1、Doc521 资料分享网(D) 资料分享我做主！Doc521 资料分享网(D) 资料分享我做主！数学高考综合能力题选讲 18直线与二次曲线100080 北京中国人民大学附中 梁丽平题型预测直线与圆锥曲线的位置关系，是高考考查的重中之重主要涉及弦长、弦中点、对称、参量的取值范围、求曲线方程等问题解题中要充分重视韦达定理和判别式的应用解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”范例选讲例 1已知双曲线 G 的中心在原点，它的渐近线与圆 相2102xy切过点 作斜率为 的直线 ，使得 和 交于 两点，和 轴交于4,0P14llG,AB点 ，并且点 在线段
2、 上，又满足 CAB2PAC（）求双曲线 的渐近线的方程；（）求双曲线 的方程；G（）椭圆 的中心在原点，它的短轴是 的实轴如果 中垂直于 的平S Sl行弦的中点的轨迹恰好是 的渐近线截在 内的部分，求椭圆 的方程S讲解：（）设双曲线 的渐近线的方程为： ，则由渐近线与圆ykx相切可得： 2102xy251k所以， k双曲线 的渐近线的方程为： G2yx（）由（）可设双曲线 的方程为： G24ym把直线 的方程 代入双曲线方程，整理l14yx得 238640xmDoc521 资料分享网(D) 资料分享我做主！Doc521 资料分享网(D) 资料分享我做主！则 （）8164, 33ABABmxx
3、 ， 共线且 在线段 上，2PC,PPAB ，2ABCxxx即： ，整理得：416A4320ABAxx将（）代入上式可解得： 8m所以，双曲线的方程为 27xy（）由题可设椭圆 的方程为： 下面我们来求出S21278xya中垂直于 的平行弦中点的轨迹Sl设弦的两个端点分别为 ， 的中点为 ，则12,MxyNM0,Pxy128axy两式作差得： 1212121208xa由于 ，124yx120120,xy所以， ，028a所以，垂直于 的平行弦中点的轨迹为直线 截在椭圆 S 内的部l 2408xya分又由题，这个轨迹恰好是 的渐近线截在 内的部分，所以， 所GS21a以， ，椭圆 S 的方程为：
4、 256a21856xy点评：解决直线与圆锥曲线的问题时，把直线投影到坐标轴上（也即化线段的关系为横坐标（或纵坐标）之间的关系）是常用的简化问题的手段；有关Doc521 资料分享网(D) 资料分享我做主！Doc521 资料分享网(D) 资料分享我做主！弦中点的问题，常常用到“设而不求”的方法；判别式和韦达定理是解决直线与圆锥曲线问题的常用工具）例 2设抛物线过定点 ，且以直线 为准线1,0A1x（）求抛物线顶点的轨迹 的方程；C（）若直线 与轨迹 交于不同的两点 ，且线段 恰被直线l ,MN平分，设弦 MN 的垂直平分线的方程为 ，试求 的取值范12x ykxm围讲解：（）设抛物线的顶点为 ，
5、则其焦点为 由抛物,Gx21,Fy线的定义可知： 12AF点 到 直 线 的 距 离 所以， 24xy所以，抛物线顶点 的轨迹 的方程为： GC214yxx（）因为 是弦 MN 的垂直平分线与 y 轴交点的纵坐标，由 MN 所唯一m确定所以，要求 的取值范围，还应该从直线 与轨迹 相交入手lC显然，直线 与坐标轴不可能平行，所以，设直线 的方程为 ，l 1:lyxbk代入椭圆方程得： 224140kbxk由于 与轨迹 交于不同的两点 ，所以，lC,MN，即2224140bkb（）21 0kk又线段 恰被直线 平分，所以， MNx2124MNbkx所以， 241kb代入（）可解得： 3 02kk
6、Doc521 资料分享网(D) 资料分享我做主！Doc521 资料分享网(D) 资料分享我做主！下面，只需找到 与 的关系，即可求出 的取值范围由于 为mkmykxm弦 MN 的垂直平分线，故可考虑弦 MN 的中点 01,2Py在 中，令 ，可解得：1:lyxbk12x2042k将点 代入 ，可得： 1,Pkyxm32k所以， 3304且从以上解题过程来看，求 的取值范围，主要有两个关键步骤：一是寻求与其它参数之间的关系，二是构造一个有关参量的不等式从这两点出发，m我们可以得到下面的另一种解法：解法二设弦 MN 的中点为 ，则由点 为椭圆上的点，可知：01,2Py,MN244MNxy两式相减得
7、： 4 0MNNMNx y又由于 ，代入上01 12, 2, Myxk 式得： 0yk又点 在弦 MN 的垂直平分线上，01,2P所以， 0ykm所以， 001324y由点 在线段 BB上（B、B 为直0,Py BBDoc521 资料分享网(D) 资料分享我做主！Doc521 资料分享网(D) 资料分享我做主！线 与椭圆的交点，如图），所以， 12x0BBy也即： 03y所以， 04m且点评：解决直线和圆锥曲线的位置关系问题时，对于消元后的一元二次方程，必须讨论二次项系数和判别式，有时借助图形的几何性质更为方便涉及弦中点问题，利用韦达定理或运用平方差法时（设而不求），必须以直线与圆锥曲线相交为
8、前提，否则不宜用此法从构造不等式的角度来说，“将直线 的方程与椭圆方程联立所得判别式大l于 0”与“弦 MN 的中点 在椭圆内”是等价的01,2Py高考真题1（1991 年全国高考）双曲线的中心在坐标原点 O，焦点在 x 轴上，过双曲线右焦点且斜率为 的直线交双曲线于 P、Q 两点若 ，且35 PQ，求双曲线的方程4PQ2（1994 年全国高考）已知直线 l 过坐标原点，抛物线 C 顶点在原点，焦点在 x 轴正半轴上.若点 A(-1,0)和点 B(0,8)关于 l 的对称点都在 C 上，求直线 l和抛物线 C 的方程3（1996 年全国高考）已知 ll,l2 是过点 P( )的两条互相垂直的直线,20且 ll,l2 与双曲线 y2x2=1 各有两个交点,分别为 A1,B1 和 A2,B2.(I) 求 l1 的斜率 k1 的取值范围 ;(II)若|A 1B1| |A2B2|,求 ll,l2 的方程.5答案与提示：1.略； 2 ； 3(I )25145 yxyx； (II) 33,1,1,3 12:2lyxDoc521 资料分享网(D) 资料分享我做主！Doc521 资料分享网(D) 资料分享我做主！12:2lyx或
