1、第 7 讲 抛物线最新考纲1掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质2理解数形结合的思想3了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用.知 识 梳 理1抛物线的定义(1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(Fl)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线(2)其数学表达式：| MF| d(其中 d 为点 M 到准线的距离)2抛物线的标准方程与几何性质图形y22 px (p0)y22 px(p0)x22 py(p0)x22 py(p0)标准方程p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离续表顶点 O(0,0)对称轴y0 x0焦点 F(p2， 0)
2、F( p2， 0) F(0， p2) F(0， p2)离心率e1性质准线方程 xp2xp2yp2yp2范围 x0， yR x0， yR y0， xR y0， xR开口方向向右 向左 向上 向下辨 析 感 悟1对抛物线定义的认识(1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线()(2)抛物线 y24 x 的焦点到准线的距离是 4.()2对抛物线的标准方程与几何性质的理解(3)(2013北京卷改编)若抛物线 y ax2的焦点坐标为(0,1)，则 a ，准线方程为14y1.()(4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形()(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被
3、抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线 x22 ay(a0)的通径长为 2a.()感悟提升1一点提醒 抛物线方程中，字母 p 的几何意义是抛物线的焦点 F 到准线的距离， 等于p2焦点到抛物线顶点的距离牢记它对解题非常有益如(2)2两个防范 一是求抛物线方程时，首先弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物线的标准方程；二是求抛物线的焦点坐标时，首先要把抛物线方程化为标准方程，如(3).考点一 抛物线的定义及其应用【例 1】 (2014深圳一模)已知点 A(2,0)，抛物线 C： x24 y 的焦点为 F，射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M，与其准线相交于点 N，则| FM| MN
4、|( )A2 B12 5C1 D135解析 如图所示，由抛物线定义知| MF| MH|，所以| MF| MN| MH| MN|.由 MHN FOA，则 ，|MH|HN| |OF|OA| 12则| MH| MN|1 ，5即| MF| MN|1 .5答案 C规律方法 抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题【训练 1】 (2014山东省实验中学诊断)已知点 P 是抛物线 y24 x 上的动点，点 P 在 y轴上的射影是 M，点 A 的坐标是(
5、4， a)，则当| a|4 时，| PA| PM|的最小值是_解析 将 x4 代入抛物线方程 y24 x，得 y4，| a|4，所以 A 在抛物线的外部，如图，由题意知 F(1,0)，则抛物线上点 P 到准线 l： x1 的距离为| PN|，由定义知，|PA| PM| PA| PN|1| PA| PF|1.当 A， P， F 三点共线时，| PA| PF|取最小值，此时|PA| PM|也最小，最小值为| AF|1 1.9 a2答案 19 a2考点二 抛物线的标准方程与几何性质【例 2】 (2014郑州一模)如图，过抛物线 y22 px(p0)的焦点 F 的直线交抛物线于点A， B，交其准线 l
6、 于点 C，若| BC|2| BF|，且| AF|3，则此抛物线的方程为( )A y29 x B y26 xC y23 x D y2 x3解析 如图，分别过 A， B 作 AA1 l 于 A1， BB1 l 于 B1，由抛物线的定义知：| AF| AA1|，| BF| BB1|，| BC|2| BF|，| BC|2| BB1|， BCB130， AFx60，连接 A1F，则 AA1F 为等边三角形，过 F 作 FF1 AA1于 F1，则 F1为 AA1的中点，设 l 交 x 轴于 K，则| KF| A1F1| |AA1| |AF|，即 p ，抛物线方程为12 12 32y23 x，故选 C.答
7、案 C规律方法 (1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置，开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数 p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此【训练 2】 (2014兰州一模)已知圆 x2 y2 mx 0 与抛物线 y x2的准线相切，则14 14m( )A2 B. C. D2 3 2 3解析 抛物线的标准方程为 x24 y，所以准线为 y1.圆的标准方程为 2 y2(xm2)，所以圆心为 ，半径为 .所以圆心到直线的距离
8、为 1，即 1，m2 14 ( m2， 0) m2 12 m2 12解得 m .3答案 D考点三 直线与抛物线的位置关系【例 3】 (2013湖南卷)过抛物线 E： x22 py(p0)的焦点 F 作斜率分别为 k1， k2的两条不同直线 l1， l2，且 k1 k22， l1与 E 相交于点 A， B， l2与 E 相交于点 C， D，以 AB， CD为直径的圆 M，圆 N(M， N 为圆心)的公共弦所在直线记为 l.(1)若 k10， k20，证明： 2 p2；FM FN (2)若点 M 到直线 l 的距离的最小值为 ，求抛物线 E 的方程755审题路线 (1)写出直线 l1的方程与抛物线
9、联立用根与系数的关系求 M， N 的坐标写出 ， 的坐标求 用基本不等式求得结论FM FN FM FN (2)由抛物线定义求| AB|，| CD|得到圆 M 与圆 N 的半径求出圆 M 与圆 N 的方程得出圆M 与圆 N 的公共弦所在直线 l 的方程点 M 到直线 l 的距离求出其关于 k1的函数式求其最小值求得 p.解 (1)由题意知，抛物线 E 的焦点为 F ，直线 l1的方程为 y k1x .(0，p2) p2由Error! 得 x22 pk1x p20.设 A， B 两点的坐标分别为( x1， y1)，( x2， y2)，则 x1， x2是上述方程的两个实数根从而 x1 x22 pk1
10、，y1 y2 k1(x1 x2) p2 pk p.21所以点 M 的坐标为 ， ( pk1， pk )(pk1， pk21p2) FM 21同理可得点 N 的坐标为 ， ( pk2， pk )，(pk2， pk2p2) FN 2于是 p2(k1k2 k k )FM FN 212因为 k1 k22， k10， k20， k1 k2，所以 0 k1k2 21.(k1 k22 )故 p2(11 2)2 p2.FM FN (2)由抛物线的定义得| FA| y1 ，| FB| y2 ，所以| AB| y1 y2 p2 pk 2 p，从而p2 p2 21圆 M 的半径 r1 pk p.21故圆 M 的方程
11、为( x pk1)2 2(y pk21p2)( pk p)2，21化简得 x2 y22 pk1x p(2k 1) y p20.2134同理可得圆 N 的方程为 x2 y22 pk2x p(2k 1) y p20.234于是圆 M，圆 N 的公共弦所在直线 l 的方程为( k2 k1)x( k k )y0.2 21又 k2 k10， k1 k22，则 l 的方程为 x2 y0.因为 p0，所以点 M 到直线 l 的距离d |2pk21 pk1 p|5 p|2k21 k1 1|5 .p2(k1 14)2 785故当 k1 时， d 取最小值 .14 7p85由题设， ，解得 p8.7p85 755
12、故所求的抛物线 E 的方程为 x216 y.规律方法 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式| AB| x1 x2 p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式【训练 3】 设抛物线 C： x22 py(p0)的焦点为 F，准线为 l， A 为 C 上一点，已知以 F为圆心， FA 为半径的圆 F 交 l 于 B， D 两点.(1)若 BFD90， ABD 的面积为 4 ，求 p 的值及圆 F 的方程；2(2)若 A， B， F 三点在同一直线 m 上，直
13、线 n 与 m 平行，且 n 与 C 只有一个公共点，求坐标原点到 m， n 距离的比值解 (1)由已知可得 BFD 为等腰直角三角形，| BD|2 p，圆 F 的半径| FA| p.2由抛物线定义可知 A 到 l 的距离 d| FA| p.2因为 ABD 的面积为 4 ，所以 |BD|d4 ，212 2即 2p p4 ，12 2 2解得 p2(舍去)或 p2.所以 F(0,1)，圆 F 的方程为 x2( y1) 28.(2)因为 A， B， F 三点在同一直线 m 上，所以 AB 为圆 F 的直径， ADB90.由抛物线定义知| AD| FA| |AB|.12所以 ABD30， m 的斜率为
14、 或 .33 33当 m 的斜率为 时，由已知可设 n： y x b，代入 x22 py 得 x2 px2 pb0.33 33 2 33由于 n 与 C 只有一个公共点，故 p28 pb0，43解得 b .p6因为 m 的纵截距 b1 ， 3，p2 |b1|b|所以坐标原点到 m， n 距离的比值也为 3.当 m 的斜率为 时，由图形对称性可知，坐标原点到 m， n 距离的比值为 3.33综上，坐标原点到 m， n 距离的比值为 3.1认真区分四种形式的标准方程(1)区分 y ax2(a0)与 y22 px(p0)，前者不是抛物线的标准方程(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标
15、准方程有时可设为 y2 mx 或x2 my(m0)2抛物线的离心率 e1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化抛物线上的点到焦点的距离根据定义转化为到准线的距离，即| PF| x| 或| PF| y|p2，它们在解题中有重要的作用，注意运用p2教你审题 9灵活运用抛物线焦点弦巧解题【典例】 已知 过抛物线 y22 px(p0)的焦点 ，斜率为 2 的直线交抛物线于 A(x1， y1)，2B(x2， y2)(x1 x2)两点，且 |AB|9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为
16、坐标原点， C 为抛物线上一点， 若 ，求 的值OC OA OB 审题 一审：由直线过抛物线焦点可利用焦点弦长公式求解二审：由点 C 为抛物线上一点，可设出 C 点坐标，利用 表示出点 C 坐标，将OC OA OB 点 C 坐标代入抛物线方程求解解 (1)直线 AB 的方程是 y2 ，与 y22 px 联立，从而有 4x25 px p20，所以2(xp2)x1 x2 ，5p4由抛物线定义得：| AB| x1 x2 p p9，5p4所以 p4，从而抛物线方程为 y28 x.(2)由于 p4,4 x25 px p20 可简化为 x25 x40，从而 x11， x24， y12 ， y24 ，2 2
17、从而 A(1，2 )， B(4,4 )；2 2设 C(x3， y3)，则 ( x3， y3)(1，2 ) (4,4 )(4 1,4 2 )，OC 2 2 2 2又 y 8 x3，即2 (2 1) 28(4 1)，23 2即(2 1) 24 1，解得 0 或 2.反思感悟 (1)解决与抛物线的焦点弦有关问题，常用到x1x2 ， y1y2 p2，| AB| x1 x2 p ( 为 AB 的倾斜角)， 这p24 2psin2 1|AF| 1|BF| 2p些结论，就会带来意想不到的效果(2)解析几何中像这样可以引申推广的规律有很多，只要我们平时善于总结、归纳同类题的解题方法，并注意探究和发掘变换事物中
18、所蕴涵的一般规律，就一定会有更多发现【自主体验】1(2012安徽卷)过抛物线 y24 x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A， B 两点若|AF|3，则| BF|_.解析 法一 由 .得| BF| .1|AF| 1|BF| 2p 32法二 设 BFO ，则Error!由| AF|3， p2，得 cos ，| BF| .13 32答案 322(2012重庆卷)过抛物线 y22 x 的焦点 F 作直线交抛物线于 A， B 两点，若|AB| ，| AF| BF|，则| AF|_.2512解析 由 2 及| AB| AF| BF| ，得| AF|BF| ，再由Error!1|AF| 1|BF| 2p
19、2512 2524解得| AF| ，| BF| .56 54答案 56基础巩固题组(建议用时：40 分钟)一、选择题1(2013四川卷)抛物线 y24 x 的焦点到双曲线 x2 1 的渐近线的距离是( )y23A. B. C1 D.12 32 3解析 抛物线 y24 x 的焦点 F(1,0)，双曲线 x2 1 的渐近线方程是 y x，即y23 3xy0，故所求距离为 .选 B.3|30| 3 2 1 2 32答案 B2(2014济宁模拟)已知圆 x2 y26 x70 与抛物线 y22 px(p0)的准线相切，则 p的值为( )A1 B2 C. D412解析 圆的标准方程为( x3) 2 y21
20、6，圆心为(3,0)，半径为 4.圆心到准线的距离为3 4，解得 p2.(p2)答案 B3点 M(5,3)到抛物线 y ax2的准线的距离为 6，那么抛物线的方程是( )A y12 x2 B y12 x2或 y36 x2C y36 x2 D y x2或 y x2112 136解析 分两类 a0， a0， b0)的两条渐近线与抛物线 y22 px(p0)x2a2 y2b2的准线分别交于 A， B 两点， O 为坐标原点若双曲线的离心率为 2， AOB 的面积为 ，3则 p( )A1 B. C2 D332解析 由已知得双曲线离心率 e 2，得 c24 a2， b2 c2 a23 a2，即 b a.
21、又双ca 3曲线的渐近线方程为 y x x，抛物线的准线方程为 x ，所以不妨令 Aba 3 p2， B ，于是 |AB| p.由 AOB 的面积为 可得 p ，所(p2， 32p) ( p2， 3p2) 3 3 12 3 p2 3以 p24，解得 p2 或 p2(舍去)答案 C二、填空题6若点 P 到直线 y1 的距离比它到点(0,3)的距离小 2，则点 P 的轨迹方程是_解析 由题意可知点 P 到直线 y3 的距离等于它到点(0,3)的距离，故点 P 的轨迹是以点(0,3)为焦点，以 y3 为准线的抛物线，且 p6，所以其标准方程为 x212 y.答案 x212 y7已知抛物线 y24 x
22、 上一点 M 与该抛物线的焦点 F 的距离| MF|4，则点 M 的横坐标x0_.解析 抛物线 y24 x 的焦点为 F(1,0)，准线为 x1.根据抛物线的定义，点 M 到准线的距离为 4，则 M 的横坐标为 3.答案 38抛物线 x22 py(p0)的焦点为 F，其准线与双曲线 1 相交于 A， B 两点，若x23 y23ABF 为等边三角形，则 p_.解析 如图，在等边三角形 ABF 中， DF p， BD p，33 B 点坐标为 .又点 B 在双曲线上，故 1.解得 p6.(33p， p2) 13p23 p243答案 6三、解答题9已知抛物线的顶点在原点，对称轴是 x 轴，抛物线上的点
23、 M(3， m)到焦点的距离为5，求抛物线的方程和 m 的值解 法一 根据已知条件，抛物线方程可设为y22 px(p0)，则焦点 F .(p2， 0)点 M(3， m)在抛物线上，且| MF|5，故Error!解得Error! 或Error!抛物线方程为 y28 x， m2 .6法二 设抛物线方程为 y22 px(p0)，则准线方程为 x ，由抛物线定义， M 点到焦点p2的距离等于 M 点到准线的距离，所以有 (3)5， p4.p2所求抛物线方程为 y28 x，又点 M(3， m)在抛物线上，故 m2(8)(3)， m2 .610设抛物线 C： y24 x， F 为 C 的焦点，过 F 的直
24、线 l 与 C 相交于 A， B 两点(1)设 l 的斜率为 1，求| AB|的大小；(2)求证： 是一个定值OA OB (1)解 由题意可知抛物线的焦点 F 为(1,0)，准线方程为 x1，直线 l 的方程为y x1，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由Error!得 x26 x10， x1 x26，由直线 l 过焦点，则| AB| AF| BF| x1 x228.(2)证明 设直线 l 的方程为 x ky1，由Error! 得 y24 ky40. y1 y24 k， y1y24， ( x1， y1)， ( x2， y2)OA OB x1x2 y1y2( ky11)( ky21)
25、 y1y2OA OB k2y1y2 k(y1 y2)1 y1y24 k24 k2143. 是一个定值OA OB 能力提升题组(建议用时：25 分钟)一、选择题1已知双曲线 C1： 1( a0， b0)的离心率为 2.若抛物线 C2： x22 py(p0)的焦点x2a2 y2b2到双曲线 C1的渐近线的距离为 2，则抛物线 C2的方程为( )A x2 y B x2 y833 1633C x28 y D x216 y解析 1 的离心率为 2，x2a2 y2b2 2，即 4， .ca c2a2 a2 b2a2 ba 3x22 py 的焦点坐标为 ， 1 的渐近线方程为 y x，即 y x.由题意，(
26、0，p2) x2a2 y2b2 ba 3得 2，p21 3 2 p8.故 C2： x216 y，选 D.答案 D2(2014洛阳统考)已知 P 是抛物线 y24 x 上一动点，则点 P 到直线 l：2 x y30和 y 轴的距离之和的最小值是( )A. B. C2 D. 13 5 5解析 由题意知，抛物线的焦点为 F(1,0)设点 P 到直线 l 的距离为 d，由抛物线的定义可知，点 P 到 y 轴的距离为| PF|1，所以点 P 到直线 l 的距离与到 y 轴的距离之和为d| PF|1.易知 d| PF|的最小值为点 F 到直线 l 的距离，故 d| PF|的最小值为 ，所以 d| PF|1
27、 的最小值为 1.|2 3|22 1 2 5 5答案 D二、填空题3(2014郑州二模)已知椭圆 C： 1 的右焦点为 F，抛物线 y24 x 的焦点为 F，x24 y23准线为 l， P 为抛物线上一点， PA l， A 为垂足如果直线 AF 的倾斜角为 120，那么|PF|_.解析 抛物线的焦点坐标为 F(1,0)，准线方程为 x1.因为直线 AF 的倾斜角为 120，所以 tan 120 ，所以 yA2 .因为 PA l，所以 yP yA2 ，代入 y24 x，得yA 1 1 3 3xA3，所以| PF| PA|3(1)4.答案 4三、解答题4(2013辽宁卷)如图，抛物线 C1： x2
28、4 y， C2： x22 py(p0)点 M(x0， y0)在抛物线 C2上，过 M 作 C1的切线，切点为 A， B(M 为原点 O 时， A， B 重合于 O)当 x01 时，切线 MA2的斜率为 .12(1)求 p 的值；(2)当 M 在 C2上运动时，求线段 AB 中点 N 的轨迹方程( A， B 重合于 O 时，中点为 O)解 (1)因为抛物线 C1： x24 y 上任意一点( x， y)的切线斜率为 y ，且切线 MA 的斜率x2为 ，所以 A 点坐标为 ，12 ( 1， 14)故切线 MA 的方程为 y (x1) .12 14因为点 M(1 ， y0)在切线 MA 及抛物线 C2
29、上，2于是 y0 (2 ) ，12 2 14 3 224y0 . 1 2 22p 3 222p由得 p2.(2)设 N(x， y)， A ， B ， x1 x2，(x1，x214) (x2， x24)由 N 为线段 AB 中点知 x .x1 x22y .x21 x28切线 MA， MB 的方程为y (x x1) ，x12 x214y (x x2) .x22 x24由得 MA， MB 的交点 M(x0， y0)的坐标为x0 ， y0 .x1 x22 x1x24因为点 M(x0， y0)在 C2上，即 x 4 y0，20所以 x1x2 .x21 x26由得 x2 y， x0.43当 x1 x2时， A， B 重合于原点 O， AB 中点 N 为 O，坐标满足 x2 y.43因此 AB 中点 N 的轨迹方程为 x2 y. 43
