 1( a0， b0)的x2a2 y2b2右焦点为 F(c,0)(1)若双曲线的一条渐近线方程为 y x 且 c2，求双曲线的方程；(2)以原点 O 为圆心， c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为 A，过 A 作圆的切线，斜率为 ，求双曲线的离心率3解 (1)
30、双曲线的渐近线为 y x， a b，ba c2 a2 b22 a24， a2 b22，双曲线方程为 1.x22 y22(2)设点 A 的坐标为( x0， y0)，直线 AO 的斜率满足 ( )1，y0x0 3 x0 y0，3依题意，圆的方程为 x2 y2 c2，将代入圆的方程，得 3y y c2，即 y0 c，20 2012 x0 c，点 A 的坐标为 ，代入双曲线方程，得 1，即32 (32c， c2) 34c2a2 14c2b2b2c2 a2c2 a2b2，34 14又 a2 b2 c2，将 b2 c2 a2代入式，整理得c42 a2c2 a40，343 48 240，(3 e22)( e22)0，(ca) (ca) e1， e .双曲线的离心率为 .2 2
