1、摘要本文主要研究了露天矿在一个班时内的车辆、路线安排问题。在对露天矿铲位及卸点产量要求、现有车辆等条件进行分析的基础上，按照题目两条原则，分别建立整数规划最优模型，采用 Lingo 软件对一个班次内车辆、线路的安排进行优化。首先引入最优化模型的 0-1 变量，表示铲位是否被利用。 对于原则一，总运量为卡车载重量与路程之积，载重量 154 吨是常数，保证总运量最小，要求路程最小，根据这一原则，利用时间、车辆、品位限制等限制条件，建立整数规划模型，求出一个班次内车辆、路线的安排，得出总运量最优解为：85320 吨公里，铲位 1 至岩石漏有 2 辆，运 81 次；铲位 2 至矿石漏有 1 辆，运 1
2、3 次；铲位 2 至倒装场有 1 辆，运 39 次具体情况见表 3。对于原则二，产量为各卸点收到的岩石、矿石产量之和，原则二要求岩石产量优先，再保证完成各卸点的要求下，主要运岩石。确定其产量最大目标函数，利用利用时间、车辆、品位限制等限制条件，建立整数规划的最优模型，求出车辆及路线的安排情况，产量最优解为产量 103488 吨，岩石 49280 吨，矿石 54208 吨，车辆、线路安排：1 号卡车，铲点 3 到矿石漏运 31 次；2 号卡车，铲点 7 到矿石漏运 36 次；3 号卡车，铲位 8 到矿石漏运 11 次，在从铲点 9 到岩场运 25 次，详细情况见表 6。关键词：0-1 变量、目标
3、函数、限制条件、整数规划一、 问题重述钢铁工业是国家工业的基础之一，铁矿是钢铁工业的主要原料基地。许多现代化铁矿是露天开采的，它的生产主要是由电动铲车（以下简称电铲）装车、电动轮自卸卡车（以下简称卡车）运输来完成。提高这些大型设备的利用率是增加露天矿经济效益的首要任务。露天矿里有若干个爆破生成的石料堆，每堆称为一个铲位，每个铲位已预先根据铁含量将石料分成矿石和岩石。一般来说，平均铁含量不低于 25%的为矿石，否则为岩石。每个铲位的矿石、岩石数量，以及矿石的平均铁含量（称为品位）都是已知的。每个铲位至多能安置一台电铲，电铲的平均装车时间为5 分钟。卸货地点（以下简称卸点）有卸矿石的矿石漏、2 个
4、铁路倒装场（以下简称倒装场）和卸岩石的岩石漏、岩场等，每个卸点都有各自的产量要求。从保护国家资源的角度及矿山的经济效益考虑，应该尽量把矿石按矿石卸点需要的铁含量（假设要求都为 29.5% 1%，称为品位限制）搭配起来送到卸点，搭配的量在一个班次（8 小时）内满足品位限制即可。从长远看，卸点可以移动，但一个班次内不变。卡车的平均卸车时间为 3 分钟。所用卡车载重量为 154 吨，平均时速 28 。卡车的耗油量很大，每个hkm班次每台车消耗近 1 吨柴油。发动机点火时需要消耗相当多的电瓶能量，故一个班次中只在开始工作时点火一次。卡车在等待时所耗费的能量也是相当可观的，原则上在安排时不应发生卡车等待
5、的情况。电铲和卸点都不能同时为两辆及两辆以上卡车服务。卡车每次都是满载运输。每个铲位到每个卸点的道路都是专用的宽 60 的双向车道，不会出现堵车现象，每段道路的里程都是已知的。一个班次的生产计划应该包含以下内容：出动几台电铲，分别在哪些铲位上；出动几辆卡车，分别在哪些路线上各运输多少次（因为随机因素影响，装卸时间与运输时间都不精确，所以排时计划无效，只求出各条路线上的卡车数及安排即可） 。一个合格的计划要在卡车不等待条件下满足产量和质量（品位）要求，而一个好的计划还应该考虑下面两条原则之一： 1.总运量（吨公里）最小，同时出动最少的卡车，从而运输成本最小；2.利用现有车辆运输，获得最大的产量（
6、岩石产量优先；在产量相同的情况下，取总运量最小的解） 。请你就两条原则分别建立数学模型，并给出一个班次生产计划的快速算法。针对下面的实例，给出具体的生产计划、相应的总运量及岩石和矿石产量。某露天矿有铲位 10 个，卸点 5 个，现有铲车 7 台，卡车 20 辆。各卸点一个班次的产量要求：矿石漏 1.2 万吨、倒装场1.3 万吨、倒装场1.3 万吨、岩石漏 1.9 万吨、岩场 1.3 万吨。铲位和卸点位置的二维示意图如下，各铲位和各卸点之间的距离（公里）如下表：铲位 1 铲位 2 铲位 3 铲位 4 铲位 5 铲位 6 铲位 7 铲位 8 铲位 9 铲位 10矿石漏 5.26 5.19 4.21
7、 4.00 2.95 2.74 2.46 1.90 0.64 1.27倒装场 1.90 0.99 1.90 1.13 1.27 2.25 1.48 2.04 3.09 3.51岩场 5.89 5.61 5.61 4.56 3.51 3.65 2.46 2.46 1.06 0.57岩石漏 0.64 1.76 1.27 1.83 2.74 2.60 4.21 3.72 5.05 6.10倒装场 4.42 3.86 3.72 3.16 2.25 2.81 0.78 1.62 1.27 0.50各铲位矿石、岩石数量(万吨)和矿石的平均铁含量如下表：铲位 1 铲位 2 铲位 3 铲位 4 铲位 5 铲位
8、 6 铲位 7 铲位 8 铲位 9 铲位 10矿石量 095 105 1 00 105 110 1 25 105 1 30 135 125岩石量 125 110 1 35 105 115 1 35 105 1 15 135 125铁含量 30% 28% 29% 32% 31% 33% 32% 31% 33% 31%二、问题分析2.0 背景分析以大型化、自动化、智能化设备来装备矿山是今后矿业发展的趋势。矿山装备的国产化已成为我国的国策，2006 年 6 月 28 日国务院发布了关于加快振兴装备制造业的若干意见 ，将“发展大型煤炭井下综合采掘、提升和洗选设备以及大型露天矿设备，实现大型综采、提升和
9、洗选设备国产化”列为主要任务，这将加快国产矿山设备生产技术的发展，促进我国矿山装备制造业的振兴，从而促进矿山采矿效率的提高。近年来采矿设备发展迅猛，新产品、新技术不断涌现。露天采矿装备随着露天矿开采规模的大型化而向着两个方向发展：一是采矿装备大型化，二是装备自动化、智能化。提高露天矿的大型设备的利用率是增加露天矿经济效益的首要任务，也被提上了议程。21 世纪是一个充满挑战和想象力的世纪。随着时间的推移，现有的各种类型的采矿方法都有可能遭遇面目全非的变革，无人矿山、海底采矿、太空采矿等都将成为现实。采矿业将以一个更需要我们想象力才能描绘的形象，伴随人类的文明活动而向前发展。2.1 问题一分析本题
10、要求安排合理的计划：出动几台电铲，分别在哪些铲位上；出动几辆卡车，分别在哪些路线上各运输多少次。根据原则一要求，总运量（吨公里）最小，同时出动最少的卡车，从而运输成本最小，对该题进行逐步分析，首先确定总运量的定义，总运量 载重量 路程。再确定目标函数，卡车的载重量为 154 吨为一恒定常数，要想使总运量（吨公里）最小，就必须使路程在满足条件下尽可能的小，所有卡车的工作时间越小，需要出动的车辆数也越小。因此只有总运输路程最小，才能保证出动的卡车数量最少。根据以上两条原则，确定其目标函数。然后对限制条件进行多元素分析，共有7 台铲车，10 个铲点，所以在每个班次最多只有 7 个铲点进行正常工作；每
11、个班次 8 小时，共 480 分钟，每个卸点卸车时间平均为 3 分钟，每个班次内，每个卸点接待各个铲点的卡车最多为 160 辆， （最多卸车 160 次） ，铲点撞车时间平均 5 分钟，同理每个铲点往外发出卡车 96 辆， （最多装车 96 次） ；卡车数量20 辆，每个班次内，从各个铲点发往各个卸点的车不超过 20 辆；每个铲点均有其岩石、矿石数量，每个卸点也均有其产量要求，制定的计划需要满足各个卸点对岩石、矿石的需求量，同时也不能超过各个铲点对岩石、矿石的最大提供量；各个卸点均有其品位限制，所制定的计划需满足各个卸点对铁含量的品味限制。综合以上限制条件建立优化模型，得出优化方案。2.2 问
12、题二分析题目同问题一，根据原则二，利用现有车辆运输，获得最大的产量（岩石产量优先；在产量相同的情况下，取总运量最小的解）制定最优方案，满足题目要求。首先确定产量定义， 岩石产量=各铲点所生产岩石之和、产量=各铲点所生产岩石与矿石之和、总运量=载重量 总路程，再确定目标函数，如果要保证总岩石产量最大，需在满足各卸点产量要求的情况下，所有在剩余时间内卡车全运岩石。然后对限制条件进行多元素分析，共有 7 台铲车，10 个铲点，所以在每个班次最多只有 7 个铲点进行正常工作；每个班次 8 小时，共 480 分钟，每个卸点卸车时间平均为 3 分钟，每个班次内，每个卸点接待各个铲点的卡车最多为 160 辆
13、， （最多卸车 160 次） ，铲点撞车时间平均 5 分钟，同理每个铲点往外发出卡车 96 辆， （最多装车 96 次） ；卡车数量 20 辆，每个班次内，从各个铲点发往各个卸点的车不超过 20 辆；每个铲点均有其岩石、矿石数量，每个卸点也均有其产量要求，制定的计划需要满足各个卸点对岩石、矿石的需求量，同时也不能超过各个铲点对岩石、矿石的最大提供量；各个卸点均有其品位限制，所制定的计划需满足各个卸点对铁含量的品味限制。综合以上限制条件建立优化模型，得出优化方案。三、模型假设与约定（1）一个班次之内，铲车不移动。（2）每个班次开始时，计划安排的卡车在相应铲点位置，并且卡车未点火之前不视为等待情况
14、。（3）一个班次内，不出现铲车、卡车损坏情况，不计人为原因造成的等待情况。四、符号说明i(1,230)铲点j45卸点ijl路程ijt时间ijz产量ijx卡车运送次数1ib第 个铲位的矿石数量i2i第 个铲位的岩石数量3i第 个铲位的铁含量ia卡车的载重量 154 吨jc卸点的一个班次的产量要求五、模型的建立与求解5.1 问题一的模型建立5.1.1 目标函数的确定（1）总运量定义：总运量 载重量 路程。（2）目标函数的确定：卡车的载重量为 154 吨为一恒定常数，要想使总运量（吨公里）最小，就必须使路程在满足条件下尽可能的小，所有卡车的工作时间越小，需要出动的车辆数也越小。因此只有总运输路程最小
15、，才能保证出动的卡车数量最少。因此设目标函数为： 105minijixl5.1.2 限制条件（1）引入最优化模型的 0-1 变量，表示铲位是否被利用:0;1i i第 个 铲 位 未 被 利 用 ， 即 没 有 铲 车第 个 铲 位 被 利 用 ， 即 有 铲 车因为最多有 7 量铲车，故有： 107i（2）时间限制每个班次工作时间为 8 小时，共 480 分钟，调用的卡车数量为 ，可以利用的ijx铲点为 ，所以可以利用的时间为10iw10510510510(48)()5ij ijijii iitxxw（3）次数限制每个班次共用时间为 480 分钟，卸点卸车时间为 3 分钟，则每个卸点卸车次数最
16、多为 次，则860151601,25ijfj 铲点装车时间为 5 分钟，则每个铲点装车次数最多为 次，则860910961,230ijfi （4）卡车数量限制卡车数量为 20 辆，利用的卡车数为 1052ijix（5）产量限制每个铲点均有各自的矿石、岩石数量，每个卸点均有其产量要求，在铲点运输的总量不能超过其拥有数量且往卸点运输的产量不能低于其产量要求每一个铲位矿石量：31ijiafb10.2,i每一个铲位岩石量542ijif.,i卸点的产量要求：10ijiafc5.1j（6）铁含量限制每个班次内运输的矿石搭配的量均需满足铁含量的品位限制（假设要求都为29.5% 1%，称为品位限制） ，则：3
17、1()28.5%0.5%ijijjijadf5.1.3 模型建立目标函数 105minijixl1051051051010 17 2(48)()532 4iij ijijii iiijiijitxxwxafbST 3154103151 52 67()28.%0.5%89601,2510ijiijiijijjijijijfafcdfafjf 为 整 数 09,30iji 5.1.4 模型求解根据实例数据，设铲位 ，卸点i=1,2 j1,25:矿石漏 :倒装场 ：倒装场 ：岩场 ：岩石漏1U23U45U表 1 各卸点需求量和所须运输次数表 2 各铲点岩石量、矿石量及铁含量铲位1铲位2铲位3铲位4铲
18、位5铲位6铲位7铲位8铲位9铲位10j 2345需求 Cj 1.2 1.3 1.3 1.3 1.9趟数 jb78 85 85 85 1241ib0.95 1.1 1 1.05 1.1 1.25 1.05 1.3 1.35 1.252i1.25 1.1 1.35 1.05 1.15 1.35 1.05 1.15 1.35 1.253i30% 28% 29% 32% 31% 33% 32% 31% 33% 31%用 软件求得：最优解 吨公里；铲位有 7 个，分别为Lingo85320z1,2,3,4,8,9,10; 的解如表 3ijX表 3 各铲位到各卸点所需运输的次数岩石漏 矿石漏 倒装场 岩场
19、 倒装场 铲位 1 2 辆 81 趟铲位 2 1 辆 13 趟 1 辆 39 趟 1 辆 14 趟铲位 3 1 辆 3 5 趟铲位 4 1 辆 3 7 趟铲位 8 2 辆 5 5 趟铲位 9 2 辆 7 0 趟铲位 10 1 辆 1 0 趟2 辆，7 1 趟车辆的运输安排是否满足条件 ,用判断等待间题方法进行检验 。各条路线上的卡车数量如表 5.表 5 各条线路上的卡车数量铲位1铲位2铲位3铲位4铲位5铲位6铲位7铲位8铲位9铲位10矿石漏时间 7 7 6 6 5 4 4 4 3 3倒装场时间 4 3 4 3 3 4 3 4 5 5倒装场时间 6 5 5 5 4 5 3 3 3 3岩场时间 7
20、 7 7 6 5 5 4 4 3 3岩石漏时间 3 4 3 4 4 4 6 5 6 7从表 5.可看出各线路上所分配的卡车数是满足线路上车辆数饱和度的,即卡车在一条线路上自我循环不会发生等待。等待间题只发生在路线交叉的铲位和卸点上 。其简单分支的等待判断算法有 :1 ) 若相交的两条路线等长,在满足发车量小于路线饱和度的情况下 ,只要两路线的发车时间相差 3 分钟就可避免等待现象 2 ) 若相交路线不等长 ,逐步递推出在第 i 次运输时出现第 1 次等待情况而 i 大于路线饱和度 ;或一直推算到最后一次运输都没 发生等待 ,则表示此路线方案可行 ;算法二:构造运输包括装货,运输 ,卸货的时间分
21、布函数 ,用 M a t l a b 将它们的整个运输过程表示在以时间为横坐标 的同一坐 标系内,可 以直观地看出它们的等待情况。若上下工作区的卸货时(在不同路线的同一卸点)相交,就是出 现了等待现象。通过移动其中一个的原点(改变发车的相对时间)来避免等待现象 ,如图 1。图 1 卡车运行示意图图 15.2 问题二的模型建立与求解5.2.1 目标函数的确定（1）产量定义岩石产量=各铲点所生产岩石之和产量=各铲点所生产岩石与矿石之和总运量=载重量 总路程（2）目标函数的建立，要保证总岩石产量最大，需在满足各卸点要求的情况下，所有卡车全运岩石，则目标函数为： 5104150max(1)2in(3)
22、ijjijjijjffafd对三个目标函数加权形成一个目标： 5105105104max.7.29.ij ij ijj j jtatatd5.2.2 限制条件（1）引入最优化模型的 0-1 变量，表示铲位是否被利用:0;1i i第 个 铲 位 未 被 利 用 ， 即 没 有 铲 车第 个 铲 位 被 利 用 ， 即 有 铲 车因为最多有 7 量铲车，故有： 107i（2）时间限制每个班次工作时间为 8 小时，共 480 分钟，调用的卡车数量为 ，可以利用的ijx铲点为 ，所以可以利用的时间为10iw10510510510(48)()5ij ijijii iitxxw（3）次数限制每个班次共用时
23、间为 480 分钟，卸点卸车时间为 3 分钟，则每个卸点卸车次数最多为 次，则860151601,25ijfj 铲点装车时间为 5 分钟，则每个铲点装车次数最多为 次，则860910961,23ijfi （4）卡车数量限制卡车数量为 20 辆，利用的卡车数为 1052ijix（5）产量限制每个铲点均有各自的矿石、岩石数量，每个卸点均有其产量要求，在铲点运输的总量不能超过其拥有数量且往卸点运输的产量不能低于其产量要求每一个铲位矿石量：31ijiafb10.2,i每一个铲位岩石量542ijif.,i卸点的产量要求：10ijiafc5.1j（6）铁含量限制每个班次内运输的矿石搭配的量均需满足铁含量的
24、品位限制（假设要求都为29.5% 1%，称为品位限制） ，则：31()28.5%0.5%ijijjijadf5.2.3 模型建立目标函数： 5105105104max.7.29.ij ij ijj j jtatatd1051051051010 17 2(48)()532 4iij ijijii iiijiijitxxwxafbST 3154103151 52 67()28.%0.5%89601,2510ijiijiijijjijijijfafcdfafjf 为 整 数 09,30iji 5.2.4 模型求解该目标规划约束条件和决策变量较多,直接求解计算量较大,所以我们简化为仅对第一优先级为目标
25、函数求解 ,即在只保留第一个优先级岩石产量达到最优的情况下用 软件(程序在附录略)对该 目标规划进行求解,在实际问题 lingo中,当等待无法避免时,用该算法能较为粗略地估算出总产量和岩石,矿石各自的产量。同时我们也可以把该目标规划问题转化为线性规划问题,应用 软件lingo对其进行求解。如此迭代得到最优解:总产量:Q=103488 吨, 岩石产量: 49280 吨, 矿石产量: 54208 吨,辆卡 20 车,7辆铲车。车辆在各条路线上的调配 ,如表 6表 6 各卡车所走的线路及运输趟数卡车号 铲点到卸点线路及运输次数卡车号 铲点到卸点线路及运输次数1 号车 三到一 31 次 11 号车 四
26、到三 3 次 十到五 31 次2 号车 七到一 36 次 12 号车 八到三 48 次3 号车 八到一 11 次 九到五 25 次 13 号车 十到三 33 次4 号车 一到二 28 次 14 号车 一到四 34 次5 号车 二到二 53 次 15 号车 一到四 34 次6 号车 二到二 14 次 16 号车 二到四 28 次7 号车 四到二 52 次 17 号车 三到四 35 次8 号车 四到二 13 次 十到五 20 次 18 号车 三到四 1 次 九到五 15 次9 号车 二到三 1 次 九到五 25 次 19 号车 四到四 28 次10 号车 三到三 29 次 20 号车 八到五 12
27、 次 十到五 12 次六、模型评价6.1 模型的优点(1) 模型巧妙引入0-1变量用以表示铲位是否有产出以及铲车数，简化计算。(2) 使用lingo软件求解快速准确。6.2 模型的不足(1)对于卡车的分配问题使用人工计算分析，没有建立一定得模型求解。(2)本题对计算机的依赖较大，当问题规模变大时计算有一定难度。6.3 模型的改进对于卡车分配问题应写出适当的算法，用计算机优化求解。附录附录 1：Lingo 程序程序一model:!各量集;sets:!truck/t1t20/:number; warehouse/w1w10/:capacity1,capacity2,content,use;vend
28、ors/v1v5/:demand,vmin;links(vendors,warehouse):d,x;endsetsmin=sum(vendors(i):0.0154*vmin(i);!min=sum(links:times);for(links(i,j)|i #eq# 4:0.0154*(times(i,j)+times(i+1,j)=0.285*sum(warehouse(j):0.0154*times(i,j););for(vendors(i):vmin(i)=sum(warehouse(j):d(i,j)*times(i,j);for(warehouse(j):sum(vendors(
29、i):times(i,j)=demand(i);sum(warehouse(j):use(j)=0.285*sum(cd(j):0.0154*x(i,j););!for(jl(i):vmin(i)=sum(cd(j):d(i,j)*x(i,j);for(cd(j):sum(jl(i):x(i,j)=xq(i);sum(cd(j):use(j)=7;for(links(i,j):gin(x(i,j);for(cd(j):bin(use(j);for(links(i,j):x(i,j)*(60*2*d(i,j)/28+8)/480+1=1.6+6/7*d(i,j););sum(links(i,j)
30、:x(i,j)*(60*2*d(i,j)/28+8)/480)=20;data:d =5.26 5.19 4.21 4.00 2.95 2.74 2.46 1.90 0.64 1.271.90 0.99 1.90 1.13 1.27 2.25 1.48 2.04 3.09 3.514.42 3.86 3.72 3.16 2.25 2.81 0.78 1.62 1.27 0.500.64 1.76 1.27 1.83 2.74 2.60 4.21 3.72 5.05 6.105.89 5.61 5.61 4.56 3.51 3.65 2.46 2.46 1.06 0.57 ; kc1=0.95 1.05 1.00 1.05 1.10 1.25 1.05 1.30 1.35 1.25;kc2=1.25 1.10 1.35 1.05 1.15 1.35 1.05 1.15 1.35 1.25;hl =0.30 0.28 0.29 0.32 0.31 0.33 0.32 0.31 0.33 0.31;xq=1.2 1.3 1.3 1.9 1.3;enddataend
