1、概率论与数理统计试题 一一、单项选择题(本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分)1.设随机事件 A 与 B 互不相容，且 P(A)0，P(B)0，则（ ）A.P(A)=1-P（B） B.P(AB)=P(A)P(B)C.P(AB)=1 D.P( )=1AB2.设 A，B 为随机事件，P(A)0,P（A|B）=1，则必有（ ）A.P(AB)=P(A) B.A BC.P(A)=P(B) D.P(AB)=P(A)3.将两封信随机地投入四个邮筒中，则未向前面两个邮筒投信的概率为（ ）A. B.24 C214C. D.42!A!4.某人连续向一目标射击，每次命中目标的概率为 ，他连续射34击直
2、到命中为止，则射击次数为 3 的概率是（ ）A. B.()34 ()412C. D.12C35.已知随机变量 X 的概率密度为 fX(x)，令 Y=-2X，则 Y 的概率密度 为（ ）Yf(y)A.2fX(-2y) B.fX ()y2C. D. 12fy() 1f6.如果函数f(x)= xab,; 或0是某连续随机变量 X 的概率密度，则区间a,b 可以是（ ）A.0，1 B.0，2C. 0， D.1，227.下列各函数中是随机变量分布函数的为（ ）A. B.Fxx12(),Fxx2001(),;,.C. D.xex3(), xarctgx432(),8.设连续随机变量 X 的概率密度为 则其
3、 它 ， ；,0)(fP1X1( )A.0 B.0.25 C.0.5 D.19设总体 X 服从正态分布 ，其中 已知， 未知，),(N22X1，X 2， ,X n为其样本，n2,则下列说法中正确的是( )A. 是统计量 B. 是统计量n1i2i)( n1i2iXC. 是统计量 D. 是统计量n1i2i2)( n1i2i10设 X1，X 2，X 6 是来自正态总体 N（0，1）的样本，则统计量 服从（ ）265243A正态分布 B 分布2C t 分布 DF 分布二、填空题(每空 2 分，共 20 分) 1、设 A， B 为随机事件，且 P（A）=0.7,P( AB)=0.3，则 P（）= 2、有
4、甲、乙两批种子，发芽率分别为 0.8 和 0.7，在两批种子中各随机取一粒恰有一粒发芽的概率为= 3. 设 P（ ）=0.3,P(B)=0.4,P (A )=0.5，求 P（BA ）= AB4. 设在 15 只同类型零件中有 2 只为次品，在其中取 3 次，每次任取 1 只，作不放回抽样，以 X 表示取出的次品个数则3()2PX5. 设随机变量 X 的分布律为 PX=k= ，其中!akk=0，1，2 ， 0 为常数，则常数 a= 6. 设 XN（3，2 2） ， P20, P(A|B)=1,则 P(A B)与P(A)相等 。 （ ）3. 若 P（ A B）= P(A )，则 A， B 相互独立
5、。 （ ）4. 设 A， B 是两事件，且 P（ A）=0.6, P(B)=0.7，则 P（ AB）取到最大值 0.7。 （ )5. 设 A， B， C 为三个事件， A， B， C 至多有 2 个发生可表示为 。 ( )四、计算题(本大题共 3 小题，每小题 8 分，共 24 分)1. 将两信息分别编码为 A 和 B 传递出来，接收站收到时，A被误收作 B 的概率为 0.02，而 B 被误收作 A 的概率为 0.01.信息 A 与 B 传递的频繁程度为 21.若接收站收到的信息是 A，试问原发信息是 A 的概率是多少？2.设随机变量 X 的分布律为X 1 0 1P p1 p2 p3且已知 E
6、（ X）=0.1,E(X 2)=0.9,求 P1，P 2，P 3.3. 设总体 其中 求 的估计量x,0f他及极大似然估计量.五应用题(本大题共 2 小题，每小题 8 分，共 16 分)1. 假设一条生产线生产的产品合格率是 0.8.要使一批产品的合格率达到在 76%与 84%之间的概率不小于 90%，问这批产品至少要生产多少件？参考答案一、单项选择题(本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分)DAACD ABCDD二、填空题(每空 2 分，共 20 分) 1、0.6 2、0.38 3. 0.25 4. 5. 6. 1235e0.5328.7 19 8. 1 9 15.32 10、1
7、/25 三、判断题(本大题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分)1. 2. 3. 4. 5. 四、计算题 (共 40 分)1. 【解】 设 A=原发信息是 A，则=原发信息是 BC=收到信息是 A，则 =收到信息是 B由贝叶斯公式，得 ()()()PCPA2/30.98.94212.【解】因 ,123P又 ,1231()00.EXPA2239P由联立解得 123.4,.,.53. 【解】(1) 110()()d()d,2EXxfx又1(),2XE故 1X所以 的矩估计量 21.(2) 似然函数.11() 0(1,2)()nniiii xnLfx其 他取对数 1lnl()ln(01;),d
8、,iiiiiLxin所以 的极大似然估计量为 1.lniiX五应用题1. 【解】令 1, ,0iiX若 第 个 产 品 是 合 格 品其 他 情 形 .而至少要生产 n 件，则 i=1,2,n,且X1，X 2， ，X n独立同分布，p=P Xi=1=0.8.现要求 n,使得 10.760.84.9niiP即 10.80.76.8.40.8 .9222niiXnPn由中心极限定理得 0.84.0.76.80.9,161nn整理得 查表.95,.4,n268.96, 故取 n=269.2. 【解】 0010/2.50.25:4.;:4.5,96,18.36()3.5,18/HnZxZ所以拒绝 H0
9、，认为总体平均值有显著性变化.2. 已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布N(4.55,0.1082).现在测了 5 炉铁水，其含碳量（%）分别为量（%）分别为4.28 4.40 4.42 4.35 4.37问若标准差不改变，总体平均值有无显著性变化（ =0.05）?概率论与数理统计试题（2）一、 判断题（每小题 3 分，本题共 15 分。正确打“” ，错误打“” ） 设 A、B 是 中的随机事件,必有 P(A-B)=P(A)-P(B) ( ) 设 A、B 是 中的随机事件,则 AB=AABB ( ) 若 X 服从二项分布 b(k;n,p), 则 EX=p ( ) 样本均值 = 是母
10、体均值 EX 的一致估计 （ ）n1iiX XN( , ) , YN( , ) ，则 XY N( 0, ) （ ） 21221二、 计算（10 分）（1）教室里有 个学生，求他们的生日都不相同的概率；r（2）房间里有四个人，求至少两个人的生日在同一个月的概率.三、 （10 分） 设 ，证明 、 互不相容与 、 相互独立不能同时()0,()PABABAB成立.四、 （15 分）某地抽样结果表明，考生的外语成绩 （百分制）近似服从正态分布，平均X成绩（即参数 之值）为 72 分，96 分以上的占考生总数的 2.3%，试求考生的外语成绩在 60 分至 84 分之间的概率。分布表如下x 0 1 1.5
11、 2 2.5 3(x) 0.5 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999五、 （15 分） 设 的概率密度为(,)XY(),0,.xyeYf其 他问 是否独立？,六、 （20 分）设随机变量服从几何分布，其分布列为，1()(kPXp0,1,2k求 与ED七、 （15 分）设总体 服从指数分布(),(;)0.xef其 他试利用样本 ，求参数 的极大似然估计.12,nX 概率论与数理统计试题（2）评分标准一 ； ； ； ； 。二 解 （1）设 他们的生日都不相同 ，则A-5 分365()rP（2）设 至少有两个人的生日在同一个月 ，则B；2123214414() 96CCP或-1
12、0 分412()1()PB三 证 若 、 互不相容，则 ，于是AAB()0()0PABPB所以 、 不相互独立.-5 分若 、 相互独立，则 ，于是 ，()即 、 不是互不相容的.-5 分B四 解 -3 分967240.23()1()1()PX-7 分44.7,.所求概率为-12 分82607212(60)()()()PX=2（1）-1=20.841-1=0.682-15 分五 解 边际密度为-5 分0,0,0,()(,) .,;X xxyfxfydeed -10 分0,().Yyfe因为 ，所以 独立.-15 分,()XYxf,XY六 解 1 -8 分111 1()kkkkk xqxqEpqpp其中 q由函数的幂级数展开有，01kx所以-12 分21.1()xqxqEXppp因为-16 分221 211()(1)kkxqxqkp 2p所以-20 分222().DXEp七 解 1()11,; ,12,.niinxxn iiLe n -8 分1lii0d由极大似然估计的定义， 的极大似然估计为 -15 分(1)x
