1、在随机需求与价格折扣环境下的多目标采购量分配模型摘要：为了解决随机需求数量和随机需求提前期与价格折扣并存条件下的多产品采购量分配问题，建立了相应的多目标混合整数随机规划模型。该模型的特点是：模型的约束条件中兼具确定性和随机性；通过供应商供应产品的数量和供应提前期数据可计算出各个供应商的供应柔性；通过约束条件方程式准确地表现随机需求与价格折扣两大假设条件。针对该模型的特殊结构，提出了一种的求解策略：首先，通过把机会约束转化为确定性等价类，从而将多目标混合整数随机规划模型转化为确定型多目标混合整数规划模型；然后，采用最小偏差法求得该问题的满意解。此外，通过一个应用算例说明了该模型的有效性和可行性。
2、关键词：随机需求数量；随机需求提前期；采购量分配；混合整数随机规划；供应柔性；价格折扣；0 引言随着全球竞争的加剧，企业间的竞争不仅仅是产品和服务的竞争，而且还是供应链的竞争。越来越多的学者和企业都开始重视供应链管理，供应链管理中的一个重要的方面就是供应商选择。供应商选择的正确与否将直接影响企业的成功与否。因此，科学合理地选择供应商和进行采购量分配具有极为重要的现实意义。迄今为止，许多研究者针对供应商选择问题已经开展了大量卓有成效的研究工作，并发表了很多相关论文。例如，文献1首次将线性规划方法用于供应商选择与采购量分配问题中，建立一个混合整数规划模型，虽然只是单目标决策模型，却引起了大量学者的
3、关注。文献2研究了多产品、多供应源条件下采购量分配模型，但没有考虑价格折扣情况。文献3研究的是典型的采购量分配问题，但仅考虑了确定需求的情况。文献4研究的是单目标供应商选择及其采购量分配问题，考虑了随机需求情况但只是单目标的供应商选择和采购量分配问题。文献5为多目标供应商选择及采购量分配模型，考虑了随机需求情况，给出一种启发式的遗传算法来求解。文献6研究的是随机需求和价格折扣并存条件下单阶段采购的供应商选择与采购配额分配问题。文献7研究的是模糊多目标供应商选择及其采购额度分配问题,但是没有考虑到需求不确定情况以及价格折扣情况。由于供应商的柔性被越来越多的关注，因此文献8给出了柔性的一种计算方法
4、，根据柔性对供应商进行评价，但没有进行采购量的分配。针对现有文献研究中存在的不足,本文提出了用于求解随机需求与价格折扣并存条件下，考虑了供应商柔性特征的多产品和多目标的供应商选择及其采购量分配问题的混合整数随机规划模型，并给出了该模型的一种求解算法。此外，还通过对应用算例的求解说明了该模型的有效性和可行性。1 模型符号的说明：供应商序号， ；i ni,21：不同种类产品序号， ；j 1,2jm：价格折扣区间序号， ；kkK：可供选择的供应商的数量；n：产品的数量；m：价格折扣区间的数量K：向供应商 订购产品 的数量（决策变量） ；ijxij：计划期内产品 的总需求 ,是一个随机变量，且服从正态
5、分布 ；jD 2(,)jjjDN:：计划期内产品 需求的均值；jj：计划期内产品 需求的方差；jD：计划期内产品 的提前期，是一个随机变量，且服从正态分布 ；jLj 2(,)jjjLN:：计划期内产品 提前期的均值；j：计划期内产品 提前期的方差；jLj：从供应商 处采购产品 的单价；ijpij：供应商 交货的产品 中废品所占的百分比；ijq：供应商 交货的产品 中延迟交货产品所占的百分比；ijdij：供应商 供应产品 的最大数量；ijC：从供应商 订购产品 的最小数量；minjQij：数量减少罚金系数，例如，从供应商 订购产品 的数量 ，且 ,则采购方应ij ijijxmaxijQijijC
6、付罚金 ；maxmaxijijijijijCQ：从供应商 订购产品 的最短提前期；minjL：提前期缩短罚金系数，例如，从供应商 订购产品 的提前期 ，则应付罚金ijijjLmin；1minjjiLp：供应商 的供应柔性；ifi：供应商 供给产品 的供应柔性；ij j：供应商 的订货成本，与订货数量无关，只与订货次数有关；iOi， ：取值为 0 或 1 的变量；ijkyi：供应商 供给的产品 达到一定数量时，提供的位于价格折扣区间 的价格折扣率；ijrj k：供应商 以折扣率 供应产品 的数量上限；ijkUiijkrj：限制机会约束条件成立的概率大小的置信水平；2 模型的建立和求解2.1 多目
7、标混合整数随机规划模型本文考虑了采购方需求的随机性，包括需求数量和需求提前期的随机性，其需求数量和需求提前期均是服从正态分布的随机变量；本文同时考虑了基于产品数量的全部价格折扣。针对供应商选择及其采购量分配问题，以质量、准时交货、成本、供应柔性四个准则为目标函数，以其它目标为约束条件，可以建立多目标混合整数随机规划模型，模型建立和求解过程如下：2.1.1 质量目标：总的废品数量最小化。（1）11minZnmijiqx2.1.2 交货目标：总的延迟交货产品数量最小化。（2）21innmijidx2.1.3 总成本目标：总成本包括两方面成本：一是采购费用，二是罚金。其中采购费用包括：产品总价值（
8、）和订货费用（ ） ；罚金包括：需求数量减少罚金（ ） 、需求数量增加罚金（ ）和POCQRPQIP需求提前期减少罚金（ ） 。TRP（3）3minZQI（4）1KijkijijPyrxp（5）1niOC（6）1max(),0/nKinminijkjijijij=QRPyQ（7）1(),/()n maxaxijkijijijijijijI CQ（8）1(),0/nmKinminijkjjijjijTRPyLpL其中， 是取大函数，返回 与 中较大的数值。ax,bab2.1.4 供应柔性的目标：总的供应柔性最大化。（9）41maZnmijifx文献5在文献8基础研究基础上提出了一种改进的供应柔性
9、计算方法， 计算如下式：ijf（10）1 1jjj j jminminDjiji iijD TmaxDi LQfWabcdWppQ 其中， 和 分别表示需求数量弹性和需求提前期弹性的权重，且满足 ，T 1DT+W表示需求数量弹性， 、 分别代表订货减少1 jjj jminDi imaxDiabcdpp jipji罚金、订货增加罚金的大小， 、 分别代表罚金起始的级别。需求数量弹性与以上四个比值成jinDQjaxi相反方向变化。 分别代表下降系数，根据不同行业自身的特性，来为其赋值，在本文中令abcd、。 表示需求提前期弹性，与 、 成相反方向变化。02 3 02 3a1jminjijLminj
10、Lij为了使顾客满意，通常 取值非常小且小于 1，为了增加 对需求提前期弹性的影响程度，对 作开ijij ij方运算。供应柔性 的取值在 0、1 之间。当 表示最大的供应柔性，即在所有需求情况下都不存在罚金，ijf ijf在这种供应柔性下，供应商与采购商共同分担供应链风险。随着 值的下降，罚金成本不断增加。在极ijf端不易发生的情况下，当 无限接近于 ，或 无限接近于 时， 可能会取负值，这时我ijjiDpijjiDpijf们将 重置使 。ijf0ijf表示供应11 1jjj j jminminm Djiji iiijD TmaxDi LQffWabcdWppQ 商 的供应柔性。2.1.5 约
11、束条件（11）s.t11KKij,kijijijkijUyxUy,ij（12）1PrnijijjqDj（13）10miijyxi（14）1iiji（15）1Kijky,ij（16）ijijxC,ij,且是整数 （17）0ij是 0-1 整数变量 （18）ijy ,ij各约束的表达式含义如下： 式（11）表示与某一折扣区间内优惠价格相匹配的采购量的上下限约束；式（12）表示供应商满足产品需求的机会约束，其中 表示 中事件以置信水平 成立的概率；式（13）表示若从供应商Pr处没有采购，则在 处的采购量为 0，以及若在 处采购量不为 0，则必然从供应商 处采购；式（14）ii i i表示若确定从供应
12、商 处采购，则在 处的采购量不能为 0，以及若在 处的采购量为 0，则一定没有在i i处采购；式（ 15）表示采购商购买某种产品时，只能以一个折扣阶段的优惠价格购买该产品；式（16）i表示每个供应商对产品 的供应能力上限约束；式（17）是非负采购量约束；（18）0-1 整数变量的约束。j2.2 确定约束多目标混合整数规划模型在上述的模型中 是服从正态分布的随机变量，机会约束式（12）中含有 ，根据文献9，传统jD jD的处理机会约束的方法就是把机会约束根据事先给定的置信水平转化为它们各自的等价类。采用这种方法将式（12）转化成确定性等价类后，可得如下确定约束多目标混合整数规划模型： （19）1
13、1minZnmijiqx（20）21inijid（21）3iZPOCQRIPT（22）41maxnmijifx（23）s.t11KKij,kijijijkijUyUy,ij（24）1j jnijijDDxqj（25）10miijyi（26）1iijxi（27）1Kijky ,ij（28）ijijxC,ij,且是整数 （29）0ij是 0-1 整数变量 （30）ijky ,ij上述表达式中， ； . ， 是其反函ni,21mj,2121txXed1C数。2.3 最小偏差法求解在现实较为复杂的多目标决策问题中，由于人们通常倾向于获得问题的满意解而非最优解，因此多目标线性规划方法在这种情况下就显露出
14、它的局限性，本文采用最小偏差法求解多目标模型。一般多目标优化数学模型为:min(),()ax,(). (,T112l2l+lmjknFfxfxst g0 j=phkq xR 式中: 是 个极小化目标函数；(),()12lffx是 个极大化目标函数；,l+lmx l是设计变量 。(,)T12nx由此可看到,多目标优化问题与通常的单目标优化问题本质区别在于，前者的目标为一向量函数，是一个向量优化问题。因此，在多目标优化过程中，往往要比较这些向量函数的“大小”,为此需要引入一个“有效解” ，即 Pareto 最优解的概念，它是于 1951 年由 T Koopmans 正式提出的。设 是上述模型的约束
15、集，若 ，并且不存在 使得nXR*xXxX而对于 ，则称 为其有效解。(,),()*iii12lfxf (,),()*iiil12mff *x对于多目标优化问题，人们设法求解的既是问题的有效解，又是在某种意义上令决策者满意的解。根据多目标优化问题的特点以及决策者的意图，构造一个统一目标函数： ()(),()12mFxfxf采用不同形式的统一目标函数可求得不同意义的解，并对应于不同的求解方法。此处采用最小偏差法取统一目标函数为：（31） ()()min()*l mjjii 1jl1fxfxF-式中： 、 ：分别表示极小化目标函数 与极大化目标函数 最优解的相应函数值；*ifj ()if ()jf
16、x、 分别表示对极小化目标函数 的最大期望值与对极大化目标函数 的最小期望值，即仅ifj ()ifx j对目标函数 进行单目标优化的最大值,以及对目标函数 进行单目标优化的最小值。()ifx ()jfx在计算中只要保证 、 与 、 不相等或接近，就能找到 的最优解，而不必考虑ifj*ifj F的数学特性。这就是统一目标函数最小偏差法仅需要分析者和决策者的局部信息，即各个目标函数()Fx的最优解，而无需知道它们的相对重要性的原因10。针对给定有关参数的具体供应商选择及采购量分配问题，运用上述步骤建立起相应的目标规划模型，并通过 LINDO/LINGO 软件即可求出其满意解。下面通过一个应用算例说
17、明其详细求解过程。3 应用算例某采购商分别向 6 个供应商采购 5 种产品。采购商对每种产品需求的数量和提前期都是随机的，且服从正态分布，每种产品需求的数量和提前期的相关参数如表 1 所示。在每个供应商能够供应的品种范围内可同时向其采购多种产品，6 个供应商中最少的可提供 2 种产品，最多的可提供 3 种产品。供应商属性参数值如表 2 所示。供应商提供基于产品数量的全部价格折扣，而不是累计折扣，即当订购数量属于某种折扣方式数量范围内时，采购的所有同种产品都采用事先规定的同一价格。本文中令需求数量、需求提前期的权重 和 分别取 0.6、0.4，将供应商相关的参数值代入式（10） ，可计算得出每个
18、供应DWT商所供应的各种产品的柔性，如表 2 所示。约束条件保持不变，通过对于单目标混合整数规划可分别求出，质量目标值、交货目标值、总成本目标值及供应柔性目标值，分别为：1579 件、1854 件、233415 元及 24457.75（无量纲） 。同样方法，我们可以计算出质量目标、交货目标和总成本目标的最大值，分别为：3320 件、5037 件及 384650 元；供应柔性的最小值为 14423（无量纲） 。本文中，取 =0.9，则=1.28。现在需要按上述给定条件选出每种产品的供应商及其各自的最优订货量配额。1表 1：产品需求数量和需求提前期的基本参数值产品 jD2jDjL2jL1 6000
19、 850 2 12 5000 1000 3 13 5000 1100 2 24 5500 100 2 15 3000 800 3.5 2表 2 供应商属性参数值产品 供应商 /$tijpminjQ、tij/$maxij、tij/$minjL、tij/$tijC、tijq/%tijd/$tiOijf1 1.6 1000 800 2500 70 2.5 0.09 3000 3 12 1300 0.52572 1.5 1500 1000 4500 90 2 0.15 5000 5 8 1900 0.633316 1.7 500 600 1800 100 2 0.14 2000 2 2 1200 0.
20、42802 4.1 1200 400 4000 380 3 0.09 5000 6 9 1900 0.694423 4.2 2000 560 5000 500 2.5 0.12 6000 2 1 1800 0.70746 4.0 1000 500 2000 400 2 0.16 3000 4 6 1200 0.56124 1.6 1800 600 4000 600 2.5 0.15 5000 3 2 1100 0.521635 1.4 1500 500 3000 400 1.5 0.25 4000 7 9 1500 0.54091 4.1 3000 1200 4000 1500 3 0.09
21、5000 6 12 1300 0.568043 4.3 2000 1000 5000 800 4 0.04 6000 4 2 1800 0.65074 2.5 1200 450 2500 350 3.5 0.08 3000 3 3 1100 0.675755 2.6 1000 500 3500 200 4 0.12 4000 4 10 1500 0.6826每个供应商提供的各个产品的价格折扣区间如下：， ，112,200.953kr x2121,300.95kr x， ，61kr 212,. 0k rx， ，32132, 00.9485,6k xr 62162,0.93k r， ，431432
22、.,50k xr 531532,0.4k xr， 14142,0.93k rx341324, 20.9,06k rx ， 。451452, 20.k r5152.,3k r x分别将给定的 、 、 和 的数值与表 1 和表 2 中的相关参数代入上文中给出的目标规划模型表QRFC达式（19）-（31）中，则可得出针对本算例的目标规划模型表达式。然后，利用 LINGO 8.0 软件经计算，可得到如下采购量分配结果。 表 3 采购量配额 (,)xij(1,)(2,)x(,)(,4)x(,)(4,5)x(,3)(5,)x(6,2)采购量（件） 3000 4500 6000 5863 5000 3000
23、 1676 1161 417由表 3 可以看出，供应商的选择和采购量的分配与供应商自身属性及产品的基本属性密切相关。产品 1 从供应商 1 和供应商 2 处采购，而未从供应商 6 处采购。这是由于供应商 6 与其他提供产品 1 的供应商相比，尽管延迟交货率、废品率都相对很低，但是供应柔性也很低，而且价格高、不提供价格折扣，所以在价格、供应弹性这两个方面不具竞争优势的供应商 6 就没有被选择。产品 5 分别从供应商 4、供应商 5 处采购，但明显在供应商 4 处的采购量要大于在供应商 5 处的采购量，这是因为供应商 4 有较低的废品率、延迟交货率及订货费用，但是由于生产能力的限制，以及超量罚金的
24、约束，从而供应商 4 不能完全满足采购商的需求，因此需要从供应商 5 处采购来弥补未满足的需求。 4 结论本文研究了随机的需求数量和随机的需求提前期与价格折扣并存条件下多产品采购的供应商选择与采购配额优化决策问题，并且通过供应商的相关数据计算出每个供应商的供应柔性。首先，建立了相应的多目标混合整数随机规划模型。其次，通过处理机会约束的传统方法，根据事先给定的置信水平，把机会约束转化为确定性等价类，从而将随机的多目标混合整数规划模型转化为确定型多目标混合整数规划模型。然后，采用最小偏差法对建立的模型进行求解。最后，通过一个算例验证了模型的有效性和可行性。本文中并没有考虑库存成本，这将是今后进一步
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