1、自考高数线性代数课堂笔记第一章 行列式线性代数学的核心内容是：研究线性方程组的解的存在条件、解的结构以及解的求法。所用的基本工具是矩阵，而行列式是研究矩阵的很有效的工具之一。行列式作为一种数学工具不但在本课程中极其重要，而且在其他数学学科、乃至在其他许多学科（例如计算机科学、经济学、管理学等）都是必不可少的。1.1 行列式的定义（一）一阶、二阶、三阶行列式的定义（1）定义：符号 叫一阶行列式，它是一个数，其大小规定为： 。注意：在线性代数中，符号 不是绝对值。例如 ，且 ；（2）定义：符号 叫二阶行列式，它也是一个数，其大小规定为：所以二阶行列式的值等于两个对角线上的数的积之差。例如 （3）符
2、号 叫三阶行列式，它也是一个数，其大小规定为例如 =0三阶行列式的计算比较复杂，为了帮助大家掌握三阶行列式的计算公式，我们可以采用下面的对角线法记忆方法是：在已给行列式右边添加已给行列式的第一列、第二列。我们把行列式左上角到右下角的对角线叫主对角线，把右上角到左下角的对角线叫次对角线，这时，三阶行列式的值等于主对角线的三个数的积与和主对角线平行的线上的三个数的积之和减去次对角线三个数的积与次对角线的平行线上数的积之和。例如：（1）=159+267+348-357-168-249=0（2）（3）（2）和（3）叫三角形行列式，其中（2）叫上三角形行列式， （3）叫下三角形行列式，由（2） （3）可
3、见，在三阶行列式中，三角形行列式的值为主对角线的三个数之积，其余五项都是 0，例如例 1 a 为何值时，答疑编号 10010101：针对该题提问 解 因为 所以 8-3a=0， 时 例 2 当 x 取何值时，答疑编号 10010102：针对该题提问 解：解得 01）：答疑编号 10010307：针对该题提问 解 将行列式按第一列展开，得例 12 计算范德蒙德（VanderMonde）行列式： 答疑编号 10010308：针对该题提问 例 13 计算 答疑编号 10010309：针对该题提问 例 14 计算 答疑编号 10010310：针对该题提问 =（x+4a） （x-a ） 41.4 克拉默
4、法则由定理 1.2.1 和定理 1.3.1 合并有或 （一）二元一次方程组由 a22-a 12得由 a11-a 21得令 =D =D1 =D2则有 当 D0 时，二元一次方程组有唯一解（二）三元一次方程组令 叫系数行列式， ， 由 D 中的 A11+A 21+A 31得 即 由 D 中的 A12+A 22+A 32得即 由 D 中的 A13+A 23+A 33得即 当 D0 时，三元一次方程组有唯一解一般地，有下面结果定理（克拉默法则） 在 n 个方程的 n 元一次方程组（1）中，若它的系数行列式0则 n 元一次方程组有唯一解。推论：在 n 个方程的 n 元一次齐次方程组（2） 中（1）若系数
5、行列式 D0， 方程组只有零解（2）若系数行列式 D=0则方程组（2）除有零解外，还有非零解（不证）例 在三元一次齐次方程组中，a 为何值时只有零解，a 为何值时有非 0 解。 答疑编号 10010401：针对该题提问 解： =2a-6+3-4-（-9 ）-a=a+2（1）a-2 时，D0,只有零解（2）a=-2 时 ，D=0 ，有非零解。本章考核内容小结（一）知道一阶，二阶，三阶，n 阶行列式的定义知道余子式，代数余子式的定义（二）知道行列式按一行（列）的展开公式（三）熟记行列式的性质，会用展开公式或将行列式化为三角形的方法计算行列式重点是三阶行列式的计算和各行（列）元素之和相同的行列式的计
6、算（四）知道克拉默法则的条件和结论本章作业习题 1.11.（1） （4） （5） （6）3.（1） （2）习题 1.21、2、3.（1） （2） （3） ，4.（1）习题 1.31.（1） （2） （3）2.（1） （2）4.（1） （2）5、6.（1） （2） （3） （4） （5） （8） （11） （12） （14）习题 1.43第二章 矩 阵矩阵是线性代数学的一个重要的基本概念和数学工具，是研究和求解线性方程组的一个十分有效的工具；矩阵在数学与其他自然科学、工程技术中，以及经济研究和经济工作中处理线性经济模型时，也都是一个十分重要的工具。本章讨论矩阵的加、减法，数乘，乘法，矩阵的转置运
7、算，矩阵的求逆，矩阵的初等变换，矩阵的秩和矩阵的分块运算等问题。最后初步讨论矩阵与线性方程组的问题。2.1 矩阵的概念定义 2.1.1 由 mn 个数 aij（i=1 ，2，m ；j=1 ，2，n）排成一个 m 行 n 列的数表称为一个 m 行 n 列矩阵。矩阵的含义是，这 mn 个数排成一个矩形阵列。其中 aij 称为矩阵的第 i 行第 j 列元素（i=1，2，m；j=1，2， ，n） ，而 i 称为行标，j 称为列标。第 i 行与第 j 列的变叉位置记为（i，j ） 。通常用大写字母 A，B，C 等表示矩阵。有时为了标明矩阵的行数 m 和列数 n，也可记为A= （a ij） mn 或（a
8、ij） mn 或 Amn当 m=n 时，称 A=（a ij） nn 为 n 阶矩阵，或者称为 n 阶方阵。n 阶方阵是由 n2 个数排成一个正方形表，它不是一个数，它与 n 阶行列式是两个完全不同的概念。只有一阶方阵才是一个数。一个 n 阶方阵 A 中从左上角到右下角的这条对角线称为 A 的主对角线。n 阶方阵的主对角线上的元素 a11，a 22，a nn，称为此方阵的对角元。在本课程中，对于不是方阵的矩阵，我们不定义对角元。元素全为零的矩阵称为零矩阵。用 Omn 或者 O 表示。特别，当 m=1 时，称 =（a 1，a 2，a n）为 n 维行向量。它是 1n 矩阵。当 n=1 时，称 为
9、m 维列向量。它是 m1 矩阵。向量是特殊的矩阵，而且它们是非常重要的特殊矩阵。例如， （a，b，c ）是 3 维行向量， 是 3 维列向量。几种常用的特殊矩阵：1.n 阶对角矩阵形如 或简写为的矩阵，称为对角矩阵， 对角矩阵必须是方阵。 例如， 是一个三阶对角矩阵，也可简写为 。2.数量矩阵当对角矩阵的主对角线上的元素都相同时，称它为数量矩阵。 n 阶数量矩阵有如下形式：或 。特别， 当 a=1 时，称它为 n 阶单位矩阵。 n 阶单位矩阵记为 En 或 In，即或在不会引起混淆时，也可以用 E 或 I 表示单位矩阵。n 阶数量矩阵常用 aEn 或 aIn 表示。其含义见 2.2 节中的数乘
10、矩阵运算。3.n 阶上三角矩阵与 n 阶下三角矩阵形如的矩阵分别称为上三角矩阵和下三角矩阵。对角矩阵必须是方阵。 一个方阵是对角矩阵当且仅当它既是上三角矩阵，又是下三角矩阵。4.零矩阵2.2 矩阵运算本节介绍矩阵的加法、减法、数乘、乘法和转置等基本运算。只有在对矩阵定义了一些有理论意义和实际意义的运算后，才能使它成为进行理论研究和解决实际问题的有力工具。2.2.1 矩阵的相等（同）定义 2.2.1 设 A=（ aij） mn，B=（b ij） kl，若 m=k，n=l 且 aij=bij，i=1，2，m；j=1 ，2，n，则称矩阵 A 与矩阵 B 相等，记为 A=B。由矩阵相等的定义可知，两个
11、矩阵相等指的是，它们的行数相同，列数也相同，而且两个矩阵中处于相同位置（i，j ）上的一对数都必须对应相等。特别，A= （a ij） mn=O aij=0，i=1 ，2，m ；j=1，2，n。注意 行列式相等与矩阵相等有本质区别，例如因为两个矩阵中（1，2）位置上的元素分别为 0 和 2。但是却有行列式等式2.2.2 矩阵的加、减法定义 2.2.2 设 A=（a ij） mn 和 B=（b ij） mn，是两个 mn 矩阵。由 A 与 B 的对应元素相加所得到的一个 mn 矩阵，称为 A 与 B 的和，记为 A+B，即A+B=（a ij+ bij） mn。即若则当两个矩阵 A 与 B 的行数与
12、列数分别相等时，称它们是同型矩阵。只有当两个矩阵是同型矩阵时，它们才可相加。例如注意：（1）矩阵的加法与行列式的加法有重大区别例如（2）阶数大于 1 的方阵与数不能相加。若 A=（a ij）为 n 阶方阵，n1，a 为一个数，则 A+a 无意义！但是 n 阶方阵 A=（a ij）mn 与数量矩阵 aEn 可以相加：由定义 2.2.2 知 矩阵的加法满足下列运算律：设 A，B，C 都是 mn 矩阵， O 是 mn 零矩阵，则（1）交换律 A+B=B+A.（2）结合律（A+B ）+C=A+ （B+C ）.（3）A+O=O+A=A.（4）消去律 A+C=B+C A=B.2.2.3 数乘运算定义 2.
13、2.3 对于任意一个矩阵 A=（a ij） mn 和任意一个数 k，规定 k 与 A 的乘积为kA=（ka ij） mn.即若 则由定义 2.2.3 可知，数 k 与矩阵 A 的乘积只是 A 中的所有元素都要乘以 k，而数 k 与行列式 Dn 的乘积只是用 k 乘 Dn 中某一行的所有元素，或者用 k 乘 Dn 中某一列的所有元素，这两种数乘运算是截然不同的。根据数乘矩阵运算的定义可以知道，数量矩阵 aEn 就是数 a 与单位矩阵 En 的乘积。数乘运算律（1）结合律（kl）A=k（lA） =klA，k 和 l 为任意实数。（2）分配律 k（A+B ）=kA+kB ， （k+l）A=kA+lA
14、，k 和 l 为任意实数。例 1 已知求 2A-3B。答疑编号：10020101 针对该题提问 解例 2 已知且 A+2X=B，求 X。答疑编号：10020102 针对该题提问 解：2.2.4 乘法运算定义 2.2.4 设矩阵 A=（a ij） mk，B=（b ij） kn，令 C=（c ij） mn 是由下面的 mn 个元素cij=ai1b1j+ai2b2j+aikbkj（i=1，2，m ；j=1，2，n）构成的 m 行 n 列矩阵，称矩阵 C 为矩阵 A 与矩阵 B 的乘积，记为 C=AB。由此定义可以知道，两个矩阵 A=（a ij）和 B=（b ij）可以相乘当且仅当 A 的列数与 B的
15、行数相等。当 C=AB 时，C 的行数=A 的行数，C 的列数=B 的列数。C 的第 i 行第 j 列元素等于矩阵 A 的第 i 行元素与矩阵 B 的第 j 列对应元素的乘积之和。例 3 若 且 AB=C求矩阵 C 中第二行第一列中的元素 C21答疑编号：10020103 针对该题提问 解：C 21 等于左矩阵 A 中的第二行元素与右矩阵 B 中第一列元素对应乘积之和C 21=21+ 13+ 00=5例 4 设矩阵求 AB。答疑编号：10020104 针对该题提问 解： =这里矩阵 A 是 33 矩阵，而 B 是 32 矩阵，由于 B 的列数与 A 的行数不相等，所以BA 没有意义。例 5 求
16、（1）A 3E3 （2）E 3A3解：（1）答疑编号：10020105 针对该题提问 （2）答疑编号：10020106 针对该题提问 由本例可见 A3E3=E3A3=A3，并且可以推广有它与代数中的 1a=a1=a 比较可见单位矩阵 En 在乘法中起单位的作用。例 6 设矩阵求 AB 和 BA答疑编号：10020107 针对该题提问 解：现在，我们对矩阵乘法与数的乘法作一比较。数的乘法有交换律，矩阵乘法没有普遍交换律。例 7 设 求（1）AB （2）AC解 （1）答疑编号：10020108 针对该题提问 （2）答疑编号：10020109 针对该题提问 可见 AB=AC众所周知，两个数的乘积是可
17、交换的：ab=ba，因而才有熟知的公式：（a+b） 2=a2+2ab+b2，a 2-b2=（a+b） （a-b） ， （ab） k=akbk.两个非零数的乘积不可能为零。因此，当 ab=0 时，必有 a=0 或 b=0。当 ab=ac 成立时，只要 a0，就可把 a 消去得到 b=c。由矩阵乘法及上述例 6、例 7 可知：（1）单位矩阵与任意一个同阶方阵的乘积必可交换：E nA=AEn=A（2）数量矩阵与任意一个同阶方阵的乘积必可交换：（aE n）A=A（aE n）.（3）在一般情形下，矩阵的乘法不满足交换律，即一般 ABBA。（4）当 AB=O 时，一般不能推出 A=O 或 B=O。这说明矩
18、阵乘法不满足消去律。（5）当 AB=AC 时，一般不能推出 B=C。若矩阵 A 与 B 满足 AB=BA，则称 A 与 B 可交换。此时，A 与 B 必为同阶方阵。矩阵乘法不满足消去律，并不是说任意两个方阵相乘时，每一个方阵都不能从矩阵等式的同侧消去。在下一节中我们将会看到，被称为可逆矩阵的方阵一定可以从矩阵等式的同侧消去。例 8 设矩阵 ，求出所有与 A 可交换的矩阵。答疑编号：10020201 针对该题提问 解 因为与 A 可交换的矩阵必为二阶矩阵，所以可设 为与 A 可交换的矩阵，则由 AX=XA，可推出 x12=0，x 11=x22，且 x11，x 21 可取任意值，即得。例 9 解矩
19、阵方程 ，X 为二阶矩阵。答疑编号：10020202 针对该题提问 解 设 。由题设条件可得矩阵等式：由矩阵相等的定义得解这两个方程组可得 x11=1，x 21= -1，x 12=1，x 22=0。所以 。 乘法运算律（1）矩阵乘法结合律（AB）C=A（BC） 。（2）矩阵乘法分配律（A+B）C=AC+BC，A（B+C）=AB+AC。（3）两种乘法的结合律 k（AB）=（kA）B=A（kB） ，k 为任意实数。（4）E mAmn=Amn，A mnEn=Amn（其中 Em，E n 分别为 m 阶和 n 阶单位矩阵） 。矩阵乘法的结合律要用定义直接验证（证略） ，其他三条运算律的正确性是显然的。方阵的方幂设 A 为 n 阶方阵，由于矩阵乘法满足结合律，所以 可以不加括号而有完全确定的意义。我们定义A 的幂（或称方幂）为由定义可知，n 阶方阵的方幂满足下述规则：A kAl=Ak+l， （A k） l=Akl，k，l 为任意正整数。例 10 用数学归纳法证明以下矩阵等式：（1） （2） 。证 （1）当 n=1 时，矩阵等式显然成立。假设当 n=k 时，矩阵等式成立，即
