1、13. （2011 江苏连云港，25，10 分）如图，抛物线 与 x 轴交于 A，B 两点，21yxa与 y 轴交于点 C，其顶点在直线 y=2x 上.(1)求 a 的值；(2)求 A,B 两点的坐标;(3)以 AC,CB 为一组邻边作 ABCD,则点 D 关于 x 轴的对称点 D是否在该抛物线上?请说明理由.考点：二次函数综合题。分析：（1）根据二次函数的顶点坐标的求法得出顶点坐标，再代入一次函数即可求出 a 的值；（2）根据二次函数解析式求出与 x 轴的交点坐标即是 A，B 两点的坐标；（3）根据平行四边形的性质得出 D 点的坐标，即可得出 D点的坐标，即可得出答案解答：解：（1）抛物线
2、y=x2x+a 其顶点在直线 y=2x 上抛物线 y=x2x+a=（x 22x）+a=（x1） 2+a，顶点坐标为：（1， +a） ，y=2x，+a= 2， a=；（2）二次函数解析式为：y=x 2x，抛物线 y=x2x与 x 轴交于点 A，B，0=x 2x，整理得：x 22x3=0，解得：x=1 或 3， A（1， 0） ，B（3，0） ；（3）作出平行四边形 ACBD，作 DEAB，二次函数解析式为：y= x2x，图象与 y 轴交点坐标为：（0，） ，CO=，DE=，CAO=DBE，DEB=AOC，AOC BDE，AO=1，BE=1， D 点的坐标为：（2， ） ，点 D 关于 x 轴的对
3、称点 D坐标为：（2，） ，代入解析式 y=x2x，左边= ，右边= 42=，D点在函数图象上（2011 江苏苏州，29，10 分）巳知二次函数 y=a（x2-6x+8） （a0）的图象与 x 轴分别交于点 A、B，与 y 轴交于点 C点 D 是抛物线的顶点（1）如图连接 AC，将OAC 沿直线 AC 翻折，若点 O 的对应点 0恰好落在该抛物线2的 对称轴上，求实数 a 的值；（2）如图，在正方形 EFGH 中，点 E、F 的坐标分别是（4，4） 、 （4，3） ，边 HG 位于边 EF 的 右侧小林同学经过探索后发现了一个正确的命题：“若点 P 是边 EH 或边 HG 上的任意一点，则四条
4、线段 PA、PB、PC、PD 不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段不能构成平行四边形） “若点 P 是边 EF 或边 FG 上的任意一点，刚才的结论是否也成立？请你积极探索，并写出探索过程；（3）如图，当点 P 在抛物线对称轴上时，设点 P 的纵坐标 l 是大于 3 的常数，试问：是否存在一个正数阿 a，使得四条线段 PA、PB、PC、PD 与一个平行四边形的四条边对应相等 （即这四条线段能构成平行四边形）？请说明理由考点： 二次函数综合题分析： （1）本题需先求出抛物线与 x 轴交点坐标和对称轴，再根据OAC=60得出 AO，从而求出 a（2）本题需先分两种情况进行讨论，当
5、 P 是 EF 上任意一点时，可得 PCPB，从而得出PBPA，PBPC，PBPD，即可求出线段 PA、PB、PC、PD 不能构成平行四边形（3）本题需先得出 PA=PB，再由 PC=PD，列出关于 t 与 a 的方程，从而得出 a 的值，即可求出答案解答： 解：（1）令 y0，由 解得 ；2(68)0ax12,4x令 x0，解得 y8a点 A、 B、C 的坐标分别是(2，0) 、(4，0)、(0 ，8a)，该抛物线对称轴为直线 x3OA2 如图，时抛物线与 x 轴交点为 M，则 AM1由题意得： 2O ，OAM60A ，即 32C823a4（2）若点 P 是边 EF 或边 FG 上的任意一点
6、，结论同样成立（）如图，设点 P 是边 EF 上的任意一点 (不与点 E 重合)，连接 PM点 E(4，4) 、F(4，3)与点 B(4，0)在一直线上，点 C 在 y 轴上，BAyO(图)xDC EF GHM3PBPB又 PDPMPB，PAPMPB，PBPA，PBPC，PBPD此时线段 PA、PB、PC、PD 不能构成平行四边形（）设 P 是边 FG 上的任意一点( 不与点 G 重合) ，点 F 的坐标是(4，3)，点 G 的坐标是(5，3)FB 3， ，3PBPB（3）存在一个正数 a，使得线段 PA、PB、PC 能构成一个平行四边形如图，点 A、B 时抛物线与 x 轴交点，点 P 在抛物
7、线对称轴上，PAPB当 PCPD 时，线段 PA、PB、PC 能构成一个平行四边形点 C 的坐标是(0，8a)，点 D 的坐标是(3，a)点 P 的坐标是(3，t)，PC2 32(t8a) 2，PD2 (ta) 2整理得 7a22ta 10，4t228t 是一个常数且 t3，4t2280方程 7a22ta 10 有两个不相等的实数根 224871tta显然 ，满足题意27ta当 t 是一个大于 3 的常数 ,存在一个正数 ，使得线段 PA、PB 、PC 能27ta构成一个平行四边形点评： 本题主要考查了二次函数的综合问题，在解题时要注意运用数形结合和分类讨论，把二次函数的图象与性质和平行四边形
8、的判定相结合是本题的关键5. （2011 江苏宿迁，27，12）如图，在边长为 2 的正方形 ABCD 中，P 为 AB 的中点，Q为边 CD 上一动点，设 DQ=t（0t2 ） ，线段 PQ 的垂直平分线分别交边 AD、BC 于点M、N，过 Q 作 QEAB 于点 E，过 M 作 MFBC 于点 F（1）当 t1时，求证：PEQNFM；（2）顺次连接 P、M 、Q、N ，设四边形 PMQN 的面积为 S，求出 S 与自变量 t 之间的函数关系式，并求 S 的最小值考点：正方形的性质；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性BAyO(图)xDC EF GHP4质；勾股定理。专
9、题：代数几何综合题。分析：（1）由四边形 ABCD 是正方形得到A= B=D=90，AD=AB，又由EQP=FMN，而证得；（2）由点 P 是边 AB 的中点，AB=2 ，DQ=AE=t ，又由勾股定理求得 PQ，由 PEQNFM 得到 PQ 的值，又 PQMN 求得面积 S，由 t 范围得到 S 的最小值解答：证明：（1）四边形 ABCD 是正方形，A=B=D=90，AD=AB ，QEAB，MF BC，AEQ=MFB=90，四边形 ABFM、AEQD 都是矩形，MF=AB，QE=AD，MF QE，又 PQMN，EQP=FMN，又QEP=MFN=90，PEQNFM；（2）点 P 是边 AB 的
10、中点，AB2，DQ AEtPA1，PE1t，QE2由勾股定理，得 PQ 2PEQ4)1(2tPEQNFMMNPQ 4)1(2t又PQMNS t2tMNP2)(2t150t2当 t1 时，S 最小值 2综上：S t2t ，S 的最小值为 25点评：本题考查了正方形的性质， （1）由四边形 ABCD 是正方形得到A= B=D=90，AD=AB，又由 EQP=FMN，而证得；（2）由勾股定理求得 PQ，由 PEQNFM 得到PQ 的值，又 PQMN 求得面积 S，由 t 范围得到答案6.（2011 江苏徐州， 28，12）如图，已知二次函数 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A，B 两点，与
11、 y 轴交于点 P，顶点为 C（1，2） （1）求此函数的关系式；（2）作点 C 关于 x 轴的对称点 D，顺次连接 A，C ，B，D若在抛物线上存在点 E，使直线 PE 将四边形 ABCD 分成面积相等的两个四边形，求点 E 的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点 F，使得PEF 是以 P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点 F 的坐标及PEF 的面积；若不存在，请说明理由5考点：二次函数综合题。专题：代数几何综合题。分析：（1）将顶点坐标 C（ 1， 2）代入 y=x2+bx+c 即可求得此二次函数的关系式；（2）先求出直线 PM 的解析式，然后与二次函数联立即可解得点
12、E 的坐标；（3）根据三角形相似的性质先求出 GP=GF，求出 F 点的坐标，进而求得 PEF 的面积解答：解（1）y=x 2+bx+c 的顶点为（1， 2） y=（x 1） 22， y=x22x1；（2）连结 CD 交 AB 于点 M，根据轴对称性可知 MA=MB,MC=MD,ABCD,所以四边形 ACBD 是菱形，过点 M 的任意一条直线都把菱形 ACBD 的面积平分，所以直线 PM 平分菱形 ACBD 的面积因为 y= 与 y 相交于点 P（0,1）, 顶点为点 C（1，2）2x1所以点 M 的坐标为（1，0）设直线 PM 的解析式为 y=kx+b则 ，解之得=bkk=b1所以直线 PM
13、 的解析式为 y=x1解方程组 ，得 或2yx.=0y=326所以点 E 的坐标为（3，2）.（3）过点 P 作直线 PQPM,则直线 PQ 的表达式为 y=x1解方程组 ，得 或2y=x1.x=0y12所以直线 PQ 与抛物线的交点 F 是抛物线的顶点 C（1，2）.所以 PE= ,PC=22(30)()32(0)()所以PEF 的面积为 1=6点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及的到的知识点有抛物线的公式的求法及三角形的相似等知识点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合等数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题7. （2011 南昌，25，10 分）如图所示，抛物线 m：y=a
14、x 2+b（a0，b0）与 x 轴于点A、B （点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C将抛物线 m 绕点 B 旋转 180，得到新的抛物线 n，它的顶点为 C1，与 x 轴的另一个交点为 A1（1）当 a=1，b=1 时，求抛物线 n 的解析式；（2）四边形 AC1A1C 是什么特殊四边形，请写出结果并说明理由；（3）若四边形 AC1A1C 为矩形，请求出 a，b 应满足的关系式考点：二次函数综合题专题：代数几何综合题分析：（1）根据 a=1，b=1 得出抛物线 m 的解析式，再利用 C 与 C1 关于点 B 中心对称，得出二次函数的顶点坐标，即可得出答案；（2）利用两组对边分别相
15、等的四边形是平行四边形即可证明；（3）利用矩形性质得出要使平行四边形 AC1A1C 是矩形，必须满足 AB=BC，即可求出解答：解：（1）当 a=1，b=1 时，抛物线 m 的解析式为：y=x 2+17令 x=0，得：y =1C（0， 1） 令 y=0，得：x=1A（1，0） ，B（1，0） ，C 与 C1 关于点 B 中心对称，抛物线 n 的解析式为： y=（x 2） 21= x24x+3；（2）四边形 AC1A1C 是平行四边形理由：C 与 C1、A 与 A1 都关于点 B 中心对称，AB= BA1，BC =BC1，四边形 AC1A1C是平行四边形（3）令 x=0，得：y =bC（0，b）
16、 令 y=0，得：ax 2+b=0， ，aby，aA， ， .要使平行四边形 AC1A1C0，bBab2abOBCB22是矩形，必须满足AB=BC， ， ，ab3a、b 应满足关系式b2ab24ab3点评：此题主要考查了平行四边形的性质以及矩形的性质和点的坐标关于一点中心对称的性质，灵活应用平行四边形的性质是解决问题的关键18. （2011 新疆建设兵团，24，10 分）如图，在等腰梯形 ABCD 中，AD4，BC9， B45动点 P 从点 B 出发沿 BC 向点 C 运动，动点 Q 同时以相同速度从点 C 出发沿 CD 向点 D 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动（1）求
17、 AB 的长；（2）设 BPx，问当 x 为何值时 PCQ 的面积最大，并求出最大值；（3）探究：在 AB 边上是否存在点 M，使得四边形 PCQM 为菱形？请说明理由考点：等腰梯形的性质；二次函数的最值；菱形的性质；解直角三角形分析：（1）作 AEBC，根据题意可知 BE 的长度，然后，根据B 的正弦值，即可推出8AB 的长度；（2）作 QFBC，根据题意推出 BPCQ，推出 CP 关于 x 的表达式，然后，根据C 的正弦值推出高 QF 关于 x 的表达式，即可推出面积关于 x 的二次函数式，最后根据二次函数的最值即可推出 x 的值；（3）首先假设存在 M 点，然后根据菱形的性质推出， BA
18、PBBAP45，这是不符合三角形内角和定理的，所以假设是错误的，故 AB 上不存在 M 点解答：解：（1）作 AEBC，等腰梯形 ABCD 中，AD4，BC 9，BE（BCAD）22.5，B45，AB ，（2）作 QFBC，等腰梯形 ABCD，BC45，点 P 和点 Q 的运动速度、运动时间相同， BPx，BPCQx，BC9，CP9 x，QF x，设PQC 的面积为 y，y（9 x） x ，12即 y x x，当 x 时，y 的值最大，b2a 92当 x 时，PQC 的面积最大，92（3）假设 AB 上存在点 M，使得四边形 PCQM 为菱形，等腰梯形 ABCD，B C45，CQCPBPMP
19、， BC MPB45，BMP45 ，BAPB BMP45，不符合三角形内角和定理，假设不存在，边 AB 上不存在点 M，使得四边形 PCQM 为菱形9点评：本题主要考查等腰梯形的性质、解直角三角形、二次函数的最值、内角和定理、菱形的性质，关键在于根据图形画出相应的辅助线，熟练掌握相关的性质定理即可21. （2011 重庆市，26，12 分）如图,在平面直角坐标系中，ABC 是直角三角形,ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4，抛物线 经过 A，B 两点，抛物线的顶点为 D2yxbc（1）求 b,c 的值；（2）点 E 是直角三角形 ABC 斜边 AB 上一动点(点 A、B 除外)，过点
20、E 作 x 轴的垂线交抛物线于点 F，当线段 EF 的长度最大时，求点 E 的坐标；（3）在（2）的条件下：求以点、为顶点的四边形的面积；在抛物线上是否存在一点 P，使EFP 是以 EF 为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点 P的坐标；若不存在，说明理由.考点：二次函数综合题分析：（1）由ACB=90，AC=BC，OA=1，OC=4，可得 A（-1，0）B（4，5） ，然后利用待定系数法即可求得 b，c 的值；（2）由直线 AB 经过点 A（-1，0） ，B（4，5） ，即可求得直线 AB 的解析式，又由二次函数y=x2-2x-3，设点 E（t，t+1） ，则可得点 F 的坐标，则可求得
21、 EF 的最大值，求得点 E 的坐标；（3）顺次连接点 E、B、F、D 得四边形 EBFD，可求出点 F 的坐标（ ， ） ，点 D的坐标为（1，-4）由 S 四边形 EBFD=SBEF+ SDEF 即可求得；AOCBDxy26题 备 用 图AOCBDxy26题 图10过点 E 作 aEF 交抛物线于点 P，设点 P（m，m 2-2m-3） ，可得 m2-2m-2= ，即可求得点P 的坐标，又由过点 F 作 bEF 交抛物线于 P3，设 P3（n，n 2-2n-3） ，可得 n2-2n-2=- ，求得点 P 的坐标，则可得使EFP 是以 EF 为直角边的直角三角形的 P 的坐标答案：26. 解
22、：（1）由已知得：A（-1，0） B（4，5）-1 分二次函数 的图像经过点 A（-1，0）B(4,5)2yxbc 6c解得：b=-2 c=-3 （2 如题图：直线 AB 经过点 A（-1，0） B(4,5)直线 AB 的 解析式为：y=x+1二次函数 23yx设点 E(t， t+1),则 F（ t， ）23tEF= 2(1)= 54t当 时，EF 的最大值=32点 E 的坐标为（ ， ） 2（3）如题图：顺次连接点 E、B、F、D 得四边形 可求出点 F 的坐标（ ， ）,点 D 的坐标为（1，-4） 354S = S + SEBD四 边 行 BEFAEFA= 12512()()4= 78如
23、题备用图：) 过点 E 作 aEF 交抛物线于点 P,设点 P(m, )23则有： 解得: , 253m126m 26 , 16()p 265(,)p）过点 F 作 b EF 交抛物线于 ，设 （n， ）3P2311则有： 解得： ， （与点 F 重合，舍去）21543n12n33P1（ ， ）综上所述：所有点 P 的坐标： ， （ . 能1265(,)p 265(,)p3P1524（ ， ）使EFP 组成以 EF 为直角边的直角三角形 点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，四边形与三角形面积问题以及直角三角形的性质等知识此题综合性很强，解题的关键是注意方程思想与数形结合思想的应用26
24、. （2011广东汕头）如图，抛物线 y=x2+x+1 与 y 轴交于 A 点，过点 A 的直线与抛物线交于另一点 B，过点 B 作 BCx 轴，垂足为点 C（3，0）（1）求直线 AB 的函数关系式；（2）动点 P 在线段 OC 上从原点出发以每秒一个单位的速度向 C 移动，过点 P 作 PNx轴，交直线 AB 于点 M，交抛物线于点 N设点 P 移动的时间为 t 秒，MN 的长度为 s 个单位，求 s 与 t 的函数关系式，并写出 t 的取值范围；（3）设在（2）的条件下（不考虑点 P 与点 O，点 C 重合的情况） ，连接 CM，BN，当 t为何值时，四边形 BCMN 为平行四边形？问对
25、于所求的 t 值，平行四边形 BCMN 是否菱形？请说明理由考点：二次函数综合题。分析：（1）由题意易求得 A 与 B 的坐标，然后有待定系数法，即可求得直线 AB 的函数关系式；（2）由 s=MN=NPMP，即可得 s=t2+t+1（t+1） ，化简即可求得答案；12（3）若四边形 BCMN 为平行四边形，则有 MN=BC，即可得方程：t 2+t=，解方程即可求得 t 的值，再分别分析 t 取何值时四边形 BCMN 为菱形即可解答：解：（1）当 x=0 时， y=1，A（ 0， 1） ，当 x=3 时，y=3 2+3+1=2.5，B（3，2.5） ，设直线 AB 的解析式为 y=kx+b，则
26、：，解得：，直线 AB 的解析式为 y=x+1；（2）根据题意得：s=MN=NPMP=t 2+t+1（t+1 ）= t2+t（0t3） ；（3）若四边形 BCMN 为平行四边形，则有 MN=BC，此时，有t 2+t=，解得 t1=1，t 2=2，当 t=1 或 2 时，四边形 BCMN 为平行四边形当 t=1 时，MP=，NP=4，故 MN=NPMP=，又在 RtMPC 中，MC=，故 MN=MC，此时四边形 BCMN 为菱形，当 t=2 时，MP=2，NP=，故 MN=NPMP=，又在 RtMPC 中，MC=，故 MNMC，此时四边形 BCMN 不是菱形点评：此题考查了待定系数法求函数的解析
27、式，线段的长与函数关系式之间的关系，平行四边形以及菱形的性质与判定等知识此题综合性很强，难度较大，解题的关键是数形结合思想的应用29. （ 2011柳州）如图，一次函数 y=4x4 的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A、C 两点，抛物线 y=x2+bx+c 的图象经过 A、C 两点，且与 x 轴交于点 B（1）求抛物线的函数表达式；（2）设抛物线的顶点为 D，求四边形 ABDC 的面积；（3）作直线 MN 平行于 x 轴，分别交线段 AC、BC 于点 M、N问在 x 轴上是否存在点P，使得PMN 是等腰直角三角形？如果存在，求出所有满足条件的 P 点的坐标；如果不存在，请说明理由13考点：二次
28、函数综合题。专题：综合题。分析：（1）求出 A 和 C 点的坐标，并将其代入抛物线的解析式，即可求出；（2）S 四边形 ABDC=SEDBSECA，通过求 D、B 和 E 点的坐标，根据三角形的面积公式，求出 SEDB 和 SECA（3）分三种情况进行讨论：PMN=90， PNM=90，MPN=90解答：解：（1）一次函数 y=4x4 的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A、C 两点，A （ 1，0）C （0，4） ，把 A （1，0）C （0，4）代入 y=x2+bx+c 得，解得，y=x2x4；（2）y=x 2x4=（ x1） 2，顶点为 D（1， ） ，设直线 DC 交 x 轴于点 E，由
29、 D（1，）C （0，4） ，易求直线 CD 的解析式为 y=x4，易求 E（ 3，0） ，B（3，0） ，SEDB=6=16，SECA=24=4，S 四边形 ABDC=SEDBSECA=12；（3）设 M、N 的纵坐标为 a，由 B 和 C 点的坐标可知 BC 所在直线的解析式为：y=，14则 M（，a） ，N （，a） ，当PMN=90，MN=a+4 ，PM= a，因为是等腰直角三角形，则 a=a+4 则 a=2 则 P 的横坐标为，即 P 点坐标为（ ，0） ；当PNM=90，PN=MN，同上，a= 2，则 P 的横坐标为 =，即 P 点坐标为（，0） ；当MPN=90，作 MN 的中点
30、 Q，连接 PQ，则 PQ=a，又 PM=PN，PQMN ，则 MN=2PQ，即：a+4=2a，解得：a= ，点 P 的横坐标为：= =，即 P 点的坐标为（，0） 点评：本题考查了二次函数的综合应用，难度较大，这就需要二次函数各部分知识的熟练掌握，以便灵活运用34. （2011西宁）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板 ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点 C 为（ 1，0） 如图所示，B 点在抛物线 y=x2+x2 图象上，过点 B作 BDx 轴，垂足为 D，且 B 点横坐标为 3（1）求证：BDC COA；（2）求 BC 所在直线的函数关系式；（3）抛物线的对称轴上是否存在点
31、 P，使ACP 是以 AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由15考点：二次函数综合题。分析：（1）首先根据题意推出BCD=OAC，然后 BC=AC，根据全等三角形的判定定理“AAS”定理，即可判定 BDCCOA；（2）首先（1）所得的结论，即可推出 OC=BD=1，即可得 B 点的纵坐标，设出直线的函数关系式，把 B，C 两点的坐标代入，求出 k、b，即可推出结论；（3）首先根据二次函数表达式，求出抛物线的对称轴，然后分情况进行分析以 AC 为直角边，A 点为直角顶点，根据题意推出 P1 点为 BC 与抛物线的对称轴的交点，根据直线BC 的解析式和抛物
32、线的解析式，即可推出 P1 点的坐标， 以 AC 为直角边，C 点为直角顶点，做 AP2BC，设与抛物线的对称轴交于 P2 点，确定点 P2 的位置，由 OA=CD，即可推出 A 点的坐标，根据 AP2BC，即可推出直线 AP2 的的解析式，结合抛物线对称轴的解析式，即可推出 P2 的坐标解答：解：（1）证明：ACBBC，BDCD，BCD=ACO=90，ACO+OAC=90，BCD=OAC，ABC 为等腰直角三角形，BC=AC，在 BDC 和COA 中BDCCOA（AAS） ，（2）BDCCOA，BD=CO，C 点的坐标为（1，0） ，BD=OC=1，B 点的纵坐标为 1，B 点的横坐标为3，
33、16B 点的坐标为（3，1） ，设 BC 所在直线的函数关系式为 y=kx+b，解方程组得，直线 BC 所在直线的解析式为：y=x ，（3）存在，抛物线的解析式为：y= x2+x2，y=x2+x2=（x+ ） 2，二次函数的对称轴为 x=，若以 AC 为直角边，C 点为直角顶点，做 CP1AC，BCAC，P1 点为直线 BC 与对称轴直线 x=的交点，直线 BC 所在直线的解析式为：y=x ，解得 ，P1 点的坐标为（， ） ；若以 AC 为直角边，A 点为直角顶点，对称轴上有一点 P2，使 AP2AC，过点 A 作 AP2BC，交对称轴直线 x=于点 P2，OB=3，OC=1，OA=CD=2
34、，A 点的坐标为（0，2） ，直线 AP2 的解析式为 y=x+2，解得：，P2 点的坐标为（， ） ，P 点的坐标为 P1（ ，） 、P 2（，） 17点评：本题主要考查全等三角形的判定与性质，待定系数法求出抛物线的解析式，根据解析式求点的坐标，关键在于（1）推出BCD=OAC， （2）根据（1）的结论，推出 B 点的坐标， （3）注意分情况讨论，若以 AC 为直角边，C 点为直角顶点，推出 P1 点为直线BC 与对称轴直线 x=的交点，若以 AC 为直角边，A 点为直角顶点，由 A 点的坐标，求出直线 AP2 的解析式37.（2011 四川眉山，26，11 分）如图，在直角坐标系中，已知点
35、 A（0，1） ，B（4，4） ，将点 B 绕点 A 顺时针方向 90得到点 C；顶点在坐标原点的拋物线经过点 B（1）求抛物线的解析式和点 C 的坐标；（2）抛物线上一动点 P，设点 P 到 x 轴的距离为 d1，点 P 到点 A 的距离为 d2，试说明d2=d1+1；（3）在（2）的条件下，请探究当点 P 位于何处时，PAC 的周长有最小值，并求出PAC 的周长的最小值考点：二次函数综合题。专题：综合题。分析：（1）设抛物线的解析式：y=ax 2，把 B（ 4，4）代入即可得到 a 的值；过点 B 作BEy 轴于 E，过点 C 作 CDy 轴于 D，易证 RtBAERtACD，得到AD=B
36、E=4，CD=AE=OEOA=41=3，即可得到 C 点坐标（3，5） ；（2）设 P 点坐标为（a，b） ，过 P 作 PFy 轴于 F，PHx 轴于 H，则有 d1=a2，又AF=OFOA=PHOA=d11=a21，PF=a，在 RtPAF 中，利用勾股定理得到 PA=d2=a2+1，即有结论 d2=d1+1；（3）PAC 的周长=PC+PA+5，由（2）得到 PAC 的周长=PC+PH+6，要使 PC+PH 最小，18则 C、P 、H 三点共线， P 点坐标为（ 3， ） ，此时 PC+PH=5，得到PAC 的周长的最小值=5+6=11解答：解：（1）设抛物线的解析式：y=ax 2，拋物
37、线经过点 B（4，4） ，4=a42，解得 a=，所以抛物线的解析式为：y=x 2；过点 B 作 BEy 轴于 E，过点 C 作 CDy 轴于 D，如图，点 B 绕点 A 顺时针方向 90得到点 C，RtBAERtACD，AD=BE=4，CD=AE=OE OA=41=3，OD=AD+OA=5，C 点坐标为（3，5） ；（2）设 P 点坐标为（a，b） ，过 P 作 PFy 轴于 F，PHx 轴于 H，如图，点 P 在抛物线 y=x2 上，b=a2，d1=a2，AF=OFOA=PHOA=d11=a21，PF=a，在 RtPAF 中，PA=d 2= =a2+1，22)41(aPFAd2=d1+1；
38、（3）由（1）得 AC=5，PAC 的周长=PC+PA+5=PC+PH+6，要使 PC+PH 最小，则 C、P、H 三点共线，此时 P 点的横坐标为 3，把 x=3 代入 y=x2，得到 y=，即 P 点坐标为（3， ） ，此时 PC+PH=5，PAC 的周长的最小值=5+6=1139 （2011 成都，28，12 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中， ABC 的 A、B 两个顶点在 x 轴上，顶点 C 在 y 轴的负半轴上已知|OA|：|OB|1：5，|OB| OC|，ABC 的面积19SABC 15，抛物线 yax 2bxc （a0）经过 A、B、C 三点（1）求此抛物线的函数表达式；
39、（2）设 E 是 y 轴右侧抛物线上异于点 B 的一个动点，过点 E 作 x 轴的平行线交抛物线于另一点 F，过点 F 作 FG 垂直于 x 轴于点 G，再过点 E 作 EH 垂直于 x 轴于点 H，得到矩形 EFGH则在点 E 的运动过程中，当矩形 EFGH 为正方形时，求出该正方形的边长；（3）在抛物线上是否存在异于 B、C 的点 M，使 MBC 中 BC 边上的高为？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题。专题：综合题。分析：（1） 由已知设 OAm ，则 OBOC5m，AB6m，由 SABCABOC15，可求 m 的值，确定 A、B、C 三点坐标，由 A、
40、B 两点坐标设抛物线交点式，将 C 点坐标代入即可；（2）设 E 点坐标为（m，m 24m5） ，抛物线对称轴为 x2，根据 2（m2）EH，列方程求解；（3）存在，因为 OBOC 5，OBC 为等腰直角三角形，直线 BC 解析式为 yx5，则直线 yx9 或直线 yx19 与 BC 的距离为 7，将直线解析式与抛物线解析式联立，求M 点的坐标即可解答：解：（1）| OA|：|OB|1：5，| OB|OC|，设 OAm，则 OBOC5m，AB6m ，由 SABCAB OC15，得6m 5m15，解得 m1（舍去负值） ，A（1，0） ，B（5，0） ，C（0，5） ，设抛物线解析式为 ya（x
41、 1） （x 5） ，将 C 点坐标代入，得 a1，抛物线解析式为 y（x 1 ） （x 5） ，即 yx 24x 5；（2）设 E 点坐标为（m，m 24m5） ，抛物线对称轴为 x2，由 2（m2）EH，得 2（m2）（m 24m 5）或 2（m 2）m 24m5，解得 m1或 m3，m 2， m1 或 m3，边长 EF2（m 2）22 或 22；20（3）存在由（1）可知 OBOC5，OBC 为等腰直角三角形，直线 BC 解析式为 yx5，依题意，直线 yx 9 或直线 yx19 与 BC 的距离为 7 ，2联立 ， ，54254192解得 或 ，7yx16M 点的坐标为（2，7） ，
42、（ 7，16） 49. 2011 福建龙岩，24，13 分）如图，已知抛物线 与 x 轴相交于 A、B 两249yxbc点，其对称轴为直线 x=2，且与 x 轴交于点 D，AO =1（1）填空：b= c= ，点 B 的坐标为（ ， ）：（2）若线段 BC 的垂直平分线 EF 交 BC 于点 E，交 x 轴于点 F求 FC 的长；（3）探究：在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使P 与 x 轴、直线 BC 都相切？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由21考点：二次函数综合题；解二元一次方程组；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式；线段垂直平分线的性质；勾股定理.分析
43、：（1）根据对称轴和 OA=1 求出 A、B 的坐标，代入解析式求出 b、c 即可；（2）求出 C（2，4）求得 E 的坐标为（3.5，2）和直线 BC 的表达式为 ，设430yx直线 EF 的表达式为 y=kx+b，根据 EF 为 BC 的中垂线求出 和 推出直线 EF 的34k58表达式为 ，令 y=0，得 即可求出答案；3548x56x（3）作OBC 的平分线交 DC 于点 P，设 P（2，a） ，则 P 到 x 轴的距离等于 P 到直线 BC的距离（用到点到直线的距离公式）求出 a 即可解答：（1）解：抛物线 与 x 轴相交于 A、B 两点，其对称轴为直线249yxbcx=2，且与 x
44、 轴交于点 D，AO =1，A（ 1，0） ，B（5，0） ，代入解析式得： ，解得：b= ，c= ，28940c16920故答案为 ， ，5，01692（2）解：由（1）求得 ，2 241604()99yxxC（2，4）E 为 BC 的中点，由中点坐标公式求得 E 的坐标为（3.5，2） ，直线 BC 的表达式为 ，430yx整理得 4x+3y20=0设直线 EF 的表达式为 y=kx+b，EF 为 BC 的中垂线，EFBC ， ，34k把 E（3.5，2）代入求得 ，直线 EF 的表达式为 ，583548yx在 中，令 y=0，得 ，F （ ，0） ，3548yx6x5FC=FB= ，答：
45、FC 的长是 62（3）解：存在，作OBC 的平分线交 DC 于点 P，则 P 满足条件，设 P（2，a） ，则 P 到 x 轴的距离等于 P 到直线 BC 的距离（用到点到直线的距离公式） ，22 ，5|a|=|3a 12|，2430125a5a=3a12 或 5a=3a+12，解得 a=6 或 a= ，P（2，6）或 P（2， ） ，33答：在抛物线的对称轴上存在点 P，使P 与 x 轴、直线 BC 都相切，点 P 的坐标是（2，6 ） ， （2， ） 点评：本题主要考查对解二元一次方程组，二次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求二次函数的解析式，勾股定理，线段的垂直平分线定理等知识点的
46、理解和掌握，熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键53. （2011 广东省茂名， 25，8 分）如图，在平面直角坐标系 xoy 中，已知抛物线经过点A（0，4） ，B （1，0） ，C（5，0） ，抛物线对称轴 l 与 x 轴相交于点 M（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）设点 P 为抛物线（x 5）上的一点，若以 A、 O、 M、 P 为顶点的四边形四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点 P 的坐标；（3）连接 AC探索：在直线 AC 下方的抛物线上是否存在一点 N，使NAC 的面积最大？若存在，请你求出点 N 的坐标；若不存在，请你说明理由考点：二次函数综合题。分析：（1）抛物线经过点 A（0
