1、探究导数极值点的应用1已知函数 f(x)x ，g( x)aln x(aR)1x(1)当 a2 时，求 F(x)f (x)g(x)的单调区间；(2)设 h(x)f(x)g( x)，且 h(x)有两个极值点为 x1，x 2，其中 x1 ，求(0，12h(x1)h( x2)的最小值解：(1)由题意得 F(x)x aln x(x0)，1x则 F (x) ，令 m(x)x 2ax1，则 a 24x2 ax 1x2当2a2 时，0 ，从而 F(x)0，所以 F(x)的单调递增区间为(0，)；当 a2 时，0，设 F(x)0 的两根为x1 ，x 2 ，a a2 42 a a2 42所以 F(x)的单调递增区
2、间为和 ，(0，a a2 42 ) (a a2 42 ， )F(x)的单调递减区间为 (a a2 42 ，a a2 42 )综上，当2a2 时，F(x)的单调递增区间为(0，)；当 a2 时，F(x)的单调递增区间为和 ，(0，a a2 42 ) (a a2 42 ， )F(x)的单调递减区间为 (a a2 42 ，a a2 42 )(2)对 h(x)x aln x，x(0，)求导得，1xh(x)1 ，1x2 ax x2 ax 1x2h(x)0 的两根分别为 x1，x 2，则有 x1x21，x 1x 2a，所以 x2 ，从而有 ax 1 1x1 1x1令 H(x)h(x) h (1x)x ln
3、 x1x ( x 1x) 1x x ( x 1x)ln 1x2 ，( x 1x)ln x x 1x即 H( x)2 ln x (x0)(1x2 1) 21 x1 xln xx2当 x 时，H(x)0，所以 H(x)在 上单调递减，(0，12 (0，12又 H(x1)h(x 1)h h(x1)h(x 2)，(1x1)所以h( x1)h(x 2)minH 5ln 23(12)2(2016全国乙卷)已知函数 f(x)(x2)e xa(x 1)2 有两个零点(1)求 a 的取值范围；(2)设 x1，x 2 是 f(x)的两个零点，证明： x1x 20，则当 x(，1)时，f(x)0，所以 f(x)在(
4、 ，1)内单调递减，在 (1，)内单调递增又 f(1)e， f(2)a，取 b满足 b (b2)a(b1) 2a 0，a2 (b2 32b)故 f(x)存在两个零点设 a0，因此 f(x)在(1 ，)内单调递增又当 x1 时，f( x)1，e2故当 x(1 ，ln(2a)时，f( x)0.因此 f(x)在(1，ln(2a) 内单调递减，在 (ln(2a)，) 内单调递增又当 x1 时，f( x)f(2x 2)，即 f(2x 2)1 时，g(x)1 时，g(x)0 时,g(x)0, 求 b 的最大值;()已知 1.414 20,g(x)0.(ii)当 b2 时,若 x 满足 20,232 2ln 2 0.692 8;82312当 b= +1 时,ln(b-1+ )=ln ,324 22 2g(ln )=- -2 +(3 +2)ln 20,232 2 2ln 2 0.693 4.18+228所以 ln 2 的近似值为 0.693.
