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初一.逻辑原理.doc
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1、初一数学竞赛系列讲座(16)逻辑原理一、一、知识要点逻辑原理问题,并不需要多少特别专门的知识,关键在于审题,要认真仔细地分析题意,弄清楚各个量之间的关系,深刻理解每句话的含义。二、二、例题精讲例 1 小明、小强、小华三人参加迎春杯赛,他们是来自金城、沙市、水乡的选手,并分别获得一、二、三等奖。现在知道:1. (1) 小明不是金城的选手;2. (2) 小强不是沙市的选手;3. (3) 金城的选手不是一等奖;4. (4) 沙市的选手得二等奖;5. (5) 小强不是三等奖。根据上述情况,小华是 的选手,他得的是 等奖。( 第三届迎春杯决赛试题)分析:显然选手所在城市与选手获奖情况有联系,我们就从这里
2、找突破口,搞清了各个城市的选手分别获得哪等奖,问题就解决了。解:由(4)知:金城的选手获一等奖或三等奖,又由(3)得金城的选手获三等奖,从而水乡的选手获一等奖。由(2)知:小强是金城或水乡的选手,又由(5)得小强是水乡的选手,由(1)得小明是沙市的选手,从而小华是金城的选手,他获三等奖。例 2 教室里的椅子坏了,第二天上学时,老师发现椅子修好了。经了解,椅子是A、B、C 三人中的一个人修好的,老师找来这三人。A 说:“是 B 做的。 ”B 说:“不是我做的。 ”C 说:“不是我做的。 ”经调查,三人中只有一个说了实话,椅子是谁修的呢?分析:因为三人中只有一个说了实话,所以可以假设椅子是某人修好
3、的,看结论是否符合“三人中只有一个说了实话”这一条件。解:(1) 假设椅子是 A 修好的,那么 A 说的是假话,B、C 说的都是实话。这样有两人说了实话与“三人中只有一个说了实话”这一条件相矛盾,所以椅子不是 A 修好的。(2) 假设椅子是 B 修好的,那么 B 说的是假话,A、C 说的都是实话。这样有两人说了实话与“三人中只有一个说了实话”这一条件相矛盾,所以椅子不是 A 修好的。(3) 假设椅子是 C 修好的,那么 A、C 说的是假话,B 说的是实话,符合“三人中只有一个说了实话”这一条件,所以椅子是 C 修好的。评注:本题运用先假设,再根据假设推出一个结论;如果结论与已知条件相矛盾,说明
4、假设不成立;如果结论符合已知条件,说明假设正确。这种假设的方法是逻辑推理中经常使用。例 3 赵、钱、孙、李四人,一个是教师,一个是售货员,一个是工人,一个是个体户,根据以下条件,判断这四人的职业。(1) (1) 赵、钱是邻居,每天一起骑车上班;(2) (2) 赵年龄比孙大;(3) (3) 赵在教李打太极拳;(4) (4) 教师每天步行上班;(5) (5) 售货员的邻居不是个体户;(6) (6) 个体户和工人互不认识;(7) (7) 个体户比售货员和工人年龄都大。解:由(4)和(1)可知,赵、钱不是教师。由(2) 和(7)知,孙不是个体户。因为假设孙是个体户,则由(2)和(7) 知,赵不是售货员
5、,不是工人;由(4) 和(1) 可知,赵也不是教师;这样赵也是个体户,与假设矛盾。于是我们可得出下表:假设赵是工人,个体户是钱或李,由(6)可知,赵与钱或李应互不认识,这与 (1)、(3)相矛盾,这样可知赵不是工人。又假设赵是个体户,由(1)、(3)、(6) 可知,孙是工人,钱是售货员,但又与(5) 矛盾,所以赵是售货员。这样又可得出下表:根据(1)、(5)继续分析,把上面的表格填满,可得:钱不是个体户,则钱是工人;则孙不是工人,孙是教师,最后得李是个体户。如下表:最后得:赵是售货员,钱是工人,孙是教师,李是个体户。评注:分析逻辑推理问题,借助表格,能使已知条件和推出的有用结论一目了然。在填表
6、售货员 工人 教师 个体户赵 钱 孙 李 售货员 工人 教师 个体户赵 钱 孙 李 售货员 工人 教师 个体户赵 钱 孙 李 时通常把正确的结论打“” ,错误的打“” 。这样可以确保推理的速度和正确性,而且不易被错误信息干扰。例 4 今有棋子 100 颗,甲、乙两人做取棋子的游戏,甲先取,乙后取,两人轮流各取一次,规定每次取 p 颗,p 为 1 或 20 以内的任一质数,不能不取。谁最后取完谁为胜者。问甲、乙两人谁有必胜的策略。解:乙有必胜的策略。由于 p 为 1 或 20 以内的任一质数,所以 p 或者是 2,或者可以表示为 4 k +1 或 4 k +3(k 为 0 或正整数)形式,乙可以
7、采取如下的策略:若甲取 2 颗,则乙也取 2 颗;若甲取 4 k +1 颗,则乙取 3 颗;若甲取 4 k +3 颗,则乙取 1 颗;这样,每次甲、乙两人取走的棋子之和都是 4 的倍数。由于 100 是 4 的倍数,因此余下的棋子数必定还是 4 的倍数。从而经过若干回合后,剩下的棋子数必定为不超过 20 的 4的倍数。因为 p 不是 4 的倍数,所以这时甲不能取走全部的棋子,从而最终乙可以取走全部的棋子。评注:本题中,甲虽然先取,但他没有必胜的策略。而乙虽然后取,但他能根据甲的取法,应对有序,后发制人,最终取胜。由此看出,谁能取得最后胜利,一要看他所面临的情形,二要看他采用的策略,两者缺一不可
8、。例 5 有三堆小石子。每次操作从每堆中取走同样数目的小石子( 不同次操作,取走的小石子数目可以不同),或将其中任一堆 (如果其小石子数是偶数 )的一半小石子移到另一堆上。开始时,第一堆有小石子 1989 块,第二堆有小石子 989 块,第三堆有小石子 89 块。能否使 (1) 某两堆小石子一个不剩? (2) 三堆小石子都一个不剩?(第十五届全俄数学奥林匹克试题)分析:(1)很容易发现三堆小石子刚开始时的小石子数的末两位数字相同,因而首先三堆各取 89 块,这样剩下的石子数是:1900、900、0,接下来将第二堆移 450 块到第三堆,石子数变为:1900、450、450,再接下来三堆各取走
9、450 块就可以了。(2) 发现最初三堆的石子数的和是:1989+989+89=3067,它不被 3 整除。而题目中的两种操作方法不改变这个特征,因而可得出结论。解:(1) 可以使某两堆小石子一个不剩。只要按如下步骤取即可。(1989,989,89) (1900,900,0) (1900,450 ,450) (1450,0,0)(2) 最初三堆石子的总数是 1989+989+89=3067,它不能被 3 整除。而进行任何一次操作后所得的三堆石子的总数被 3 除所得的余数不变,所以不管进行几次操作,三堆石子的总数被 3 除所得的余数都不为 0,即不可能将三堆石子都取光。评注:本题第二步中,抓住了
10、三堆石子的总数被 3 除所得的余数不变这个特征,从而使问题得到顺利解决。因而解题时应认真分析,抓住关键。例 6 人的血型通常为 A 型、 B 型、O 型、AB 型。子女的血型与其父母血型间的关系如下表所示:父母的血型 子女可能的血型O、O OO、A A、OO、B B、OO、AB A、BA、A A、OA、B A、B 、AB、OA、AB A、B、ABB、B B、OB、AB A、B、ABAB、AB A、B、AB现有三个分别身穿红、黄、蓝上衣的孩子,他们的血型依次为 O、A 、B 。每个孩子的父母都戴着同样颜色的帽子,颜色也分别为红、黄、蓝三种,依次表示所具有的血型为AB、A、O。问穿红、黄、蓝上衣的
11、孩子的父母各戴什么颜色的帽子?( 第五届华杯赛复赛试题)分析:因为父母都戴着同样颜色的帽子,所以父母的血型都相同,这样血型表只需保留一、五、八、十这 4 行。又由于三种颜色的帽子分别表示 AB、A、O 三种血型,所以第八行也可划去。这样血型表就比原来简单多了,再讨论这个简表就不难得出血型间的关系,从而再得出题目结论。解:因为父母都戴着同样颜色的帽子,所以父母的血型都相同,根据血型表,只有O、O,A、A,B、B,AB 、 AB 符合条件。又因为父母都戴着红、黄、蓝三种颜色的帽子,而三种颜色依次表示所具有的血型为AB、A 、O,所以符合条件的只有 O、O,A、A ,AB、AB 。因而,可以得出下面
12、的简表:父母的血型 子女可能的血型O、O OA、A A、OAB、AB A、B、AB从上面的简表可以看出父母的血型为 O 的,孩子血型一定为 O,即穿红上衣的孩子,父母戴蓝帽子。划去简表的第一行及子女血型中的 O,又三个孩子中没有 AB 血型,所以子女血型中的 AB 也可划去,这样只剩第二行。由第二行,父母的血型为 A 的,子女的血型一定为 A,即穿黄上衣的孩子,父母戴黄帽子。最后,穿蓝上衣的孩子,父母戴红帽子。评注:1、本题先将问题简化,再从最简单的情况入手,把结果能确定下来的先确定下来,然后再继续讨论,结果不能确定下来的,就分情况讨论,这种方法叫枚举法。枚举法在逻辑推理中常用。2、上面的解法
13、是从父母的血型出发分析,从而确定孩子的血型,本题也可从孩子的血型出发分析来确定父母的血型。例 7 在某市举行的一次乒乓球比赛中,有 6 名选手参赛,其中专业选手与业余选手各 3 名.比赛采用单循环方式进行,就是说每两名选手都要比赛一场。为公平起见,用以下方法计分:开赛前每位选手各有 10 分作为底分,每赛一场,胜者加分,负者扣分:每胜专业选手一场的加 2 分, 每胜业余选手一场的加 1 分;专业选手每负一场扣 2 分,业余选手每负一场扣 1 分。现问:一位业余选手至少要胜几场才能保证他必定进入前三名?(第六届华杯赛复赛试题)分析:6 名选手进行单循环比赛,每名选手共进行 5 场比赛,显然 1
14、名业余选手只胜 1 场不能进入前三名,5 场全胜肯定能进入前三名,因而我们只需讨论 1 名业余选手胜二场、胜三场和胜四场三种情况,看是否能保证他必定进入前三名。解:设业余选手为 A、B、C,专业选手为 D、E、F。(一) 、如果 A 只胜两场,有三种情况:(1)A 胜两名专业选手,不妨为 D、E。在 B、C、F 都胜 D、E,而且 F 胜 B、C 时,B、C 、F 的分数都比 A 高,因此A 不能进入前三名。(2)A 胜一名专业选手,一名业余选手,不妨为 D、B在 E、F、C 都胜 D、B,而且 E、F 都胜 C 时,E、F、C 的分数都比 A 高,因此 A 不能进入前三名。(3)A 胜两名业
15、余选手 B、C在 D、E、F 都胜 B、C,而且 D 胜 E,E 胜 F,F 胜 D 时,D、E、F 的分数都比A 高,因此 A 不能进入前三名。所以如果 A 只胜两场,那么他不一定能进入前三名。(二) 、如果 A 恰好胜三场,情况比刚才要复杂。(1)A 胜 D、E、F。这时 A 比底分 10 分增加 23-24 分,其中又分两种情况:如果有一名专业选手,比如 D,胜其他四人,则 D 比底分 10 增加 22+21-24 分,刚好与 A 的得分相同。从而 E、F 的得分均低于 A,B、C 两人即使都胜E、F ,他俩比底分 10 增加 22+1-1+15 分与 22+1-1-1=3 分,从而 A
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