1、第 29 课时 幂函数（1）【学习目标】1了解幂函数的概念，会画出幂函数 的图象，根据上12312,yxyxyx述幂函数的图象，了解幂函数的变化情况和性质；2了解几个常见的幂函数的性质，会用它们的单调性比较两个底数不同而指数相同的指数值的大小；3进一步体会数形结合的思想【课前导学】【问题情境】分析以下五个函数，它们有什么共同特征？（1）边长为 的正方形面积 ， 是 的函数；a2Sa（2）面积为 的正方形边长 ， 是 的函数；S1S（3）边长为 的立方体体积 ， 是 的函数；3V（4）某人 内骑车行进了 1 ，则他骑车的平均速度 ，这里 是 的函数；tskm1/vtkmsvt（5）购买每本 1
2、元的练习本 本，则需支付 元，这里 是 的函数. wpwp上述五个函数都可以写成 的形式yx()aR【课堂活动】一建构数学：【定义】一般地，形如 的函数称为幂函数，其中 为常数yx() 【试试】判断下列函数哪些是幂函数： ； ； ； 1yx231y注意：幂函数与指数函数的区别例 1 写出下列函数的定义域，指出它们的奇偶性，并画出它们的图象，观察这些图象，看看有什么共同点？ y ； y ； y ； y 21x3132x53【思路分析】分数指数幂可以与根式相互转化把各函数解析式先化成根式形式即可解： ； ；y= ； 函数的定义域就是使这些根式有意33235x义的实数 x 的集合；奇偶性直接利用定义
3、进行判断的定义域为 ，的定义域都是 R；0,)其中既不是奇函数也不是偶函数，是奇函数，是偶函数它们的图象都经过点 和 ，且在第一象限内函数图象自左而右呈上升趋势，即(,)1,函数在 单调递增0,)x例 2 仿照例 1 研究下列函数的定义域和奇偶性，观察它们的图象，看看有什么共同点？ y x1 ； y x2 ； y ； y 21 31x【思路分析】 先将负指数幂化为正指数幂，再将分数指数幂化为根式解： ； ； ； 函数的定义域就是使这些分式和根式x2x3x有意义的实数 x 的集合；的定义域都是 ，的定义域是 ；根据函数|0(0,)奇偶性的定义可得是奇函数，是偶函数，既不是奇函数也不是偶函数它们的
4、图象都经过点 ，且在第一象限内函数图象自左向右呈下降趋势，并且以两坐标轴为渐近(1,)线反应出这些函数在 上单调递减(0,)x【解后反思】通过例 1 和例 2 的解决过程，体现数学学习的过程是一个建立在经验基础上的主动建构的过程，让学生在合作中获取知识【探究】幂函数的图象与性质【问题】作出下列函数的图象：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） yx12yx2yx1yx3yx从图象分析出幂函数所具有的性质.解：图像略观察图象，总结填写下表： xy2xy3xy21xy1xy定义域值域奇偶性单调性定点【拓展】通过以上例子试总结幂函数 的一般性质：yx()R（1）所有的幂函数在（0，+）都有定
5、义，并且图象都过点（1，1） （原因： 1x） ；（2） 0 时，幂函数的图象都通过原点，并且在0，+ 上，是增函数（从左往右看， 函数图象逐渐上升） 特别地，当 1 时， x（0，1） ， 2yx的图象都在 yx图象的下方， 越大，下凸的程度越大（你能找出原因吗？）当 01 时， （0，1） ， 的图象都在 的图象上方，形状向上凸， 越小，上凸的程度越大（你能说出原因吗？） （3）0 时，幂函数的图象在区间（0，+）上是减函数.在第一家限内，当 x向原点靠近时，图象在 y轴的右方无限逼近 y轴正半轴，当 x慢慢地变大时，图象在 轴上方并无限逼近 x轴的正半轴.二应用数学：例 3 讨论下列函数
6、的定义域、值域、奇偶性与单调性： ；（2） 5xy34xy【思路分析】 根据幂函数的性质讨论定义域、奇偶性、单调性解 ： y x5的定义域是(，)，值域也是(，)，是奇函数， 51， y x5在(，)上是增函数 y x ，341定义域是(，0)(0，)，值域是(0，)，是偶函数， 0， y x 在(，0)是增函数，在(0，)，是减函数34【解后反思】由例 3 让学生对幂函数性质的认识有一个提升例 4 比较下列各题中两个值的大小(1.5) 与(1.7) 3.14 与 525232(5) 与(6) 3 与 231114【思路分析】比较两数的大小可构造一个函数，考虑这个函数的单调区间【解法】考察函数
7、 y x ， 0 ，52 y x 在(，0)上是减函数52又1.51.7， (1.5) (1.7) 5252考察函数 y x ， 0 y x 在(0，)上是减函数323又3.14， 3.14 32(5) 5 ，(6) 6 ，313111又 5 6 5 6 ，(5) (6) 33313 9 ，2 8 ，又 9 8 3 2 14717714【解后反思】学生学习了幂函数以后,关键还在于对其性质要会灵活运用,例 4 是做一个基本的铺垫三理解数学：1求函数 的定义域1322()()yxx答案： ,3)2 已知 221()3myxn是幂函数，求 m， n 的值.解：由题意可得： m2 + 2m 2 = 1
8、 且 2n 3 = 0，解得或 ， 313n【解后反思】表达式 y = x(xR)的要求比较严格，系数为 1，底数是 x， R 为常数，如2xy， y = 1 = x0为幂函数，而如 y = 2x2， y = (x 1)3等都不是幂函数.3比例下列各组数的大小：（1） 8787)91(和；（2）(2) 3和(2.5) 3；（3）(1.1) 0.1和(1.2) 0.1；（4） 53325)9.1()8.(,1.和.解:（1）7)(，函数 87xy在 (0, +)上为增函数，又 98，则 87)91(，从而 87)91(.（2）幂函数 y = x3在(, 0)和(0, +)上为减函数，又22.5，
9、(2) 3(2.5) 3.（3）幂函数 y = x0.1在(0, +)上为减函数，又1.11.2，1.1 0.11.2 0.1.（4） 52)1.( = 1；0 32)8.( 1= 1； 53)9.(0，39. 38. 5.4.【解后反思】比较大小题，要综合考虑函数的性质，特别是单调性的应用，更善于用“搭桥”法（即插值法）进行分组，常数 0 和 1 是常用的“桥梁”.【课后提升】1. 下列命题中正确的是 （4） （1）当 n0 时，函数 y xn的图象是一条直线；（2）幂函数的图象都经过(0，0)，(1，1)两点；（3）若幂函数 y xn的图象关于原点对称，则 y xn在定义域内 y 随 x
10、的增大而增大；（4）幂函数的图象不可能在第四象限2. 下列函数中，定义域为(0，)的函数为 （2） （1） y x ；（2） y x ；（3） y x ；（4） y x332233. 下列函数中是幂函数的是 （1） （2） （4） （1） y ；（2） y x ； （3） y 2x；（4） y x1 4. 已知幂函数 的图象过 ，试求出这个函数的解析式()f(,)答案：12yx5. 已知函数 f(x)( a1) x 12a当 a 2 时， f(x)为正比例函数；当 a 0 或1 时， f(x)为反比例函数；当 a 时， f(x)为二次函数；3当 a2 时， f(x)为幂函数(提示：当 f(x)
11、为正比例函数时， ，即 a2；当 f(x)为反比例函数时，012a，即 a0 或 a1；012a当 f(x)为二次函数时， ，即 a ；22 213当 f(x)为幂函数时， a11，即 a2)6. 函数 y x a(a Q)的图象，当 0 x1 时，在直线 y x 的上方；当 x1 时，在直线y x 的下方，则 a 的取值范围是 2，3 )(提示： 即 2 x30 )7若( a1) (32 a) ，试求 a 的取值范围3131解：由幂函数的性质，有三种可能情况： 或 或a2310 01 a2310解得： a(，1)( ， ) 328 m 为怎样的值时，函数 f(x)( mx24 x m2) ( x2 mx1) 0的定义域是 R？43解： 0142x由 m 1，1 02(6） 5由 2 m240，2 m2，综上： 1 m25
