1、,第 2 章 连续信号与系统的时域分析,2.0 引 言 2.1 连续时间基本信号 2.2 卷积积分 2.3 系统的微分算子方程 2.4 连续系统的零输入响应 2.5 连续系统的零状态响应 2.6 系统微分方程的经典解法,2.1 连续时间基本信号,2.1.1 奇异信号,证明(t)的n次积分为,它是由(t)及其各次积分和各阶导数组成的。自左至右，每一项都是前一项的导数，或者每一项都是后一项的积分。 这样得到的函数族统称为奇异函数。在连续信号与系统的时域分析中，(t)和(-1)(t)=(t)是经常使用的两种基本信号。,2.1.2 正弦信号,随连续时间t按正弦规律变化的信号称为连续时间正弦信号， 简称
2、正弦信号。数学上，正弦信号可用时间的sin函数或cos函数表示，本书统一采用cos函数。 正弦信号的一般形式表示为,式中，A、和分别为正弦信号的振幅、角频率和初相。,(2.1-1),图 2.1 1 正弦信号,正弦信号是周期信号，其周期T、频率f和角频率之间的关系为,根据欧拉公式，式(2.1 - 1)可写成,2.1.3 指数信号,连续时间指数信号，简称指数信号， 其一般形式为,根据式中A和s的不同取值，具体有下面三种情况。 (1) 若A=a1和s=均为实常数，则f(t)为实指数信号， 即,图 2.1 2 实指数信号,(2) 若A=1，s=j，则f(t)为虚指数信号，即,根据欧拉公式， 虚指数信号
3、可以表示为,表明ejt的实部和虚部都是角频率为的正弦振荡。显然，ejt也是周期信号，其周期T=2/|。,(3) 当A和s均为复数时， f(t)为复指数信号。 若设 A=|A|ej， s=+j 则f(t)可表示为,图 2.1 3 复指数信号实部和虚部的波形,2.2 卷积积分,2.2.1 卷积的定义,设f1(t)和f2(t)是定义在(-，)区间上的两个连续时间信号，我们将积分,定义为f1(t)和f2(t)的卷积 (Convolution)， 简记为,即,式中，为虚设积分变量， 积分的结果为另一个新的时间信号。,2.2.2 卷积的图解机理,信号f1(t)与f2(t)的卷积运算可通过以下几个步骤来完成
4、： 第一步，画出f1(t)与f2(t)波形，将波形图中的t轴改换成轴，分别得到f1()和f2()的波形。 第二步，将f2()波形以纵轴为中心轴翻转180，得到f2(-)波形。 第三步，给定一个t值，将f2(-)波形沿轴平移|t|。在t0时，波形往右移。这样就得到了f2(t-)的波形。 ,第四步，将f1()和f2(t-)相乘，得到卷积积分式中的被积函数f1()f2(t-)。 第五步，计算乘积信号f1()f2(t-)波形与轴之间包含的净面积，便是式(2.2 - 1)卷积在t时刻的值。 第六步，令变量t在(-，)范围内变化，重复第三、四、五步操作，最终得到卷积信号f1(t)*f2(t)。,例 2.2
5、 1 给定信号,求y(t)=f1(t)*f2(t)。,图 2.2 1 f1(t)和f2(t)波形,图 2.2 2 卷积的图解表示,当t0时，f2(t-)波形如图2.2-2(c)所示，对任一，乘积f1()f2(t-)恒为零，故y(t)=0。当0t3时，f2(t-)波形如图2.2- 2(d)所示。,当t3时，f2(t-)波形如图2.2-2(e)所示，此时，仅在03范围内，乘积f1()f2(t-) 不为零，故有,2.2.3 卷积性质,性质1 卷积代数,卷积运算满足三个基本代数运算律，即 交换律,结合律,分配律,性质2 f(t)与奇异信号的卷积 (1) 信号f(t)与冲激信号(t)的卷积等于f(t)本
6、身，即,(2.2-5),(2) 信号f(t)与冲激偶(t)的卷积等于f(t)的导函数， 即,(3) 信号f(t)与阶跃信号(t)的卷积等于信号f(t)的积分， 即,证 因为,所以，式（ 2.2-8）成立,（ 2.2-8）,性质3 卷积的微分和积分,证,(2) 应用式(2.2 - 8)及卷积运算的结合律， 可得,(3) 因为,同理，可将f2(t)表示为,并进一步得到,当f1(t)和f2(t)满足,对另一个函数进行k次积分的情况，即,性质4 卷积时移,由卷积时移性质还可进一步得到如下推论：,若f1(t)*f2(t)=y(t)， 则,式中，t1和t2为实常数。,(2.2-21),例 2.2 2 计算
7、常数K与信号f(t)的卷积积分。 解 直接按卷积定义， 可得,常数K与任意信号f(t)的卷积值等于该信号波形净面积值的K倍。,如果应用卷积运算的微积分性质来求解，将导致,例 2.2 3 计算下列卷积积分：,解 (1) 先计算(t)*(t)。因为(-)=0，故可应用卷积运算的微积分性质求得,(2) 利用卷积运算的分配律和时移性质， 可将给定的卷积计算式表示为,(3) 由于,因此，可直接利用卷积时移性质得到,图 2.2 3 例2.2 - 3图,图 2.2 4 应用T(t)产生周期信号,例 2.2 4 图2.2 - 5(a)所示为门函数，在电子技术中常称矩形脉冲，用符号g(t)表示，其幅度为1，宽度
8、为，求卷积积分g(t)*g(t)。,解 方法一 图解法。由于门函数是偶函数，故其波形绕纵轴翻转180后与原波形重叠，图中用虚线表示。注意，t=0时，门函数左边沿位于x=-/2位置，右边沿位于x=/2位置，如图2.2 - 5(b)所示。在任一t时刻，移动门函数左边沿位于x=t-/2位置， 右边沿则位于x=t+/2位置，如图2.2 - 5(c)所示。按照图2.2- 5中卷积过程的图解表示，可计算求得：,图 2.2 5 例2.2 - 4方法一图,方法二 应用卷积运算的微积分和时移性质， 可得,图 2.2 6 例2.2 - 4方法二图,2.2.4 常用信号的卷积公式,表 2.1 常用信号的卷积公式,2
9、.5.2 基本信号(t)激励下的零状态响应,1. 冲激响应一个初始状态为零的LTI连续系统，当输入为单位冲激信号时所产生的响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，记为h(t)， 如图2.5-2 所示。,图2.5-2 冲激响应的定义,2.5.3 一般信号f(t)激励下的零状态响应,图 2.5-4 系统的零状态响应,为了叙述方便，我们采用如下简化符号：,2. 系统的阶跃响应一个LTI连续系统，在基本信号(t)激励下产生的零状态响应称为系统的阶跃响应，通常记为g(t)。按照g(t)的定义，由式(2.5-16)知,再根据卷积运算的微积分性质和(t)的有关性质， 有,所以阶跃响应g(t)与冲激响应h(t)之
10、间的关系为,或者,3. 利用g(t)计算零状态响应,例 2.5-3 某LTI连续系统N有A、B、C三部分组成，如图2.5-6所示。已知子系统A的冲激响应 ，子系统B和C的阶跃响应分别为gB(t)=(1-e-t)(t)，gC(t)=2e-3t(t)， 系统输入f(t)=(t)-(t-2)，试求系统N的冲激响应、阶跃响应和零状态响应。,图 2.5-6 例2.5-3图,解 (1) 系统N的冲激响应。设子系统B、C的冲激响应为hB(t)和hC(t)，由式(2.5-21)可得,按照冲激响应的定义，它是f(t)=(t)时系统的零状态响应， 故由图2.5-6可知， 系统N的冲激响应为,(2) 系统N的阶跃响
11、应。设系统N的阶跃响应为gN(t)，根据式(2.5-20)， 有,(3) 系统的零状态响应。,方法二 因为已经求得系统的阶跃响应,它是输入为(t)时对应的零状态响应。现在题中给定f(x)=(t)-(t-2)， 是一个阶跃信号与另一个位移阶跃信号的组合。 所以， 可利用阶跃响应和系统的线性、时不变特性直接求得,例 2.5-6 已知某LTI连续系统的冲激响应h(t)=(t)-(t-1)，输入f(t)=(t+2)-(t-2)。 若以t=0为初始观察时刻，试求系统的零输入响应yx(t)和零状态响应yf(t)，并画出波形。 解 以初始观察时刻t=0为时间分界点，将输入区分为历史输入f1(t)和当前输入f
12、2(t)，即,所谓零输入响应，是指历史输入f(t)作用于系统，在t0区间上产生的响应， 即,画出g(t)波形如图2.5-7(a)所示。再画出g(t+2)-g(t)波形如图2.5-7(b)所示，其中t0部分代表yx(t)。于是,图 2.5-7 例2.5-6图,当输入f2(t)作用于系统，在t0区间上产生的响应为零状态响应，即,63,2.6.1 微分方程的经典解,由数学微分方程理论可以知道，微分方程的解分为微分方程的齐次解和特解之和。,齐次解,特解,64,系统的响应应为两部分响应之和，即零输入响应与零状态响应的叠加，其中零输入响应是指：外界激励 ，系统靠初始储能所维持的响应即 。而零状态响应是指：
13、系统初始储能 ，系统靠外界激励 来维持响应。显然不管什么性质的响应都需靠能量来维持。因此不妨将零输入响应看成是一种系统内部特殊 “电源”作用下的响应，即将初始状态等效成理想电压源或理想电流源。由此可知系统的全响应是外部激励及内部“特殊”电源共同作用的结果，是零输入响应与零状态响应的叠加的结果。,2.6.2 系统的零输入响应（ZIR）和零状态响应（ZSR）,65,1、零输入响应（Zero_Input Response）,从观察的初始时刻（例如t=0）开始不在有外界的输入信号（则为零输入），系统的产生的响应由该时刻系统本身具有的起始状态(例如电路中的储能元件在t=0时刻所存储的能量)引起的响应为零输入响应.,对微分方程，零输入响应则是f(t)=0所引起的结果y(t),* 零输入响应的求解相当于求微分方程的齐次解,66,2、零状态响应（Zero_State Response）,电路系统中储能为零时，由外加的输入激励信号产生的响应称为零状态响应。,对于求解零状态响应，则响应的解可表示为：y(t) = 齐次解 + 特解 的形式,67,容易推出关于电流的微分方程为：,68,69,70,71,72,注： 1、 自由响应的变化规律取决于系统的特征根（固有频率），强迫响应则取决于外加激励的形式；2、瞬态响应即随着t的增长，响应最终趋于零的分量，稳态响应则表示了响应恒定或保持为某个稳定函数的关系。,
