1、 2010年河南理工大学公选课数学建模课程论文姓 名论文题目 糖果配比销售问题讨论学 号学院、专业论文分数 教师填写:糖果配比销售问题讨论摘要: 此问题属于一个优化问题，即在一系列的限制条件中寻找最优的方案。所以这里我们采用优化模型，优化模型是为了使在原材料供应量受到限制的前提下使得决策的问题达到最优，在本问题中，要求我们决定各品牌果仁糖的总周利润最大的前提下，需购进杏仁、核桃仁、腰果仁和胡桃仁的数量以及各果仁糖中果仁的配比问题。我们在这篇文章里假设购进的果仁全部配制成糖果销售，对问题进行优化，然后通过糖果制作及供应量限制的条件列出条件方程，然后用 Lindo 软件进行求解。在问题二中，我们通
2、过四种情况来讨论当供货量增加 10%时配比是否变化以及利润如何变化等。通过这种分析，可以为决策者找到一个最优方案，无论是在淡季还是在旺季，都可以找到最优的销售配比方案。关键词: 优化模型、周利润、销售量、果仁配比。问题的提出某糖果店出售三种不同品牌的果仁糖，每个品牌含有不同比例的杏仁、核桃仁、腰果仁、胡桃仁。为了维护商店的质量信誉，每个品牌中所含有的果仁的最大、最小比例是必须满足的，如下表所示：品牌 含量需求 售价/ 美元/kg腰果仁不超过 20%胡桃仁不低于 40%核桃仁不超过 25%普通杏仁没有限制0.89腰果仁不超过 35%杏仁不低于 40%豪华核桃仁、胡桃仁没有限制1.10腰果仁含量位
3、于 30%50%之间杏仁不低于 30%蓝带核桃仁、胡桃仁没有限制1.80每周商店从供应商处能够得到的每类果仁的最大数量和售价如下表：售价/ 美元/kg 每周最大供应量 / kg杏仁 0.45 2000核桃仁 0.55 4000腰果仁 0.70 5000胡桃仁 0.50 30001）商店希望确定每周购进杏仁、核桃仁、腰果仁、胡桃仁的数量，使周利润最大，建立数学模型，帮助该商店管理人员解决果仁混合的问题。2）若在圣诞周，豪华和蓝带品牌的销售量会增加，这时商店会让果仁供应量增加 10%,试问在这种情况下混合配比是否改变，圣诞周利润会改变多少？请分情况说明。模型假设1.所购入的原料全部都制成了糖果，无
4、剩余；2.糖果厂所配制的所有糖果均能全部售出；3.糖果厂资金充足，周转不会出现问题；模型的建立设x,y,z 分别表示普通，豪华，蓝带品牌糖果；x1，x2，x3，x4 分别为配制成的普通糖果中腰果仁，胡桃仁，核桃仁，杏仁的含量，单位(kg)；y1，y2，y3，y4 分别为配制成的豪华糖果中腰果仁，胡桃仁，核桃仁，杏仁的含量，单位(kg)；z1，z2，z3，z4 分别为配制成的蓝带糖果中腰果仁，胡桃仁，核桃仁，杏仁的含量，单位(kg)。则按照糖果的配比可知：x10.2x x20.4x x30.25xy10.35y y40.4yz10.3z z10.5z z40.3z有糖果组成知道：x1+x2+x3
5、+x4=xy1+y2+y3+y4=yz1+z2+z3+z4=z将以上不等式的 x 带入以上 3 个等式整理可得x2+x3+x4-4x10x1-1.5x2+x3+x40x1+x2-3x3+x4035y2+35y3+35y4-65y102y1+2y2+2y3-3y403z2+3z3+3z4-7z10z2+z3+z4-z103z1+3z2+3z3-7z40由各种原料供应量限制有以下关系：x1+y1+z15000x2+y2+z23000x3+y3+z34000x4+y4+z42000根据实际情况可知所有变量不会出现负数：x10x20x30x40y10y20y30y40z10z20z30z40所配制的各
6、种糖果出售价格为：普通糖果： 0.89(x1+x2+x3+x4)豪华糖果： 1.10(y1+y2+y3+y4)蓝带糖果： 1.8(z1+z2+z3+z4)果仁进价为：腰果仁：0.7(x1+y1+z1)胡桃仁：0.5(x2+y2+z2)核桃仁：0.55(x3+y3+z3) 杏仁：0.45(x4+y4+z4)所以商店的利润为：P= 0.89(x1+x2+x3+x4)+1.10(y1+y2+y3+y4)+1.8(z1+z2+z3+z4)-0.7(x1+y1+z1)-0.5(x2+y2+z2)-0.55(x3+y3+z3) -0.45(x4+y4+z4)=0.19x1+0.39x2+0.34x3+0.
7、44x4+0.4y1+0.6y2+0.55y3+0.65y4+1.1z1+1.3z2+1.25z3+1.35z4利润最大即求目标函数 MAX P到此本题转化为了数学问题已知限制条件：x2+x3+x4-4x10x1-1.5x2+x3+x40x1+x2-3x3+x4035y2+35y3+35y4-65y102y1+2y2+2y3-3y403z2+3z3+3z4-7z10z2+z3+z4-z103z1+3z2+3z3-7z40x1+y1+z15000x2+y2+z23000x3+y3+z34000x4+y4+z42000x10x20x30x40y10y20y30y40z10z20z30z40求解 M
8、AXP=0.19x1+0.39x2+0.34x3+0.44x4+0.4y1+0.6y2+0.55y3+0.65y4+1.1z1+1.3z2+1.25z3+1.35z4用 Lindo 求解（程序见附录） ，可得：OBJECTIVE FUNCTION VALUE1) 10069.70VARIABLE VALUE REDUCED COSTX1 1090.909058 0.000000X2 3000.000000 0.000000X3 1363.636353 0.000000X4 0.000000 3.321212Y1 0.000000 0.000000Y2 0.000000 0.345455Y3 0
9、.000000 0.000000Y4 0.000000 2.666667Z1 2030.302979 0.000000Z2 0.000000 0.345455Z3 2636.363525 0.000000Z4 2000.000000 0.000000由以上结果可汇总为以下表格所表示的内容：商店的最大利润为 10069.70 元，配比比例如表格所示。问题 2：若在圣诞周，豪华和蓝带品牌的销售量会增加，这时商店会让果仁供应量增加 10%,试问在这种情况下混合配比是否改变，圣诞周利润会改变多少？请分情况说明。若各种果仁量均增加 10% 1由于配置标准未曾改变，糖果出售价格及果仁进价都没有改变，同时糖
10、果又能全部售出，所以只需在问题 1 最优解的基础上个配料增加 10%即可，而相腰果仁 胡桃仁 核桃仁 杏仁 配制糖果量(kg)普通糖果 1090.91 3000.00 1363.64 0.00 5454.55豪华糖果 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00蓝带糖果 2030.30 0.00 2636.36 2000.00 6666.66购买果仁量(kg) 3121.21 3000.00 4000.00 2000.00应的利润也会增加 10%，变为 10069.70*(100%+10%)=11076.67 元若仅腰果仁增加 10% 2由问题 1 知在最优配置中，由于其他果仁进货量限制，
11、腰果仁购买量未达到最大值，所以腰果仁即使增加，配比方式也不会改变，利润也不会增加。若仅胡桃增加 10% 3只需将程序中进货量限制中的条件x2+y2+z23000 改为 x2+y2+z23300 求解得：1) 10233.33VARIABLE VALUE REDUCED COSTX1 1200.000000 0.000000X2 3300.000000 0.000000X3 1500.000000 0.000000X4 0.000000 3.321212Y1 0.000000 0.000000Y2 0.000000 0.345455Y3 0.000000 0.000000Y4 0.000000
12、2.666667Z1 2166.666748 0.000000Z2 0.000000 0.345455Z3 2500.000000 0.000000Z4 2000.000000 0.000000此种情况下周利润会增加到 10233.33 元若仅核桃增加 10% 4只需将进货量限制中的条件x3+y3+z34000 改为 x3+y3+z344001) 10074.24VARIABLE VALUE REDUCED COSTX1 1090.909058 0.000000X2 3000.000000 0.000000X3 1363.636353 0.000000X4 0.000000 3.453030Y
13、1 0.000000 0.150000Y2 0.000000 0.563636Y3 0.000000 0.000000Y4 0.000000 2.641667Z1 2000.000000 0.000000Z2 0.000000 0.563636Z3 2666.666748 0.000000Z4 2000.000000 0.000000此种情况下周利润会增加到 10074.24 元若仅杏仁增加 10% 5只需将进货量限制中的条件x4+y4+z42000 改为 x4+y4+z42200 即可求出结果1) 10853.03VARIABLE VALUE REDUCED COSTX1 1090.9090
14、58 0.000000X2 3000.000000 0.000000X3 1363.636353 0.000000X4 0.000000 3.321212Y1 0.000000 0.000000Y2 0.000000 0.345455Y3 0.000000 0.000000Y4 0.000000 2.666667Z1 2496.969727 0.000000Z2 0.000000 0.345455Z3 2636.363525 0.000000Z4 2200.000000 0.000000此种情况下周利润会增加到 10853.03 元模型评价本模型没有考虑糖果销售情况，只是假设所有配制糖果均能完
15、全销售，然而在实际问题中考虑到商店的实际情况，包括平时员工工资，销售时长，营业税以及糖果多样性对商店销售情况的影响，单纯进行的一个优化，用销售额与进价之差表示利润。具有一定的局限性。参考文献：【1】谢金星 薛毅， 优化建模与 LINDO/LINGO 软件 ，清华大学出版社，2005 年 07 月附：Lindo 6.1 程序：MAX 0.19x1+0.39x2+0.34x3+0.44x4+0.4y1+0.6y2+0.55y3+0.65y4+1.1z1+1.3z2+1.25z3+1.35z4stx2+x3+x4-4x10x1-1.5x2+x3+x4035y2+35y3+35y4-65y102y1+2y2+2y3-3y403z1+3z2+3z3-7z40x20x30x40y10y20y30y40z10z20z30z40
