1、1分类讨论思想（2）第 2 讲一、概述与要点用分类讨论的思想方法分析、解决问题，有利于培养全面完整考虑问题的习惯和能力.本讲主要内容：1、两圆相切的位置关系包括两圆内切和外切.2、两圆内切时，不知道两圆半径 的大小，应考虑圆心 .21,r 21rd3、相交两圆的半径已知，公共弦长已知时，两圆圆心与公共弦有两种位置关系：（1）两圆心在公共弦的两旁;（2）两圆心在公共弦的同旁 .4、对图形开放题，要仔细审题，全面思考，切忽遗漏.二、例题选讲例 1、直角三角形的两条边长分别为 6 和 8，那么这个三角形的外接圆半径等于_ .（04年上海考题）分析 8 这条边既可看作直角边也可看作斜边，所以这个三角形
2、的外接圆半径有二种可能性.答：4 或 5例 2、矩形 ABCD 中，AB =5，BC=12 ，如果分别以 A、 C 为圆心的两圆相切，点 D 在圆 C 内，点B 在圆 C 外，那么圆 A 的半径 r 的取值范围是 （03 年上海考题）.分析 对“相切”条件考虑不周，就出现漏解现象.解：设圆 C 的半径为 ，则由题意得 125r当圆 A 与圆 C 外切时， + =13.513 12.r得 1 8.当圆 A 与圆 C 内切时, =13.r5 1312.得 18 25.r故 r 的取值范围是 1 8 或 18 25.r例 3 已知半径分别是 17cm 和 10cm， O1 与 O2 相交于 A、 B
3、 两点，如果公共弦 AB 的长是16cm，求圆心距 0102 的长.分析 注意对图形位置的讨论，即要分圆心在公共弦的同旁及两旁两种情况.图 52解：分两种情况求解（1）当圆心 O1、 O2 在 AB 的两旁时，连结 01A、 O2A（如图 5-1） O1 与 O2 相交于 A、 B 两点，0 102 垂直平分 AB，设垂足为 C.则 AC=8cm， 在 RtAO 1C 中，O 1C= =15（cm）.87 ABC C 图 5-2图 5-1O1 O2O2 O1A B2同理，在 RtAC O 2 中，求得 O2C=6（cm）. 0 102=15+6=21（cm ）（2）同理当圆心 O1、 O2 在
4、 AB 的同旁时（如图 5-2）0102=156=9（cm） 圆心距 0102 的长为 21cm 或 9cm.例 4 如图 5-3，已知 AB 是圆 O 的直径，AC 是弦，AB=2，AC= ，在图中画出弦 AD，使2AD=1，并求出CAD 的度数（ 98 年上海考题）分析考虑点 D 的位置，有两种不同的情形 .解：连结 BCAB 是直径，ACB=90，cosCAB= ， CAB=45.画出 AD.2（1）当 AD 和 AC 在 AB 两侧时，如图 5-4，连结 OD OA OD AD1OAD 是等边三角形，得OAD 60. CAD OAD+CAB 60+45=105.(2) 当 AD 和 A
5、C 在 AB 的同侧时，如图 5-5，同理 OAD 60， CAD OAD CAB 604515.例 5、已知直线 y=x+6 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，点 P 为 x 轴上可移动的点，且点 P在点 A 的左侧，过 P 作 x 轴的垂线交 y=x +6 于 M，有一动圆 O ，它与 x 轴，直线 PM 和 y=x+6都相切且在 x 轴上方，且 O 与 y 轴也相切时，求满足上述条件的点 P 的坐标.分析 本题是一个运动变化探索题，也是一个图形开放题，从点 P 的位置移动中找出符合题设条件的三种情况是解决本题的关键. 解 直线 y=x +6 与 x 轴交点 A（6,0） ，与
6、y 轴交点B（0,6）满足题设条件有以下三种情况：（1）若直线 PM 与 y 轴重合（见图 56） ，则 O 为AOB 的内切圆，P 点坐标为（0，0）DBA BABAD图 5-5图 5-4图 5-3C CCO OOA xBy图 5-6O O，O，3（2） O在 y 轴右侧，PM 在O 右侧（见图 57） ，设 r 为O的半径，AB=6 ,2点 P 坐标为6632,162,rP126,0（3）O在 y 轴左侧，PM 在O 左侧（见图 58） ，设 r 为 O的半径，O切 x 轴于C，切 PM 于 D，切 AM 于 E，AP MP62r，MA（62r） 2MA=ME+EA=6+r+6+r=12+
7、2r12+2r=(6+2r) ,r=3 ,即点 P 坐标为(-6 ,0) 三、习题精选1、在 Rt ABC 中，已知两条边长分别为 5 和 12 ，则第三条边长的_ .2、等腰三角形一个内角是 70，则其余两个内角的度数是_.3、等腰三角形的两条边分别是 5 和 9 ，那么它的周长是_cm.4、如果圆 O 与圆 O相切，圆 O 的半径是 3，圆心距 OO=5，那么圆 O的半径的_.5、已知两圆内切，一个圆心半径是 3，圆心距是 2，那么另一个圆的半径是_.6、 O 与 O相交于点 A、 B， O 的半径为 15 cm， O 半径为 13cm，AB=24cm，求OO的长 .7、在 Rt ABC
8、中，A=90,AB=2,AC=4,O 是 AC 的中点，以 R 为半径作 O ，如果 O 与边BC 只有一个公共点，试确定 R 的值或 R 的取值范围. 8、在 ABC 中，BAC=90,AB = AC=2 ，圆 A 的半径为 1，2如图 59 所示，若点 O 在 BC 边上运动（与点 B、 C 不重合） ，设OBx，AOC 的面积为 y（ 04 年上海考题）.（1） 求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定义域；BA xOyM图 5-7OPDEAxBy图 5-8MCOP OCBA图 5-9O4（2） 以点 O 为圆心，OB 长为半径作圆 O，求当圆 O 与圆 A 相切时， AOC 的面
9、积.答案1、13cm 或 cm.192、55 、 55或 70、40.3、19cm 或 23cm.4、2 或 8.5、5 或 1.6、14cm 或 4cm.7、解：（1）当O 与边 BC 相切时，此时 O 与边 BC 仅有一个公共点，只要作 OPBC 于P， 以 O 为圆心，OP 为半径作 O，此 O 与边 BC 只有一个公共点.此时，易证 RtOPC RtBAC ,得 .PCABAB=2,OC= AC=2,BC= ,代入解得 OP ，所以当O 的半径 R 时，1225AB2525 O 与边 BC 相切， O 与边 BC 仅有一个公共点 P.（如图 5-10）（2）当 O 的半径 R 取一定的
10、值时， O 会与直线相交，但也可能与边 BC 仅有一个公共点（另一个公共点在边 BC 的延长线上）.如图 5-11，连结 OB，由 ABAO 2，OB2 ，而2OC2，因此当 O 的半径 R 满足条件 2R2 时， O 与边 BC 也仅有一个公共点.综上所述，当 O 的半径 R 或 2R2 时， O 与边 BC 只有一个公共点.58、解：过点 A 作 AHBC 于点 H.（1） y=x+4(0x4)CBA图 5-10POCBA图 5-11O5（2）当点 O 与点 H 重合时， O 与 A 相交（不合题意）.当点 O 与点 H 不重合时，在 Rt AOH 中，AO AH OH 4 .22248x设 O 的半径为 x，（）当 A 与 O 外切时， .27148,6xx746CSy（）当 A 与 O 内切时 2x 71,422AOCxSy故当 A 与 O 相切时，AOC 的面积 或 .176
