1、拓扑空间维基百科，自由的百科全书汉漢上圖為三點集合1,2,3上四個拓撲的例子和兩個反例。左下角的集合並不是個拓撲空間，因為缺少2和3 的聯集 2,3；右下角的集合也不是個拓撲空間，因為缺少1,2 和2,3的交集2。拓扑空间是一种数学结构，可以在上頭形式化地定義出如收敛、连通、连续等概念。拓扑空间在现代数学的各个分支都有应用，是一个居于中心地位的、统一性的概念。拓扑空间有独立研究的价值，研究拓扑空间的数学分支称为拓扑学。目录隐藏 1 定义o 1.1 例子 2 拓扑之间的关系 3 连续映射 4 等價定义o 4.1 闭集o 4.2 邻域o 4.3 闭包运算o 4.4 开核运算o 4.5 网 5 拓扑
2、空间的例子 6 拓扑空间的构造 7 拓扑空间的分类o 7.1 分离性o 7.2 可数性o 7.3 连通性o 7.4 紧性o 7.5 可度量化 8 拥有代数结构的拓扑空间 9 拥有序结构的拓扑空间 10 历史 11 参考书目编辑定义拓撲空間是一個集合 X ，和一個 包含 X 的子集族 ，其滿足如下公理：1. 空集和 X 都屬於 。2. 內任意个集合的並集 都仍然會屬於 。3. 內任意两個集合的交集 也仍然會屬於 。滿足上述公理的集族 即稱為 X 的拓撲。X 內的元素通常稱做點，但它們其實可以是任意的元素。裡面的點為函數的拓撲空間稱為函數空間。 內的集合稱為開集，而其在 X 內的補集則稱為閉集。一
3、個集合可能是開放的、封閉的、非開非閉或亦開亦閉。编辑例子1. X = 1,2,3,4 和 X 內兩個子集組成的集族 = , X 會形成一個平庸拓扑（简体中文）密著拓撲（繁体中文）。2. X = 1,2,3,4 和 X 內六個子集組成的集族 = ,2,1,2,2,3,1,2,3,1,2,3,4 會形成另一個拓撲。3. X = （整數集合）及集族 等於所有的有限整數子集加上 自身 不是 一個拓撲，因為（例如）所有不包含零的有限集合的聯集是無限的，但不是 的全部，因此不在 內。编辑拓扑之间的关系同一个空间可以拥有不同的拓扑，有些是有用的，有些是平庸的，这些拓扑之间可以形成一种偏序关系。当拓扑 的每一
4、个开集都属于拓扑 时，我们说拓扑比拓扑 更细，或者说拓扑 比拓扑 更粗。仅依赖于特定开集的存在而成立的结论，在更细的拓扑上依然成立；类似的，仅依赖于特定集合不是开集而成立的结论，在更粗的拓扑上也依然成立。最粗的拓扑是由空集和全集两个元素构成的拓扑，最细的拓扑是离散拓扑，这两个拓扑都是平庸的。在有些文献中，我们也用大小或者强弱来表示这里粗细的概念。编辑连续映射拓扑空间上的一个映射，如果它对于每个开集的原像都仍然是开集，那么我们称这个映射是连续的。这个定义符合我们关于连续映射不会出现破碎或者分离的直观印象。同胚映射是一个连续的双射，并且它的逆映射也连续。两个拓扑空间之间存在同胚映射，则称这两个空间
5、是同胚的。从拓扑学的观点上来讲，同胚的空间是等同的。拓扑空间作为对象，连续映射作为态射，构成了拓扑空间范畴，它是数学中的一个基础性的范畴。试图通过不变量来对这个范畴进行分类的想法，激发和产生了整个领域的研究工作，包括同伦论、同调论和 K-理论。编辑等價定义虽然利用开集来定义拓扑空间是最常见的定义方法，但我们仍然可以通过其他的多种方式来定义拓扑空间。这些不同的定义方式都是等价的。这些不同的拓扑空间的定义连同各自连续映射的定义，从范畴论的角度看，都定义了同一个范畴即拓扑空间范畴。编辑闭集利用 德摩根律，和上面定义中关于开集的公理相对偶 的，我们引入下述关于闭集的公理。集合 X 上的子集族 ，它们满
6、足如下的公理：C1：空集 和全集 X 都属于 。C2： 中的任意多个子集的交集仍然属于 。C3： 中的任意有限多个子集的并集仍然属于 。集族 中的元素称为集合 X 上的闭集。我们也可以直接利用闭集来定义连续映射：映射 f 是连续的，当且仅当，f 对任何闭集的原像也是闭集。编辑邻域我们考虑集合 X 上的一个映射 ，其中 P(P(X)指集合 X 的幂集的幂集。我们假设 将 X 中的点 x 映射为 X 的子集族 ，即有。对任意的 ，如果上述的 满足如下公理：N1：集族 不空，并且 中任何一个集合都包含点x。N2：集族 中的一个集合 N，如果有 ，则集合U 也属于集族 。N3：集族 中任意两个集合的交
7、集仍在 中。N4：集族 中的任意一个集合 N，存在 中的另一个集合 U，使得 U 包含于 N，且对于 U 中的任意点 y，有U 属于集族 。那么，我们称集族 的元素为点 x 的邻域，而集族 (即点 x 的所有邻域) 称为点 x 的邻域系统 。可以直接利用邻域来定义出映射在某一点连续：映射 是在点 x 是连续的，当且仅当，对 y 点的任何一个邻域 V，都存在 x 点的一个邻域 U，使得。而连续映射即点点连续的映射。类似的，拓扑也可以通过点和集合间的 接近关系 来定义。编辑闭包运算我们考虑集合 X 的幂集 P(X)上的一元运算 。称为一个拓扑空间，当且仅当，运算 c 满足下述的库拉托夫斯基闭包公理
8、：K1： ；K2： ；K3： ；K4： 。运算 c 被称为 闭包运算，集合 X 上的闭集是闭包运算的不动点。利用闭包运算也可以定义连续映射：映射 f 是连续的，当且仅当，对任意的集合A， 成立。编辑开核运算我们还可以建立和闭包运算相对偶的开核运算，然后通过开核运算建立起拓扑空间。我们考虑集合 X 的幂集 P(X)上的一元运算 。运算 o 满足下述的开核公理：I1： ；I2： ；I3： ；I4： 。运算 o 被称为开核运算，集合 X 上的开集是开核运算的不动点。和闭包运算相对偶，利用开核运算也可以定义连续映射：映射 f 是连续的，当且仅当，对任意的集合 A， 成立。编辑网网的目的在推广序列及极限
9、，网的收性称作 Moore-Smith 收敛。其关键在於以有向集合代替自然数集 。空间 X 上的一个网 是从有向集合 A 映至 X 的映射。若存在 ，使得对每个 x 的邻域 U 都存在 ，使得，则称网 收敛至 x。几乎所有点集拓扑学的基本概念都能表述作网的收敛性，请参阅主条目网编辑拓扑空间的例子实数集 R 构成一个拓扑空间：全体开区间构成其上的一组拓扑基，其上的拓扑就由这组基来生成。这意味着实数集 R 上的开集是一组开区间的并（开区间的数量可以是无穷多个。从许多方面来说，实数集都是最基本的拓扑空间，并且它也指导着我们获得对拓扑空间的许多直观理解；但是也存在许多“奇怪”的拓扑空间，它们有悖于我们
10、从实数集获得的直观理解。更一般的，n 维欧几里得空间 Rn构成一个拓扑空间，其上的开集就由开球来生成。任何度量空间都可构成一个拓扑空间，如果其上的开集由开球来生成。这中情况包括了许多非常有用的无穷维空间，如泛函分析领域中的 Banach 空间和希尔伯特空间。任何局部域都自然地拥有一个拓扑，并且这个拓扑可以扩张成为这个域上的向量空间。除了由全体开区间生成的拓扑之外，实数集还可以赋予另外一种拓扑下限拓扑（lower limit topology）。这种拓扑的开集由下列点集构成空集、全集和由全体半开区间a,b)生成的集合。这种拓扑严格地细于上面定义的欧几里得拓扑；在这种拓扑空间中，一个点列收敛于一点
11、，当且仅当，该点列在欧几里得拓扑中也收敛于这个点。这样我们就给出了一个集合拥有不同拓扑的示例。流形都是一个拓扑空间。每一个单形都是一个拓扑空间。单形是一种在计算几何学中非常有用的凸集。在 0、1 、2 和 3 维空间中，相应的单形分别是点、线段、三角形和四面体。每一个单纯复形都是一个拓扑空间。一个单纯复形由许多单形构成。许多几何体都可以通过单纯复形来建立模型，参见多胞形（Polytope ）。扎里斯基拓扑是一种纯粹由代数来定义的的拓扑，这种拓扑建立在某个环的交換环谱之上或者某个代数簇之上。对 Rn或者 Cn来说，相应扎里斯基拓扑定义的闭集，就是由全体多项式方程的解集合构成。线性图是一种能推广图
12、的许多几何性质的拓扑空间。泛函分析中的许多算子集合可以获得一种特殊的拓扑，在这种拓扑空间中某一类函数序列收敛于零函数。任何集合都可以赋予离散拓扑。在离散拓扑中任何一个子集都是开集。在这种拓扑空间中，只有常数列或者网是收敛的。任何集合都可以赋予平庸拓扑。在平庸拓扑中只有空集和全集是开集。在这种拓扑空间中，任和一个序列或者网都收敛于任何一个点。这个例子告诉我们，一个序列或者网可能不会收敛于唯一的一个点。有限补拓扑。设 X 是一个集合。X 的所有有限子集的补集加上空集，构成 X 上的一个拓扑。相应的拓扑空间称为有限补空间。有限补空间是这个集合上最小的 T1 拓扑。可数补拓扑。设 X 是一个集合。X
13、的所有可数子集的补集加上空集，构成 X 上的一个拓扑。相应的拓扑空间称为可数补空间。如果 是一个序数，则集合0, 是一个拓扑空间，该拓扑可以由区间(a, b生成，此处 a 和 b 是 的元素。编辑拓扑空间的构造拓扑空间的任何一个子集都可以被赋予一个子空间拓扑，子空间拓扑中的开集是全空间上的开集和子空间的交。对任何非空的拓扑空间族，我们可以构造出这些拓扑空间的积上的拓扑，这种拓扑称为积拓扑。对于有限积来说，积空间上的开集可以由空间族中各个空间的开集的积生成出来。商拓扑可以被如下地定义出来：若 X 是一个拓扑空间， Y是一个集合，如果 f : X Y 是一个满射，那么 Y 获得一个拓扑；该拓扑的开
14、集可如此定义，一个集合是开的，当且仅当它的逆像也是开的。可以利用 f 自然投影确定下 X 上的等价类，从而给出拓扑空间 X 上的一个等价关系。Vietoris 拓扑编辑拓扑空间的分类依据点和集合分离的程度、大小、连通程度、紧性等，拓扑空间可以进行各种各样的分类。并且由于这些分类产生了许多不同的术语。编辑分离性详细资料请参照分离公理。有些术语在老的文献中采用了不同地定义方式，请参照分离公理的历史编辑可数性可分的：空间是可分的，当它拥有一个可数的稠密子集。林德勒夫：空间是林德勒夫的，如果每一个开覆盖都有一个可数子覆盖。第一可数：空间是第一可数的，如果任何一个点都有一个可数的局部基。第二可数：空间是
15、第二可数的，如果空间拥有一个可数的基。第二可数空间总是可分的；第一可数空间总是林德勒夫的。编辑连通性连通：空间 X 是连通，当且仅当它不是两个无交的非空开集的并。等价地， 一个空间是连通的，当且仅当该空间的闭开集（既开又闭的集合）只有空集和全空间两者。局部连通：一个空间是局部连通的，当且仅当该空间的每个点都有一个特殊的局部基，这个局部基由连通集构成。完全不连通：空间是完全不连通的，当且仅当不存在多于一个点的连通子集。道路连通：空间 X 是道路连通的，当且仅当对空间的任意两点 x 和 y，存在从 x 到 y 道路 p，也即，存在一个连续映射 p: 0,1 X，满足 p（0）= x 且 p（1）=
16、 y。道路连通的空间总是连通的。局部道路连通：一个空间是局部道路连通的，当且仅当该空间的每个点都有一个特殊的局部基，这个局部基由道路连通集构成。一个局部道路连通空间是连通的，当且仅当它是道路连通的。单连通：一个空间 X 是单连通的，当且仅当它是道路连通且每个连续映射 都与常数映射同伦。可缩：一个空间 X 是可缩的，当且仅当它同伦等价 到一点。超连通：一个空间是超连通的，当且仅当任两个非空开集的交集非空。超连通蕴含连通。极连通：一个空间是极连通的，当且仅当任两个非空闭集的交集非空。极连通蕴含道路连通。平庸的：一个空间是平庸的，当且仅当其开集只有本身与空集。编辑紧性一个空间是紧的，当且仅当任何开覆
17、盖都有有限的子覆盖，详细资料请参照紧集。编辑可度量化可度量性意味着可赋予空间一个度量，使之给出该空间的拓扑。目前已有许多版本的度量化定理，其中最着名的是 Urysohn 度量化定理：一个第二可数的正则豪斯多夫空间可被度量化。由此可导出任何第二可数的流形皆可度量化。编辑拥有代数结构的拓扑空间对於任一类代数结构，我们都可以考虑其上的拓扑结构，并要求相关的代数运算是连续映射。例如，一个拓扑群 G 乃是一个拓扑空间配上连续映射（群乘法）及 （反元素），使之具备群结构。同样地，可定义拓扑向量空间为一个赋有拓扑结构的向量空间，使得加法与纯量乘法是连续映射，这是泛函分析的主题；我们可以类似地定义拓扑环、拓扑
18、域等等。结合拓扑与代数结构，往往可以引出相当丰富而实用的理论，例如微分几何探究的主齐性空间。在代数数论及代数几何中，人们也常定义适当的拓扑结构以简化理论，并得到较简明的陈述；如数论中的局部域（一种拓扑域），伽罗瓦理论中考虑的Krull 拓扑（一种特别的拓扑群），以及定义形式概形 所不可少的 I-进拓扑（一种拓扑环）等等。编辑拥有序结构的拓扑空间拓扑空间也可能拥有自然的序结构，例子包括：谱空间（spectral space）上的序结构。特殊化预序：定义 。常见於计算机科学。编辑历史参见拓扑学。编辑参考书目John L. Kelley, General Topology (GTM 27). Spr
19、inger-Verlag. ISBN 0387901256.James R. Munkres, Topology (second edition). Prentice Hall; ISBN 0131816292.点集拓扑学初步 / 江泽涵著. - 上海: 上海科学技术出版社, 1979 年 1 月。点集拓扑学基础 / 吴东兴著. - 北京: 科学出版社, 1981年 3 月。点集拓扑学原理 / 鲍姆著; 蒲思立译. - 北京: 人民教育出版社, 1981 年 6 月。一般拓扑学 / 李普舒茨著; 陈昌平等译. - 上海: 华东师大出版社, 1982 年 1 月。一般拓扑学 / 凯莱著;吴丛，吴
20、让泉译. - 北京: 科学出版社, 1982 年 5 月。拓扑学引论 / 本特门德尔森著;陈明蔚译. - 南宁: 广西人民出版社, 1983 年 1 月。基础拓扑学 / 阿姆斯特朗著; 孙以丰译. - 北京: 北京大学出版社, 1983 年 1 月。点集拓扑学 / 方嘉琳编著. - 沈阳: 辽宁人民出版社, 1983年 4 月。拓扑学的基础和方法 / 野口宏著; 郭卫中，王家彦译. - 北京: 科学出版社, 1986 年 3 月。拓扑学初步 / 苏步青著. - 上海: 复旦大学出版社, 1986 年4 月。拓扑学基础教程 / 曼克勒斯著; 罗嵩龄等译. - 北京: 科学出版社, 1987 年
21、8 月。基础拓扑学 / 何伯和，廖公夫著. - 北京: 高等教育出版社, 1991 年 1 月。一般拓扑学专题选讲 / 蒋继光著. - 成都: 四川教育出版社, 1991 年 3 月。拓扑学导论 / 鲍里索维奇等著; 盛立人等译. - 北京: 高等教育出版社, 1992 年 9 月。基础拓扑学讲义 / 尤承业编著. - 北京: 北京大学出版社, 1997 年. ISBN 7-301-03103-3.显示查 論 編点集拓扑系列1 个分类: 拓扑空间 新功能 登录创建账户 条目 讨论不转换 阅读 编辑 查看历史 首页 分類索引 特色内容 新闻动态 最近更改 随机条目帮助 帮助 社区入口 方针与指引
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