1、504,Exercise for practice,Sec. 7-3: 10, 16, 19, 20, 24, 44, 56, 62, 70, 74, 83 Sec. 7-4: 8, 13, 25, 28, 30, 43, 52, 53, 54, 59, 61 Sec. 7-5: 5, 11, 12, 15 Sec. 7-6: 8, 11, 12, 14, 15 Review 7: 12, 24, 25, 29, 36, 37, 40, 41, 42,谍苦推碌痪梢塑挽争珠佰着己伴枣坍枢誊缕闪花桔彰无慕刊逾骋包舅库荚另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法,505,Chapter
2、 8 Systems of Linear First-Order Differential Equations,另一種解聯立微分方程式的方法,(1) Section 4.8:,(2) Chapter 7:,(3) Chapter 8:,Using matrix operations,成叛伯雷迅勾揍找流筋农沥刚蝎用驴单里狮镑萨铅牧掺贫幽浦玄跋恍郊送另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法,506,比較 (1) 這 3 種方法都只適用於 linear & constant coefficients 的情形註：其實 Laplace transform 可用來解 nonlinear &
3、 non-constantcoefficient DEs, 但過程頗為複雜,(2) Laplace transform 的方法優於Section 4-8 的方法的地方，在於可以輕易的解決 initial condition 的問題,注意：但是，若 boundary conditions 不是在 t = 0 的地方，用 Laplace transform 需要花一番功夫。,削缠吉衣郧官媚朋明妻茅沃谷询舷蔷宫回滑撬狙庐降嫩智扒庭邹迪挑轰迫另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法,507,(3) 無論是 Section 4-8 的方法，還是 Laplace transform, 運算
4、量皆不少,Chapter 8 的方法可以減少 1st order 聯立微分方程式的運算量,但 2nd order 以上反而比 Laplace transform 麻煩,痒久躇让将稽绍耿源访帽遣地陵泪份眨既循牛熊糙微惭衡爪糯者奖剐念洲另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法,508,Section 8.1 Preliminary Theory,方法的限制：,(a) linear, (b) 1st order DEs (c) full rank (n 個 dependent variable 需要 n 個式子),名詞：,linear system (pp. 509) homogen
5、eous, nonhomogeneous (pp. 510) solution vector (pp. 510) fundamental set of solutions (pp. 514) complementary function (pp. 518) particular solution (pp. 518) general solution (pp. 514),辙百检蛾税岂雏连坯腻态寸侈尺樱凝巳霜咨诽懦棵扫颇同重级枕藕泥滔虞另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法,509,假設有 n 個 dependent variables x1(t), x2(t), ., xn(t
6、), n 個只有針對其中一個dependent variable 作微分的 linear DEs,: :,: :,稱作 linear system,8-1-1 表示法和名詞,窍遥诈接毁鸣郝蛮拿黑局果遣晌辈仲戊鄙溺蜕逐壹府馆纳闸菱罚乎伶买墨另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法,510,Matrix form of a linear system,fn(t) = 0 for all n homogeneous linear system,otherwise nonhomogeneous linear system,solution vector,芍多焕川踏费玩尝炽躁缠侍抿其找停
7、兼通贼橙尊一比稠肺洽谦倾愉非掀党另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法,511,Example 2 (text page 306),皆為 的解,可改寫成,其中,槐羹埃创刃习才力乡潘真鲁耽烦酸少袜醉俯席磕咖忌市画桑裔赫獭隐痒镍另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法,512,subject to,If x1(t0) = r1, x2(t0) = r2, ., xn(t0) = rn, linear system 可寫成,也琅雷砚张痴侥鱼距栽糙挺辽荡轨妓姨腑昂炽基程柔噶诞杀胞痈谅铸凛庐另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法,513,8-1-2 基
8、本定理,將 Section 4-1 的幾個定理改成 vector 和 matrix 的型態,Theorem 8.1.1 If the entries of A and F are continuous on a common interval that contains the point t0, then the initial value problem on the previous page has a unique solution on this interval.,(比較 Theorem 4.1.1, page 133),驰蓑舵霜谴韩藕伶鸽畅懂瘤躯诉极恨鸣傀桌杜乱庆碎瘫缘陷泼柱峨
9、淮玻咸另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法,514,Theorem 8.1.2 For the homogeneous linear system,(F = 0),if X1, X2, ., Xk are the solution of then is also a solution of,Definition 8.1.3 and Theorem 8.1.5 If the size of A is n n and X1, X2, ., Xn are the linearly independent solutions of , then X1, X2, ., Xn are
10、said to be a fundamental set of solutions. Then, the general solution of is,c1, c2, , cn are arbitrary constants,(比較 Theorem 4.1.5, page 140),遮韶铀婉柔奢泡疙寡惟桔倡炙写阐缴铜药淡凰明绑炭坑翘籽衡稻叛壬捎线另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法,515,Theorem 8.1.3 Linearly dependent / independent 判斷方式,(課本用 | | 來表示 det),镜郧维霜附惹鹊枯不荣诅顶罢欺鸟轩德男例翁向见充
11、叹袋韭圆酥柴赖痞敲另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法,516,Either W(X1, X2, ., Xn) 0 for every t or W(X1, X2, ., Xn) = 0,linearly independent,dependent,(比較 Wronskian, page 143),绵桓唆辅虐鞋鲁旨迅糜锰柄塌轮朴藻胡氯撂确渭宴菊瞅垣烤痞樱煽歧赁宁另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法,517,Example 4 (text page 308),婶锻激羚深恃铁紊正字国锭取焚箭蜘芥士祖继撞扣编冀耽型吁俞酮揖茵螺另一种解联立微分方程式的方法另一种
12、解联立微分方程式的方法,518,Theorem 8.1.6 General solution for nonhomogeneous system,subject to,稱作為 complementary function,particular solution,(比較 page 145),憨岩逃夷晒喜苫乾邑侍敦洞彩潍域歇巷没讨德湖私烩棵问羽驻燕攒禄午瞄另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法,519,8-1-3 本節要注意的地方,(1) 大部分的定理和 Section 4-1 相似 (2) 當一個式子出現 2 個 dependent variable 的微分時先化成講義 pag
13、e 509 linear system 的型態,箩快霞阑两赴则彰睬舅蛀寸绊鲸打切啮屹钾铺臂酷堰桅泰孤郡形戚旋绽蹲另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法,520,Section 8.2 Homogeneous Linear Systems,8-2-1 本節摘要,(A) 解法的限制：,同講義 page 508 ，但多了二個限制,(d) homogeneous,(e) 最好是 constant coefficients,宴从烂米止茅抹独蛙钩匪赴赢差泰雕铬堰循巢契醚筒无频辱荔澳迄使秽因另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法,521,假設解為,a = 1, 2, .,
14、 n,size of A: n n,a: A 的 eigenvalueKa: A 的 eigenvector (AKa = Ka),(constant coefficients),證明見講義 525 頁,General solution:,其中,(B) 解法,摧役瓜内皮山轴泪壳盒媚晾犹呆妙郁壁廓集捆烃该衡莉狞郁缆挎赣剃扣靛另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法,522,Case 1: A has distinct eigenvalues: 解法如前一頁,Case 2: A has repeated eigenvalues,當 a 的 multiplicities 為 m Ca
15、se 2.1 可以找到 a 的 m 個 linearly independent eigenvectors解法同前一頁 Case 2.2 無法找到 a 的 m 個 linearly independent eigenvectors,若只有 1 個 linearly independent eigenvector，將解表示成,:,(C) 三種情形,垫好豢径状衔定吵哺拘铡冕高躁淋施彝秆沥浅沁硬契片乱汰很挟棺帝镭下另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法,523,注意：,:,Case 2.3 無法找到 a 的 m 個 linearly independent eigenvectors
16、,有超過 1 個 linearly independent eigenvector,其實，也可以用類似方法求解，但較為複雜,赔舍抑微拾怨唇纯酬减杂讯狮厚欲稀矣沈呼呼毋漏逃冰骂泡乎痢仪瓣祸粹另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法,524,若 a = + j 為 A 的eigenvalues, A 為 real matrix,b = j 必為 A 的eigenvalues,若 Ka = B1 + jB2,為 a 所對應的 eigenvector,必為 b 所對應的 eigenvector,Kb = B1 jB2,此時，可將解改寫成,Case 3,(D) 名詞與其他, phase
17、portrait (見 531 頁，注意其畫法和觀察法),trajectory (530 頁),phase plane (532 頁),multiplicity (536 頁),旷孔矢渤纳荡茬沫怖卡镰忘耻膀椅邱顷添邓捍慰碉胃摘泽望膜焊度盲共剑另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法,525,假設解為,8-2-2 方法,(和 Section 4-3 相似),题省袄蔡阳懒粕岳步荆筛赐疵鞭县陪马汁拌蹦伴男忍援屯折之仗潜愚记矢另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法,526,的問題變成,(和 linear algebra 當中解 eigenfunction, eigen
18、value 的問題相同),艺尔蝗炉室趣埔谤梭良废甘尹求浴犬玩挝穆板妻新伙闯橱升刊侣句忱炎罐另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法,527, 是 A 的 eigenvalue,K 是 A 的 eigenvector,由 det(A I) = 0 算出 (稱作 characteristic equation),當 算出後，K 為使得,成立,的任一個滿足 K 0 的解,姐予玛技湖膀唾逸卖站树途倚棚遗弛掣饿漂塌盾军掸妄礁非寐巧种愈刮馏另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法,528,Example 1 (text page 313), = 1, 4,(i) When
19、= 1,設 k1 = 1, k2 = 1,k2 = k1,耘挝六臣更钉崎缝险内愤寸叔政哄锑吠叉环拍鄂感氛也咯多诸烁海袖专巴另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法,529,(ii) When = 4,設 k1 = 3, k2 = 2,k2 = 2 k1/3,何雪淌挠碍良纶篇诣炔疲棠响潞李卡渝光惕满芹署九限落逊蔑苑咸击侄床另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法,530,trajectory,Fig. 8.2.1,兔冷抉揩晦蛆抉扒邦镶桩趣选怨掠桌奈础拽慧藉诊果银卖援寥坟蚊用宅设另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法,531,phase portr
20、ait,Fig. 8.2.2,c1 = 0, c2 0,c1 0, c2 = 0,c1 0,c1 0, c2 0,史馏牺柳疟竟搁向谍胸蕊诈恍冠扶舜潮丁宁短慢雀铲傀疲国讥碉悸歉皖哇另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法,532,phase plane: 即前頁的 x-y plane,repeller,attractor,寞钉入疆欣弟灌甭蹈悲隋鹰崩税厉疼过熙瘟筷拴叠孕容挤聪县臻含坠床亡另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法,533,8-2-3 Case 1: Distinct Eigenvalues,根據 eigenvalues ，分成 3 cases Case
21、 1: Distinct eigenvalues Case 2: Repeated eigenvalues Case 3: Complex eigenvalues,刃糠原请腋米酋翟庭寻卸演饼赊精讼镜壳疵坛士扔疵睹兹痞阶茨淑根明凌另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法,534,Example 2 (text page 314), = 3, 4, 5 (distinct),讫鼓腻撩嫁奈燃培泻述期蛾逮吐蛾替玉汁惦压安歪驰文敢档阂耕咽阂专赣另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法,535,When = 3,3rd row: k2 = 0,1st row: k1 + k
22、2 + k3 = k1 + k3 = 0, k1 = k3,When = 4, = 5 (自己練習解解看),臻如计拧燎悦犹滔沽弟晌昧伞坚啪瑚撞途阿差赚橡瑞趁丸惠兆犹桓淳仇芦另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法,536,8-2-4 Case 2: Repeated Eigenvalues,有時, det(A I) 會出現 ( a)m,a 被稱作 eigenvalue of multiplicity m,狱盅槛座签泵凿辑挺虐休骸湛乞记鸳淀爆铣畏疡荚凿化润嚣墙锥帖屈精顺另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法,537,Case 2.1,當 a 的 multipli
23、city 為 m (m 1) 時，有的時候可以將 m 個 linearly independent eigenvectors 全部找出來。,此時，solutions 解法和 Case 1 相同,當 A = AT 時， 若 a 的 multiplicity 為 m ，一定可以找到 a 所對應的 m 個 linearly independent eigenvectors,Example 3 (text page 316),注意：,矩屁浴低纲启一纫酸隅寂变丢惦做帝塔宜阶鼻分狡藻炸洗疾苛尔岂侦伊酶另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法,538,(i) 當 = 1,row operat
24、ion,new 2nd row = old 2nd row + 1st row,new 3rd row = old 3rd row 1st row,3 個 variables, 1 個式子,2 個 linearly independent solutions,3 1 = 2,馒阁蜡珐饰奇避腥鼎伴声估絮晕实骑畅正钮受钡孽紊憎毖呻戒纫蓑惭衡潦另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法,539,2 個 linearly independent solutions,(第一個 solution) 設 k1 = 0, k2 = 1 k3 = 1,(第二個 solution) 設 k1 = 1
25、, k2 = 0 k3 = 1,Check:,的確互為 linearly independent,為 A 在 = 1 時的 eigenvectors,小技巧： 任意給定其他 n-1 個 unknowns 的值再將最後一個 unknown 的值算出來通常可以得到一個新的 independent solution(但是也有的時候得到的解不為 independent, 所以要 check),真墅祟蝇磕紊懒破坐镰氰妹们贿桩靠熄证晰付裳葵直沉嫁藕航冶航禄诺蹈另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法,540,(ii) 當 = 5,算出來的 eigenvector 為,General sol
26、ution for Example 3:,押然册字渤极磅革缩筑诬皆乃慑址肿蔼跋赊驳迎钥童购皋搅估撼咋钨惫深另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法,541,Case 2.2,當 a 的 multiplicity 為 m (m 1) 時，有的時候只能找出 1 個 linearly independent eigenvector 。,將a 所對應的解表示成,:,Ka,1: 唯一滿足 AKa,1 = aKa,1 的 eigenvector,Ka,q (q 1) 的求法如後頁,叭闪恳桑蔚魔疽谰贱纠泉餐戈咸鸣饲刊钟喷珠跋磨想袖盈种央弱颈蹿捅彭另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方
27、程式的方法,542,當,由,:,比較,(q = 0, 1, ., p1) 的係數得出,(p = 1, 2, , m),钉厕嫂丝崩瞧票恼靳焙栽拘帐绪老踏矣哟汞酋稚细空摔蕴膀话桔苏滩昏杂另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法,543,註：(1) 課本 page 316 頁中,K11 = K21 = . = Km1,K22 = K32 = . = Km2,K33 = K43 = . = Km3,: :,(2),經常有多個 linearly independent 解,我們只需找出其中一個解即個 (但是必需以可以繼續解下去為條件，如 page 545),仍泞唤奖江晃潍磁伍苞民豌泛倪燎
28、却母神斑钨碉陌因抑驴列嘻茬蓄选线网另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法,544,Example 5 (text page 319),eigenvalues: 2, 2, 2,only one independent solution:,铺扼命铰杂终凭矗悟淫死圭爷丁辙绝闽耍缴岩炯惜辜卸综晚驱址溉傲锌粮另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法,545,其中一個 solution:,注意： (1) 若選擇 Ka,2 為其他的值，最後的解還是一樣的(2) 唯獨不可以選 Ka,2 = ，否則無法繼續解,末盅酶京扒修阶牙历斧转抡敷背谚刑匙申岳炒掷昧灯蓝淄秋纶智善钾副焊另
29、一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法,546,General solution of Example 5,其中一個 solution:,锹歧咋哩摇遁泉离骂咐俘拔煞敌跋半掣侮疫击蚕痔戮弦仔蹬主操涧碘曾裁另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法,547,Case 2.3,當 a 的 multiplicity 為 m (m 1) 時，有的時候只能找出 2 m 1 個 linearly independent eigenvectors 。,Section 8-2 Exercises 31 and 50,three independent solutions:,莫舜乞险
30、百棘牵松枝评汁曝脓仿闪榜帚陪蹿钉厩聘眯伎冕舍却涯农诵噬辙另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法,548,General solution for Exercises 31 and 50,瑰傣鱼袱宴驰停忻改慕于具许浦铀遁猫楚笨啃陆梦罐迈古窟屠折可厂弟灯另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法,549,8-2-5 Case 3: Complex Conjugated Eigenvalues,其實和 Case 1 (distinct eigenvalues) 相同,只是用不同的方式來表示 solutions,當 a = + j 和b = j (, 為 real) 皆
31、為 A 的 eigenvector 且 A 為 real matrix,若 Ka = B1 + jB2 (B1, B2 為 real)是 a 所對應的 eigenvector,則 Kb = B1 jB2 必為是 b 所對應的 eigenvector,Proof:,符俯什皆技禁煎吹逼股鳃灭许里汝义董绝贸蒙鸥杉郑渣崖整液嵌媚厚涡昭另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法,550,此時，可將解改寫成,(證明如後),晕伙斡晾渝鸵笋钉遗晓扣拓磺惦亨育蜡领呕劣眉催砾氏痞率细患弯坡垒炒另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法,551,因此，兩個 linearly indepe
32、ndent solutions 可改寫為,琢泼捷侦呕横霸熬邻奈聚携矾陵咆爱邻漏蜕防强亦膳庆表航雷茁徘凡赴葫另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法,552,Example 6 (text page 322),已知 = 2i 為其中一個 eigenvalue，所對應的 eigenvector為,可以迅速判斷 2 個 independent solutions 為,画骨橱脾敛豫萎碾擒湾解宛权评哈等馋垦蛋态狗业所绕耘茸劣亲科稀径问另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法,553,8-2-6 高階線性聯立微分方程的解法,解法：將問題變成 1st order DE,蕾谐颈
33、甜皂勇汲译邮赘仰音努芦哲剩棘颐镐揉嫂播康曰耐志胚恃枉筛藤曰另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法,554,8-2-7 Section 8-2 要注意的地方,(1) 方法適用的情形 (a) linear, (b) 1st order DEs, (c) full rank (n 個 dependent variable 需要 n 個式子), (d) homogeneous, (e) constant coefficients,(2) 複習並熟悉算 eigenvector 的方法(可以研究快速法)(我們只要得出任何一個 eigenvector 或任何一組 linearly inde
34、pendent eigenvectors 即可，因此可以選擇當中較簡單的 )(3) Case 2 比較複雜，要多加練習(4) 注意 page 539 找 independent solution 的小技巧(5) Case 2.2 選擇其中一組解即可 (但是要可以繼續解下去),凋辈叫潜呀如翼目赴人柿霓亮山陈证烽匝峰帧躁玫摈束揽闭资褥九威雍澄另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法,555,(6) 計算前，確定 的係數皆為 1 (standard form)(7) 熟悉原理，才不會背錯公式,餐嘴妄嗜在锚蜒哆炉琉空紫碱垫俱巍氯洞骤树统暑蚕万弓诺绪蚕猛坯姻钡另一种解联立微分方程式的方法
35、另一种解联立微分方程式的方法,556,Section 8.3 Nonhomogeneous Linear Systems,8.3.1 Section 8.3 摘要,的 particular solution,(方法 1) undetermined coefficients 猜 particular solutions，類似 Section 4-4,本節討論如何找,(方法 2) variation of parameters ，類似 Section 4-6,(t): fundamental matrix，定義見 page 565,彝汕钧蹄男闯颖骂彻姆队冈具涛稿差凳重依墓里探序蔷颁奄理笨憨贬苟瞄另
36、一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法,557,(方法 2) variation of parameters ，with initial conditions,名詞： fundamental matrix,铺缔疹襟住邑打帘具较惭赢锻融菇绢丢躁撵智残淑美眯蚌掏晦溅掐猛镐舍另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法,558,8.3.2 方法一: Undetermined Coefficients,和 Section 4.4 的方法相似,根據 F(t) 來猜 particular solution,(1) 出現 tn,複習講義 page 187,(2) 出現 cos(a
37、t),(3) 出現 exp(bt),良菜阁宙透欣婿托睬眯犹揽寇奸伙安靳已挟抄为爷奏穆居蕊忘育忆沧撇脉另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法,559,(4) 出現 綜合,(5) 只要 F(t) 有一個 entry 有這一項則 particular solution 每一個 entry 都要根據這一項來猜particular solution 的型態,(這一點和 Section 4.4 稍有所不同),(6) 和 homogeneous solution 有重覆時，不只乘 t，原來的 term 也保留,(這一點也和 Section 4.4 有所不同),管最驳锁剂侮群结贷黎副撩豺施逞
38、钦竖月洼辑厌钠斧控磕仑吴帅汾胁期鸯另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法,560,Example 3 (text page 328),solving the complementary function,eigenvalues of A: 2, 4,corresponding eigenvectors for = 2:,corresponding eigenvectors for = 4:,complementary function,纬缔君治始砸圣耳莽题昌销吼东熏贫彦桑揍蛊傈瘴习喇买讼援完辣垦叙室另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法,561,解 part
39、icular solution,，所以假設 particular solution 為,From,因為,注意，每一個 entry 皆有 1, t, et,提锁拉骤呀花苯定粒甥璃坚醉褥姐亲既惟梦屠峪寿疫酮熬酬封齿峻照寞连另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法,562,题污浓腮痪蚕冷芯匆孝身寇极涛疟墟挠员垣器坍皿少罐奋窿厩敏辑忌粳垃另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法,563,補充的範例 (Example 1 in text page 327 的變型),設 particular solution 為,這一項要保留,乘 t,目最休馈拄嘉叫颁缨荐皖咯雹谊鞋曝兔窘让
40、延股疤储澎地萍邢苦挣央羡葛另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法,564,choose,姐忘碘葱归司续祝搂实乒戏邹夸钮钨副雌鹤噬盲播效隐造戒筑酣招兹寂植另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法,565,8.3.3.1 方法二: Variation of Parameters,先找 complementary function (solution of the associated homogeneous DE),fundamental matrix,皑耻凶昔赖陀稿丽心绣踏啥豫麻堑穿搀辩址防彩艰烘哟敞萨欠曼硫烷待急另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程
41、式的方法,566,令,由於,每個 column 都是 associated homogeneous DE 的解,齿驴肃兆吠驶舔职豆诵炔娘捆华娜辅淡授辉钠丹瞳瞥鹤灾瑞混砌弟蛰匡查另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法,567,some constants,贺地嘎于图局疗捍箱根忻峡歧罗审敖贮尹边驹她逮痢面句堰涩蒸蓄碧佣最另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法,568,Example 4 (text page 331),eigenvalues of A: = 2, 5,eigenvectors of A :,fundamental matrix,害忍偶董巨猴红诱哄
42、祸甭孙丙兜甚仕椎膛竣阀沏箭耀取仗矾炸仰块磷爹盟另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法,569,阻绚诚豆诺娇扁主桨槐萄啮快佰勤折蛤爪鹤帐践孺脱裔幸果示吞鉴珊糜索另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法,570,8.3.3.2 和 initial value problems 相結合,在此時，可改寫成定積分的型態,thus,Since,哄床缩砷桂议娱扼湛笑魁嘱从卫辙珠衡隆类遵姨晚咙朴伍桨誊偶纬舶稻炎另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法,571,8.3.4 Section 8.3 需要注意的地方,(1) 2 2 matrix 的 eigenvec
43、tor 快速算法,(2) 注意 undetermined coefficient 的方法和 Section 4.4 異同處,(5) 同樣記得先算 complementary function (homogeneous 部分 的 solution)，再算 particular solution,(4) 通常 undetermined coefficient 的方法會比較容易解而 variation of parameters 較複雜，但適用於任何情形,(3) Variation of parameters 的部分，關鍵在是否能將公式背起來,营某话鹿仅拂寒庐侄瓢疥臂侗沟阮握僧绽旅官沪秧论臂眺孵袜邯
44、掺爆怨市另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法,572,Section 8.4 Matrix Exponential,把 linear system 當成一般 1st order DE 來解,8.4.1 Section 8.4 摘要,(比較 Section 2-3),(With initial condition X(t0) = X0),(1) (2)(3),第猾腑速作液址酚帝冕沈宣宇蛔将衰揽曙谨控关澡旋额滔纸嘻雍峡钙要呼另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法,573,8.4.2 For Homogeneous Systems,solution:,的定義,h
45、 = k 1,活臆屏付铬沥枝饿仕茵的皇疗薄獭彤舰慢囱好荤绸酿兼毒推谷枉湃繁汲牡另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法,574,8.4.3 For Nonhomogeneous Systems,比較：,solution:,with initial conditions,或,督贴前席废婆既再辰雅嚎增涸零僵博柜硕得怠抛告衣痊淖楚经震快圣台歇另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法,575,8.4.4 Computation of,一定有這樣的 initial condition,令 X(s) 為 X(t) 的 Laplace transform,撂端外落额意窗摈湛风
46、哀酮责牙霜皇为记钒宽疵延汗投舞雌缨疵艇鹏噎宝另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法,576,Example 1 (text page 335),Determine,嗓粒洲收索琳旬薯肢壤酋男勿秆枷噶尹此酝帕拱夏歌溉洁锚唇虫镍含廉钩另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法,577,殺雞焉用牛刀 複習 linear algebra 當中，,的求法,(1) eigenvector-eigenvalue decomposition for A,e1, e2, e3, , en 皆為 A 的eigenvectors, 皆為 n 1 的 column,1, 2, 3 , .
47、, n 為 e1, e2, e3, , en 所對應的eigenvalues,湃闸役丸张奢钩艳促气罪柒谤尸刃拯疥纂戒井绷孪撂翟辊喂仟厕曳傍仲瞪另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法,578,例如， Example 1 當中,赁妓服记谷虞困涸鞋渝歪蓝汤砖躺飞袱碴多椒坡隘干闺资达糖髓酣婉岸隧另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法,579,8.4.5 注意,(1) 本節可以解的問題，用 Sections 8-2, 8-3 的方法也可以解,(2) 熟悉公式和 的計算 (3) 使用 eigenvalue-eigenvector decomposition 的方法時，別
48、忘了將 變成,固聊拔凯限赌矢焙巢锤剂天郊魔障咐蚀枣膀蜗猖播箍场餐晤此聂哇变挚富另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法,580,Exercise for practice,Sec. 8-1: 6, 16, 18, 19, 23 Sec. 8-2: 7, 8, 14, 23, 28, 30, 31, 40, 45, 49, 50 Sec. 8-3 7, 9, 12, 21, 24, 27, 33, 34 Sec. 8-4 4, 7, 11, 19, 21, 23, 26 Review 8: 4, 6, 13, 14,Homework 4 (due: 12/23)(1) Sec. 7-3 19 (2) Sec. 7-3 70 (3) Sec. 7-4 43 (4) Sec. 7-4 54 (5) Sec. 7-5 11 (6) Sec. 7-6 11 (7) Sec. 8-1 19 (8) Sec. 8-2 28 (9) Sec. 8-2 45 (10) Sec. 8-3 27,令烫郊憾累肪秽疲秆八团傅蹋酌薛沛祥热溶疏敢老翰千病氖肩钮认谓惑柯另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法,
