1、第六章 信用违约互换模型,6.1 信用违约互换的一般定价原理,固定票息,浮动收益,面值-回收值,25bps,25bps,25bps, ,违约发生,25bps,信用违约互换现金流,1年,2年,3年,5年,6.1 信用违约互换的一般定价原理,前提假设：信用违约互换的票息每年支付一次 假定：有一个在T时刻到期的信用违约互换；每年的票息为s，并于每年年末支付；信用违约互换面值为1，回收率为R；违约时间 ；第n年年末现金流：n ，买卖方不再有现金流 时刻，买方有正的现金流（1-R）,6.1 信用违约互换的一般定价原理,风险中性测度下的折现因子 在t时刻还没有违约的概率 违约发生在t-1年和t年之间的概率
2、 折现票息现金流：违约点上的现金流：,6.1 信用违约互换的一般定价原理,一个信用违约互换的总概率加权现金流为：计算风险中性概率测度下的违约概率：对于一个崭新的信用违约互换，在初始交易点，其市场价格应该为0。体现在现金流上，就是在风险中性概率测度之下，所有预期票息的折现和所有预期赔偿金的折现完全相同。反过来，如果让这两个值相等，就能得到风险中性概率测度下的违约概率。这个概率也被称为隐含在市场价格中的违约概率。,6.1 信用违约互换的一般定价原理,对于 的处理：(1)假定一旦违约发生在i-1年和i年之间，那么赔偿金总是在时刻i得到。在此假设下，(2) 通过约化模型得到违约时间的整体分布函数 则有
3、：,假设(1)下的隐含违约概率,第一年的隐含违约概率：第二年的隐含违约概率：第T年的隐含违约概率：,假设(2)：严格假定违约后的赔偿金在时间点上得到,在hazard rate 概念下推倒得到：利用上述公式的两种途径 1）在给出了约化系数函数 以后，可用上述公式计算出第i年到期的信用违约互换合理的票息 2）如果知道了所有时间点上的信用违约互换的票息，就可以依次地求出函数,假设(2)：严格假定违约后的赔偿金在时间点上得到,在更精确的假设下得到的hazard rate与在原假设下得到的hazard rate比较：在精确假设下得到的hazard rate 要低于在年末得到违约赔偿金假设下得到的haza
4、rd rate，这是因为前一种情况下违约赔偿金一定会来得早，但二者关于票息支付时间和方式的假设却都一样，所以为了使得初始的违约互换现金流的折现为零，违约应来得慢一些。,6.2 信用违约互换的闭形式模型,假设：利率为常数r，每年的条件违约概率为常数p，违约回收率为常数R，信用互换中每年的票息是s。P(违约发生在第n年和第n+1年之间 没有违约发生在第n年以前)=p,6.2 信用违约互换的闭形式模型,第一种情况：假定票息在每年的年初支付，而且一旦违约触及，赔偿会在当年的年底收到，得到此时现金流的值为零，该式也说明信用违约互换的票息应等于与其损失率的折现值。 特别的，当r=0时，上式化为当R=0时，
5、就有s=p 上式直观地表明了信用违约互换的票息和条件违约概率的关系。 作为一个崭新的违约互换合同，理论上的价值是零，即风险中性条件违约概率等于违约互换的票息。票息越高 ，风险中性的违约概率越大。,6.2 信用违约互换的闭形式模型,第二种情况：信用违约互换的合同要求在每年年末付款。得到在违约的初始点上有当回收率R=0时， ， 第三种情况：连续情形的理想情况下，利率为连续复利，票息也是连续地付出。得出,6.3有违约风险的债券,假定：债券的票息c，票息每年支付一次；债券本金是1元，到期时间是第n年年末；今天的价格是V；违约概率p；同样到期时间的信用违约掉换的票息s,6.3有违约风险的债券,利用在违约
6、互换中的方法讨论债券的价格与违约概率之间的关系，得到在利率为常数的情况下，债券的闭形式：一个债券是平价交易的时候，债券的票息c、违约概率p和同样到期时间的信用违约掉换的票息s之间的关系：,6.3有违约风险的债券,对比与上一节信用违约互换中的关系：在r很小可以忽略不计的时候有 这说明了公司债券和违约互换之间的密切联系。 有违约风险的债券票息由两部分组成，一部分是风险利率，另一部分则反映了违约风险的风险加价。,6.4 信用违约互换按照市场标价 -如何为已经存在的信用违约互换按市场标价,一个违约互换的初始市场价格应该是其两端的现金流折现值的差 ，在无套利条件的公平交易原则下，违约互换的初始的市场价格
7、是0。 一旦市场发生了变化，违约互换的市场价格不再是0，根据会计准则，持有信用违约互换的市场参与人必须对违约掉换按市场标价，该过程即Mark to Market, 简称MtM。,6.4 信用违约互换按照市场标价,假定现存的违约互换还有k年到期，票息为s；崭新的k年到期的违约互换，今天的票息价格s 现有违约互换现金流折现值为：今天崭新的违约互换的价格应该是0，所以有将下式代入上式得，该违约互换的按市场标价：,6.4 信用违约互换按照市场标价,含义： 新的风险中性违约概率的年金A，通常以现有的年金作为近似。 这样，新违约互换的票息s就成为现有违约互换市场标价的唯一因素。 从买方角度看，当s ，现有
8、违约互换的价格 ；当s ，现有违约互换价格 。增加或减少的部分和违约概率加权年金的乘积，就是原违约互换的市场价格的一个近似值。但该近似值在市场出现较大波动时，显得比较粗糙。,6.4 信用违约互换按照市场标价,将实际精确的价格和上述近似值价格加以比较，就会发现所谓的价格凸性现象。 凸性图说明，用近似值来求得的信用违约互换的价格实际上永远要高于精确价格。比如信用曲线向上移动，信用违约的概率要增加，生存概率要减少，所以用现有的违约概率去求年金就造成了对价格的向上偏差 。但是由于新旧曲线票息差是负的，所以也造成了近似值高于精确值。在市场上，交易员常常会利用凸性原则对违约互换的价格作出自己的判断，帮助交
9、易。,6.5 信用曲线的特征,水平的信用曲线 上升的信用曲线 下降的信用曲线 远期违约互换,信用曲线,信用曲线是指由不同到期时间的信用违约互换的票息所组成的曲线。 信用曲线反映了市场对某个债券的发行实体的短、中、长期的信用预测。,水平的信用曲线,见书124页 观察一个水平的信用曲线，在这条信用曲线下，每个违约互换的票息都是60个基准点，假设回收率是40%，无风险利率5% 计算结果曲线显示，违约生存的概率近乎是一条向下的直线，而每年的hazard rate 是个常数。 这说明，水平的信用曲线隐含每年的条件违约概率相同，所以hazard rate 是常数，而生存概率则每年近乎固定的速度下降。,上升
10、的信用曲线,一般的信用曲线呈上升的趋势，也就是说，两年的信用违约互换的票息比一年的信用违约互换的票息高，而三年的违约互换票息比两年的违约互换票息高。 观察hazard rate构成的曲线也呈上升趋势 上升的信用曲线说明，时间越长，市场对违约的风险需要得到的补偿也越大，所以未来每一年的违约概率越高，隐含的hazard rate越大而累计生存的概率应该加速下降。 上升的信用曲线适用于大多数信用尚为良好的公司。它们一般在短期内的违约的可能性不是很大，但是中长期违约的可能性会增加。,下降的信用曲线,下降的信用曲线，其hazard rate 也呈下降的趋势，同时累计生存概率虽然会下降，但是下降趋势递减。
11、 一般下降型的信用曲线多是那些近期信用非常不好的公司，短期内非常可能破产，一旦熬过去，未来破产的可能性会逐渐下降。,远期违约互换,远期违约互换：在未来某一天进入一个违约互换。 如何求远期票息值？-在n年到期的违约互换票息(n=1k)-n年到期的违约互换的年金(n=1k)-在n年开始、在k年到期的远期违约互换票息，nk 得到，,远期违约互换,远期违约互换的价格表示：（1）在水平信用曲线状态下，则有，结果说明：所有远期的信用违约互换的票息都应该相同 。,远期违约互换,（2）在上升的信用曲线状态下，则有：即，从第n年开始、在第k年到期的远期违约互换的票息要大于第k年和第n年的违约互换票息。结果说明：市场上对于这个信用未来违约的期望要比短期内违约的期望大。,远期违约互换,（3）在下降的信用曲线的情况，有从第n年开始、在第k年到期的远期违约互换的票息要小于第k年和第n年的违约互换票息。它说明，市场对与这个信用未来违约的期望比短期内违约的期望小。这也又一次验证了前述对下降的信用曲线的描述。,
