1、第四讲 函数与方程、函数的应用1二次函数(1)求二次函数在某段区间上的最值时，要利用好数形结合，特别是含参数的两种类型：“定轴动区间，定区间动轴”的问题，抓住“三点一轴” ，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指的是对称轴(2)注意三个“二次”的相互转化解题(3)二次方程实根分布问题，抓住四点：“开口方向、判别式 、对称轴位置、区间端点函数值正负 ”2函数与方程(1)函数的零点对于函数 f(x)，我们把使 f(x)0 的实数 x 叫做函数 f(x)的零点(2)零点存在性定理如果函数 yf(x )在区间a ，b 上的图象是一条连续不断的曲线，且有 f(a)f(b)lne，x 1.ylog 52
2、 ， 0，f(b) (bc)(ba)0. 因此有 f(a)f(b)1 时，f( x)2 xlog0.5x12 xlog2x1，令 f(x)0 得 log2x x，(12)由 ylog 2x，y x的图象知在(1，) 上有一个交点，即 f(x)在(1，) 上有一个(12)零点，故选 B.5(2013辽宁)已知函数 f(x)x 22( a2)xa 2，g(x) x 22(a2)x a 28.设 H1(x)maxf( x)，g( x)，H 2(x)minf (x)，g(x)(maxp，q表示 p，q 中的较大值，12minp，q表示 p，q 中的较小值)记 H1(x)的最小值为 A，H 2(x)的最
3、大值为 B，则AB( )A16B16Ca 22a16Da 22a16答案 B解析 f(x)x(a2) 244a，g(x)x(a 2) 2124a，在同一坐标系内作 f(x)与g(x)的图象(如图)依题意知，函数 H1(x)的图象(实线部分) ，函数 H2(x)的图象 (虚线部分)H 1(x)的最小值 Af(a2) 44a，H2(x)的最大值 Bg(a2) 124a，因此 AB (44a)(124a)16.题型一函数零点问题例 1 设函数 f(x) xlnx (x0)，则 yf(x)( )13A在区间 ，(1 ，e) 内均有零点1e，1B在区间 ，(1，e)内均无零点1e，1C在区间 内有零点，
4、在区间(1，e)内无零点1e，1D在区间 内无零点，在区间(1，e)内有零点1e，1审题破题可以通过计算 f ，f(1)，f(e) 判断，也可利用函数图象(1e)答案 D解析方法一因为 f ln 10，f(1) ln1 0，f (e)(1e) 131e 1e 13e 13 13 lne 10，f(1) f(e)0，所以函数 f(x)2 xx 32 在(0,1)上递增，且 f(0)10210，所以有 1 个零点(2)在下列区间中，函数 f(x)e x4x3 的零点所在的区间为( )A( ，0) B(0， )14 14C( ， ) D( ， )14 12 12 34答案 C解析因为 f(x )e
5、x40 ，f 0，f 0，由零点存在性定( 14) (14) (12) (34)理知 f(x)在 上存在一零点故选 C.(14，12)题型二函数与方程的综合应用例 2 已知函数 f(x)x 22ex m1，g(x)x (x0)e2x(1)若 g(x)m 有实根，求 m 的取值范围；(2)确定 m 的取值范围，使得 g(x)f(x)0 有两个相异实根审题破题 (1)g(x )m 有实根，可以分离参数转化为求函数最值(2) 利用图象，探究可能的不等关系，从而构造关于 m 的不等式求解解(1)g(x) x 2 2e，e2x e2等号成立的条件是 xe.故 g(x)的值域是2e，)，因而只需 m2e，
6、则 g(x)m 就有实根故 m2e ， )(2)若 g(x)f(x)0 有两个相异的实根，即 g(x)f(x)中函数 g(x)与 f(x)的图象有两个不同的交点，作出 g(x)x (x0)的大致图象e2xf(x)x 22e xm1(x e)2m1e 2.其对称轴为 xe ，开口向下，最大值为 m1e 2.故当 m1e 22e，即 me 22e 1 时，g(x)与 f(x)有两个交点，即 g(x)f(x) 0 有两个相异实根m 的取值范围是(e 22e 1，) 反思归纳解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解变式训练
7、2 已知函数 f(x)2ax 22x3.如果函数 yf(x)在区间1,1上有零点，则实数 a的取值范围为_答案 12， )解析若 a0，则 f(x)2x3，f(x)0x 1,1，不合题意，故 a0.32下面就 a0 分两种情况讨论：(1)当 f( 1)f(1)0 时，f(x) 在1,1上至少有一个零点，即(2a5)(2 a1)0，解得a .12 52(2)当 f( 1)f(1)0 时，f(x)在 1,1上有零点的条件是Error!解得 a .52综上，实数 a 的取值范围为 .12， )题型三函数模型及其应用例 3 为方便游客出行，某旅游点有 50 辆自行车供租赁使用，管理这些自行车的费用是每
8、日 115 元根据经验，若每辆自行车的日租金不超过 6 元，则自行车可以全部租出；若超过 6 元，则每超过 1 元，租不出的自行车就增加 3 辆为了便于结算，每辆自行车的日租金 x(元)只取整数，并且要求出租自行车一日的收入必须高于这一日的管理费用，用 y(元) 表示出租自行车的日净收入 (即一日出租自行车的总收入减去管理费用后的所得)(1)求函数 yf(x )的解析式及其定义域；(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？审题破题 f(x)为分段函数，要分 x6 和 x6 两种情况分别寻求函数关系，x 应为整数解 (1)当 x6 时，y50x 115.令 50x1150
9、，解得 x2.3.xN *，x3，3x6，xN *.当 x6 时，y 503( x6) x115，令503(x6)x 1150,3x 268x 115185，当每辆自行车的日租金定在 11 元时，才能使一日的净收入最多反思归纳解应用题首先要正确理解题意，将实际问题化为数学问题，再利用数学知识如函数、导数、不等式解决数学问题，最后回归到实际问题的解决上变式训练 3 里氏震级 M 的计算公式为： Mlg AlgA 0，其中 A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0 是相应的标准地震的振幅假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是 1000，此时标准地震的振幅为 0.001，则此次地震的震级为_级
10、；9 级地震的最大振幅是 5 级地震的最大振幅的_倍答案 610000解析由 MlgAlgA 0知，M lg1000lg0.001 3(3)6，此次地震的震级为 6级设 9 级地震的最大振幅为 A1,5 级地震的最大振幅为 A2，则lg lgA 1lg A2(lgA 1lgA 0)(lgA 2lg A0)A1A2954. 10 410000，A1A29 级地震的最大振幅是 5 级地震的最大振幅的 10000 倍典例 (14 分)省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数 f(x)与时刻 x(时) 的关系为 f(x) 2a ，x0,24，其中 a
11、是与气象有关的参数，且 a ，若用每|xx2 1 a| 23 0，12天 f(x)的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作 M(a)(1)令 t ，x 0,24 ，求 t 的取值范围；xx2 1(2)省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过 2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？规范解答解 (1)当 x0 时，t0；1 分当 00 ，所以根据零点存在性定理可知函数的零点所在的区间是(0,1)，选 D.2已知函数 f(x)a xxb 的零点 x0(n，n1) (nZ )，其中常数 a，b 满足2a3,3 b2，则 n 的值为( )A2B1C0D1答案 B解析 alog 231，b
12、log 320 时，f(x ) xlog 3x 是减函数，(15)又 x0是方程 f(x)0 的根，即 f(x0)0.当 0f(x0) 0.5设函数 yf( x)在 R 上有意义，对于给定的正数 M，定义函数 fM(x)Error!，则称函数fM(x)为 f(x)的“孪生函数” 若给定函数 f(x)2x 2，M1，则 fM(0)的值为( )A2B1C. D2 2答案 B解析由题意，当 f(x)2x 21，即 x1 或 x1 时，f M(x)2x 2.当11)恰有 3 个不同的实数根，则 a 的取值范围是_答案( ，2)34解析由 f(x2)f(x 2)，知 f(x)是周期为 4 的周期函数，于是可得 f(x)在(2,6上的草图如图中实线所示，而函数 g(x)log a(x2)( a1)的图象如图中虚线所示，结合图象可知，要使得方程 f(x)log a(x2)0( a1)在区间( 2,6内恰有 3 个不同的实数根，必需且只需Error!所以Error!解得 0，则方程(a1)t 2 at10 有且只有一个正根43当 a1 时，则 t ，不合题意；34当 a1 时，0，解得 a 或3.34若 a ，则 t2，不合题意；若 a3，则 t ；34 12若方程有一个正根与一个负根，即 1.综上所述，实数 a 的取值范围是3(1，)
