1、1文件 sxjsck0022 .doc 科目 数学关键词 初一/计算标题 数学计算的智巧内容数学计算的智巧数学计算不仅要遵守四则运算法则，更重要的是要运用机智寻找到一种巧妙合理的算法.机智来自细心的观察和大胆的探索，因此在学习数学中要努力学会观察和分析，培养积极探索的精神.1倒过来写例 1 求和 1+2+3+999.分析 在高速计算机上解决这个问题太容易了，但人不是计算机！你能找到一种巧妙的算法吗 ？观察S=1+2+3+997+998+999. 做这一长串加法的困难在于各数互不相等，但不等中包含着相等首末两项之和与和首末两项等距离的两项之和相等！这时，机智的做法是将 S 倒过来写：S=999+
2、998+997+3+2+1. 将两式左、右分别相加，便把加法转化为乘法了:2S=(1+999)999,从而得 S=499500.这种巧妙的求和方法是德国少年高斯的杰作.请将 999 换成任意自然数 n 后写出解答过程.答: )1(2ns例 2 试证不等式. .1,2671346734672 .34109354109510341 412,03514.2 SrrS即 那 么记 个 2.添加括号例 3 计算 S=1-2+3-4+n1分析 不难看出这个算式的规律任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”.如果按照将21、2 项，3、4 项，分别编组的方式计算，就能得到一系列的“-1” ，于是一改“去括号”
3、的习惯而取“加括号”之法得S=（1-2）+（3-4）+ .1n)(21为 奇 数为 偶 数n比“加括号”更一般的思想方法是“分组求和”.例 4 在七数-1，-2，-3，1， 2，3，4 中任选一个数、两个数手只、三个数的积、七个数的积，试求它们的和.解（1）任选一个数的和：1+（-1）+2+（-2）+3(-3)+4=4.(2)任选二个数的积(由于 4(-3)与 43,成对出现,这些积的和为 0)的和为:1(-1)+2(-2)+3(-3)=-14.3.任选三个数的积(由于 4(-3)(-2)与 43(-2),成对出现，这些积的和为 0)的和为：41（-1）+42（-2）+43（-3 ）=-56.
4、（4）任选四、五、六、七个数的积的和分别为：1（-1）2（-2）+2（-2）3 （-3 ）+1（-1） 3（-3 ）=49；1（-1）2（-2）4+2（-2）3（-3 ）4+（-1）3（-3 ）41=196123（-1）（-2）（-3）=-36；123（-1）（-2）（-3）4=144.所以，所求的和为-1.3.一分为二例 5 （1978 年上海中学生数学竞赛题）比较 （n 为任意nS2164832自然数）与 2 的大小.分析 关键是将 写成宜于与 2 比较的简单的式子（直接的计算几乎不可能）.现依次称nS的各项分别为第 1 项，第 2 项，第 n 项，对第 k 项变形nS.2 ,2)21()
5、854()3()( ,“2)()1n nnnn kkkkS自 然 有 这 时为 正 负 两 项裂中 每 一 项 都 可 以这 说 明 4.画一个图3为了求和S=1+2+10，可作一个阶梯形（如图 1-1 中阴影部分） ，图中每个小方格为一个面积单位，可见 S为阶梯形的面积，将两个同样的阶梯形拼在一起得一个 1110 的矩形，此矩形面积的一半即S.仿此可以求例 1 中的 S，画图的好处由此可见一斑.例 6（第 19 届国际数学竞赛题）有限个实数（可以重复）按一定顺序排成一列，任意连续七个数之和为负，任意连续十一个数之和为正，确定这些实数最多有几个，分析 文字信息有使人坠入五里雾中之感，将这有限个
6、实数依次编号为、，如图1-2 所示.把图中的数字同时向前挪一位，挪二位，便可以看出，从第 12 个数起，任意连续三数之和为负；从第 15 个数起，每一个数都为正，因编号为 15、16、17 的三个正数之和不可能是负的，故这些实数最多有 16 个，例如可以验证（）5，5，-13，5，5，5，-13，5，5，-13，5，5，5，-13，5，5这一列数满足题设条件，表可以看成是一种特殊的图.例 7，对于 n 个连续的自然数 1，2，3，n，作出其一切可能的和数（被加数的个数从1 到 n） ，证明得到的和数中至少有 个两两互不相同，)(分析 从 联想到例 1 的推广了的结论，即 =1+2+n，)(2)
7、1(2n触发猜想：所述和数至少可以分成 n 批，第一批一个，第二批两个，第 n 批 n 个，则问题获得解决，注意到 123n-1n ，取出若干和数列成下表：4此表中恰有 个和数，显然它们两两互不相等.)1(2n练 习 一1.填空题（1）1+2-3+4+5-6+7+8-9+ +97+98-99 等于_.（2）1 至 100 所有不能被 9 整除的自然数的和等于_.（3）计算（ ._10432222 等 于 ._6059860215431)98( 等 于 计 算年 上 海 初 一 数 学 竞 赛 题 2.选择题(1)乘积 等于( ).212221093(A) (B) (C) (D)57(2)(第
8、36 届美国中学数学竞赛题)从和式中,必须除去( ),才能使余下的项的和等于 112086412(A) (B)和 108)6)和和和 DC(3)设 a、b、c 为互相等的整数，满足 的数组（a、b、c）有（ ）个.243Cba（A）2 （B）无数多 （C）1 （D）3（4）分母是 1001 的最简真分数共有（ ）个.（A）720 （B）693 （C）692 （D）721 3 求和 S=11+221+3321+nn(n-1)21.4（第 1 届“从小爱数学”邀请赛试题）一串数：5中，;41,23,41,32,1;,2;（1） 是第几个分数？07（2）第 400 个分数是几分之几？5.（1）8 个
9、乒乓球队员进行循环赛，需要比赛多少场？（2）从全班 50 名学生中，选出三人分别担任班长、学习委员、文娱委员的选法有多少种？6.（1989 年安徽宿州市初一数学竞赛题）已知 ,0)2()1(2yx求 的值.)98)()2(1)(1yxyx7.从 1 到 100 这 100 个自然数中取 10 个，使它们倒数和等于 1.8.（第 5 届美国数学邀请赛）非负整数有序数对（m,n ） ，若在求和 m+n 时无需进位（十进制下） ，则称它为“简单”的，求所有和为 1492 的简单的非负整数有序数对的个数.9.（“华罗庚金杯”全国第二届少年数学邀请赛（决赛）题）用 1 分，2 分和 5 分的硬币凑成一元
10、钱，共有多少种不同的凑法？10.数字 3 可以有四种表示为一个或多个正整数之和，即 3，1+2，2+1，1+1+1 ，数 n 有多少种这样的表示法？练习一答案1 （1）1584 （2）4456 （3）5151 （4）885.2.C.D.D.A3.利用 kk(k-1)21=（k+1）k（k-1）21-k（k-1）21，S=（n+1）n（n-1）21-1.4.(1)第 88 和第 94 两个位置.(2) .05.(1)28 (2)504948=117600.6.利用 .21)(1kk7.利用 .1038.m、n 的个位数字可以是 2、 0、1、1、0、2 三种; 同理:十、百、千位数字分别有十、五
11、、二利.所求个数是 31052=300.9.分四种情况列表.6(1)用 1 分和 2 分两种硬币来凑.计 51 种凑法.(2)用 1 分和 2 分两种硬币来凑.计 19 种凑法( 表略).(3)用 2 分和 5 分两种硬币来凑.计 10 种凑法( 表略).(4)用 1 分、2 分、5 分三种硬币来凑.计 461 种凑法.故共有 51+19+10+461=541 种凑法.10.将 n 个“1”排成一行，1|111|11 ，然后在这些“1”之间画上一些竖线，两条竖线之间的1 相加得到 n 的一个加数，由于在任意两个 1 之间都可以画或不画竖线，所以一共有 2n-1种方法画竖线，从而 n 有 2n-1 种表示法.
