1、电子技术学院首届 “创新杯 ”数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了电子技术学院“创新杯”数学建模竞赛章程 。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从 A/B 中选择一项填写）： A 我们的参赛组号为 ：
2、所属单位： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 日期： 2011 年 5 月 16 日评阅编号（由评阅小组评阅前进行编号）：电子技术学院首届 “创新杯 ”数学建模竞赛编 号 专 用 页评阅编号（由评阅小组评阅前进行编号）：评阅记录：评阅人评分备注1校车安排问题摘要本论文主要对学校安排校车接送教职工，校车站点建在哪些区域进行了分析研究，从乘车点的距离最小，满意度最大又可节省运行成本等方面考虑，建立了校车安排方案的优化数学模型。对于问题 1，本文利用 Floyd 算法求出了最短路距离矩阵，在此基础上，本文以各小区到最近乘车点的总距离和最小为目标函数建立了第一个模型，即乘车点选择模型。由此
3、模型，我们找出 n 个最优乘车点，并给出了当乘车点数为 3 和 4 时的安排方案。对于问题 2，为了表示满意度随距离的增大而减小的关系，本文建立了满意度函数，并根据不同小区的人数确定相应的权重，然后以所有区域人员平均满意度最大为目标函数，建立第二个模型，即乘客满意度模型。由此模型我们找出了 n 个最优乘车点，给出了当乘车点数为 3 和 4 时的安排方案。对于问题 3，为了使乘客的满意度尽量大，同时有尽可能的降低校车的数量，我们以“使用校车数量最小化”和“人员满意度最大化”为优化目标，建立双目标优化模型。对于问题 4，综合考虑距离模型，满意度模型，运营成本以及现实中的各种因素，我们假设它们与乘车
4、点数、乘车点位置、校车数等因素之间存在着关系，并据此对校车安排提出一些建议和考虑。关键词：校车安排 Floyd 算法 最短距离矩阵 满意度 双目标优化 LINGO2一、问题重述某学校建有新校区，常常需要将老校区的教师和工作人员用校车送到新校区。由于每天到新校区的教师和工作人员很多，往往需要安排许多车辆。如何有效的安排车辆及让教师和工作人员尽量满意是个十分重要的问题。现有如下问题请你设计解决。假设老校区的教师和工作人员分布在 50 个区，各区的距离见表 1。各区人员分布见表 2。问题 1：如要建立 n 个乘车点，为使各区人员到最近乘车点的距离最小，该将校车乘车点应建立在哪个点。建立一般模型，并给
5、出 n=3,4 时的结果。 问题 2：若考虑每个区的乘车人数，为使教师和工作人员满意度最大，该将校车乘车点应建立在哪 n 个点。建立一般模型，并给出 n=3,4 时的结果。问题 3 若建立 3 个乘车点，为使教师和工作人员尽量满意，至少需要安排多少辆车？给出每个乘车点的位置和车辆数。设每辆车最多载客 45 人（假定车只在起始站点载人） 。问题 4；关于校车安排问题，你还有什么好的建议和考虑。可以提高乘车人员的满意度，又可节省运行成本。二、模型假设1、假设教师和工作人员在乘车时，优先选择离自己所在居民点最近的乘车点；2、我们将每个区都简化成一个点，如果在该点设立乘车点，则该区内每个人到这个乘车点
6、的距离都是 0；3、在解决问题 1 和为题 2 时，假设乘车点的服务能力没有限制，即客车数量足够大，能够满足教师和工作人员做出的任何方式的乘车选择；4、假设校车只在起始点载客，并且每辆车在每次接送时只载一趟；5、假设乘客的满意度只与乘客从自己小区到乘车点所行走的路程有关，乘客行走的路程越短，其满意度就越高；6、乘车点均建在各区内，不考虑区与区之间；7、假设所有人员均乘车；8、假设每个区域教职工在方案确定后，每次乘车只能去一个固定的站点。三、符号说明Ri ：第 i 区教师和工作人员数量，i=1,2,50。Dij ：第 i 区到第 j 区的最短距离N ：建立校车乘车点个数 区 建 立 校 车 乘
7、车 点不 在 第 区 建 立 校 车 乘 车 点在 第 jBj01区 乘 车区 人 员 不 到 第第 区 乘 车区 人 员 到 第第 jiQij四、问题分析问题 1 要求建立 n 个乘车点，使各区人员到最近乘车点的距离最小。首先结合表31，利用 Floyd 算法求得任意两点之间最短距离；其次在 50 个区域中任意选取 n 个区域作为乘车点， ，找出每个区域所对应的最近乘车点，最后以 50 个区域到各自最近乘车点的最短距离和的最小值为目标函数建立模型一。并对设立 3 个和 4 个乘车点时的校车安排问题进行求解。问题 2 要求在教师和工作人员的满意度最大为前提条件下选出最佳乘车点。为此需要建立关于
8、满意度的函数，然后以平均满意度最高为目标函数建立模型二，并对设立 3 个和 4 个乘车点时的校车安排问题进行求解。问题 3 要求建立 3 个乘车点，在尽量使教师和工作人员满意的前提下，所需的车辆最少，我们利用模型二和总车辆数最少函数的双目标函数进行优化求解，得出最优解。问题 4 中我们结合第 3 问结果中的车辆的安排情况以及现实生活中的具体情况给出了一些其它建议。五、模型建立与求解5.1 乘车点选择模型5.1.1 各区间最短路径矩阵的确定利用图论知识，将表一中教员与工作人员所在 50 个住宅区之间的距离转换成对应的邻接矩阵（该邻接矩阵即为上述 50 个住宅区分布图的存储形式） ，并利用 Flo
9、yd 最短路径算法，计算出两两住宅区之间的最短路径，求解过程如下（程序详见附录*）：1.先根据题目所给的各个连通区域之间距离的数据为初始矩阵 赋值，其中没(,)Dij有给出距离的赋给无穷大，其中 。()0()Di,j= ij2.进行迭代计算。对任意两点 ，若存在 ，使 ，则更k(,),ikjSij新 。(,)(,),)Dijikj3.直到所有点的距离不再更新停止计算，可以得到各住宅区之间的最短路径见附表*。 ij=12.505.1.2 乘车点选择模型的建立考虑第一问时，根据假设，乘车点的服务能力（容量）没有限制，各区人员都将前往最近的乘车点乘车，所以相同小区的人员会做出相同的选择，即相同小区人
10、员的乘车点是相同且唯一。因此，我们在确定乘车点位置时，不用考虑各小区的具体人数，只考虑各小区到最近乘车点的距离。我们可以将一个小区看做一个整体，即记，根据题目要求建立优化模型，选择出 N 个乘车点，使得各区1 ()iR=,2.50人员到最近乘车点的总距离最小。在该优化模型中， 优化目标： 各区人员（本问中设定各区只有 1 人）到最近乘车点的距离之和最小。 制约条件： （1）各区人员只能到建立了乘车点的地区乘车；（2）各区人员的乘车点相同且唯一；（3）乘车点总数为 n。据此，列出该乘车点选择模型的数学关系式如下：4501501minsubject o,0ijiijijjjijjjRDQ=1,2.
11、50BNQi,j12,.50j=,.其中，Ri 代表第 i 区人员数量，i=1,2,50，本问中取 ；1 ()iR,2.50Dij 代表第 i 区到第 j 区的最短距离，Dij 具体值见附录；N 代表乘车点个数，根据题意 N=3 或 4；区 建 立 校 车 乘 车 点不 在 第 区 建 立 校 车 乘 车 点在 第 jBj01区 乘 车区 人 员 不 到 第第 区 乘 车区 人 员 到 第第 jiQij5.1.3 模型求解及结果分析将上述优化模型用 Lingo 描述（代码见附录#） ，依次取 N=3，4，利用 Lingo9.0 求解，得到如下结果（详细结果见附录#） 。5.2 乘客满意度模型5
12、.2.1 各区人数归一化处理在建立乘客满意度模型时，我们考虑到不同小区的人数不一样，因此不同小区对乘客满意度的影响大小也不一样。我们用每个小区的人数作为权重：设第 i 区人数为 Ri，总人数为 ，501iZR则第 i 区人数权重为 (,2.)iiW5.2.2 乘客满意度模型的建立如果车站就建在自己的区，则乘客满意度达到最大；如果离自己区最近的车站比较远，则乘客就不满意；当距离达到最远时，乘客的满意度达到最小。乘客对车站点的满意度取决于自己区到最近乘车点的距离，并且满意度大小随距离的增加单调递减。5分析可知，距离的最小值为 0；设两点之间最小距离的最大值为 ，由附()ijMAXD表#可知， 为
13、2235 米。()ijMAXD我们建立如下满意度函数，它反映了第 i 区人员到第 j 区乘车时的满意情况。1()jij iDSMAX我们的满意度函数具有如下性质：（1）是线性函数；（2）满意度值随距离单调递减；（3）在距离为 0 时满意度为 1；距离为 时，满意度为 0。 ()ij由于本问中仍然假设乘车点的容量足够大，能够运载到该乘车点乘车的所有乘客，因而各区人员都将选取三个乘车点中相对较近的一个。则为使满意度最大化，可建立如下优化模型： 501501maxsubject o,0ijiijijjjijjjWSQ=1,2.50BNQi,j12,.50j=,.其中，代表第 i 区人数权重， ，本问
14、中， 取各区人员数量实iW (1,2.5)iiRWZiR际值， 具体值见附录#；i，反映了第 i 区人员到第 j 区乘车时的满意情况，具体值见附录1()jij iDSMAX#；N 代表乘车点个数，根据题意 N=3 或 4；区 建 立 校 车 乘 车 点不 在 第 区 建 立 校 车 乘 车 点在 第 jBj0区 乘 车区 人 员 不 到 第第 区 乘 车区 人 员 到 第第 jiQij15.2.3 模型求解及结果分析同样，将上述优化模型用 Lingo 描述（代码见附录#） ，依次取 N=3，4，利用Lingo9.0 求解，得到如下结果（详细结果见附录#） 。65.3 校车安排模型如果我们通过乘
15、车点选择模型确定出三个乘车点的位置，乘客的满意度会达到最大，但是校车的数量可能相对比较大，造成数量和成本上的浪费。如果我们只考虑安排最少的校车，让大部分的教师和工作人员到相对更远的乘车点去乘车的话，那么乘客的满意度就会大大降低。为此，我们建立双目标优化模型，既使得教师的满意度尽可能的大，同时又使得校车的数量尽可能的小。5.3.1 校车安排模型的建立按照如上要求，我们以“使用校车数量最小化”和“人员满意度最大化”为优化目标，以给定的乘车点数量（N = 3） 、各区人员数量及各乘车点的载客能力等为限制条件，建立如下双目标优化模型： 501501501minaxsubject o453,jjijii
16、jijijijjjjijSBWQCRi=1,2.0SBj,.5j=1,2.50CS为 整 数其中，优化目标 MIN = ，表示使用校车数量最小化。501jjSBMIN = ，表示人员满意度最小大化。ijiijWQ代表第 i 区到第 j 区乘车的人员数；ijC代表第 j 区设立的公交车数量（前提是在第区建立了乘车点，即 Bj = 1） ；S代表第 i 区人数权重， ，本问中， 取各区人员数量实际值，i (1,2.50)iiRZiR具体值见附录#；i，反映了第 i 区人员到第 j 区乘车时的满意情况，具体值见附录#；1()ijijDSMAX7N 代表乘车点个数，根据题意 N=3 或 4；区 建 立
17、 校 车 乘 车 点不 在 第 区 建 立 校 车 乘 车 点在 第 jBj01区 乘 车区 人 员 不 到 第第 区 乘 车区 人 员 到 第第 jiQij5.3.2 模型求解及结果分析模型的求解是本问的重点。由于涉及到多目标优化，直接求解难以实现，通常的处理方法有：。考虑到，我们采用方法将该多目标优化问题转为单目标优化问题。转换后的目标函数如下：同样，将上述优化模型用 Lingo 描述（代码见附录#） ，利用 Lingo9.0 求解，得到如下结果（详细结果见附录#） 。5.4 关于合理安排校车的其它建议在综合考虑考虑乘车点选择模型、乘客满意度模型、校车安排模型的基础上，仔细分析了现实中有可
18、能影响满意度和运营成本的其他各种因素，我们假设这些因素与所确定的乘车点数量、乘车点位置及校车数量相互关联。据此我们给出校车安排的一些其它的建议：建议一：我们的校车站点模型建立是从一开始就假定车只在起始点载人。而若要提高教职工的满意度，本质上就应减少教职工从居住区域至乘车站点的路程。若我们安排校车除了在起始点载人外还可中途在一些区域停车载人，则会减少教职工的乘车距离路程，也就是提高了满意度。但是另一方面，校车在中途经停，必然会增加行驶路程，增加燃油消耗量，因此也就提高了成本。但是我们可以寻求经停站点与成本提高之间的平衡，也就是通过多目标规划寻求最优值。建议二：在以上的模型建立中，我们只是考虑了在
19、固定站点设置 n 的条件下使教职工至乘车站点距离最小的情况，且 n3 或 4 时站点的设置区太少，每一站点的设置区集中了较多的校车，增加了教职工从所在区域至乘车站点之间路程。我们可以适当增加乘车点的数量，从而提高教职员工的满意度；并且在保证教职员工满意度的基础上，最大限度的减少校车的数量。建议三：根据一天内不同时间点对校车需求的不同做出不同的安排。上下课时间为乘车高峰期，应多安排车辆，其它时间应少安排。这样可有效节省运行成本。同时，尽量将人员的上下班时间统一在几个固定的时间段，在这几个时间段安排足够的车辆，保证每名员工都能及时乘坐校车，也可增加校车的运营效率。另外，在非高峰期可适当停止部分站点
20、的使用。六、模型结果分析87、模型评价与推广7.1 模型优点我们在研究校车安排问题时，建立起了 0-1 变量优化模型，模型相对比较简单，能够比较有效地处理大量的数据，使所建立的模型最大限度的接近实际问题。因此，该模型具有很强的实用性。7.2 模型缺点我们采用 lingo 软件编写程序，以期求出最优解，但在求解最优解的过程中，由于数据繁琐，并且在模型中用到乘法运算，使得求解效率大大降低，耗费大量时间。7.3 模型推广这篇论文建立的模型以 0-1 变量的优化模型为主，应用性比较广，对于如何在 n个地方建立一定数量的站点以达到最优，此类问题都可以解决。本模型可推广到公共站点设置、服务中心位置选择、垃圾运输等最短路径及选址问题。本模型利用计算机程序实现了对结果的精确定位，可应用于各种与此类型相关的场合。参考文献附录附录一附录二
