1、第九章解析几何9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系专题1直线与圆的位置关系(2015 辽宁鞍山一模 ,直线与圆的位置关系,选择题,理 6)直线 ax+by+a+b=0 与圆 x2+y2=2 的位置关系为( )A.相交 B.相切C.相离 D.相交或相切解析:由题设知圆心到直线的距离 d= ,|+|2+2而(a+b )22( a2+b2),得 d ,圆的半径 r= ,2 2所以直线 ax+by+a+b=0 与圆 x2+y2=2 的位置关系为相交或相切.答案:D9.5 椭圆专题3直线与椭圆的位置关系(2015 沈阳一模 ,直线与椭圆的位置关系,解答题,理 20)如图所示,椭圆 C: =1(ab0),其
2、中 e= ,22+22 12焦距为 2,过点 M(4,0)的直线 l 与椭圆 C 交于点 A,B,点 B 在 AM 之间.又点 A,B 的中点横坐标为 ,且47= .(1)求椭圆 C 的标准方程;(2)求实数 的值.解:(1)由条件可知,c= 1,a=2,故 b2=a2-c2=3,椭圆的标准方程是 =1.24+23(2)由 = ,可知 A,B,M 三点共线,设点 A(x1,y1),点 B(x2,y2).若直线 ABx 轴,则 x1=x2=4,不合题意.当 AB 所在直线 l 的斜率 k 存在时,设直线 l 的方程为 y=k(x-4).由 消去 y,得(3+4k 2)x2-32k2x+64k2-
3、12=0. =(-4),24+23=1,由 的判别式 =322k4-4(4k2+3)(64k2-12)=144(1-4k2)0,解得 k2b0)的离心率等于 ,点 P(2, )在椭圆上.22+22 32 3(1)求椭圆 C 的方程.(2)设椭圆 C 的左、右顶点分别为 A,B,过点 Q(2,0)的动直线 l 与椭圆 C 相交于 M,N 两点,是否存在定直线 l:x=t,使得 l与 AN 的交点 G 总在直线 BM 上?若存在,求出一个满足条件的 t 值;若不存在,说明理由.解:(1) 椭圆 C: =1(ab0)的离心率等于 ,点 P(2, )在椭圆上,22+22 32 3 解得 a2=16,b
4、2=4,c=2 .=32,42+32=1,2=2+2, 3 椭圆 C 的方程为 =1.216+24(2)当 lx 轴时,M(2, ),N(2,- ),直线 AN,BM 的方程分别为 y= (x+4),y= (x-4).3 33-6 32-4分别化为 x+6y+4 =0, x+2y-4 =0.3 3 3 3联立解得 G(8,-2 ).猜测常数 t=8.3即存在定直线 l:x=t,使得 l与 AN 的交点 G 总在直线 BM 上 .证明:当直线 l 的斜率存在时,设 l 的方程为 y=k(x-2),M(x1,y1),N(x2,y2),G(8,t).联立 化为(1+4k 2)x2-16k2x+16k
5、2-16=0.=(-2),2+42=16, x1+x2= ,x1x2= .1621+42 162-161+42 =(12,t), =(x2+4,y2),三点 A,N,G 共线, t(x2+4)-12y2=0, t= .1222+4=12(2-2)2+4由于 =(4,t), =(x1-4,y1),要证明三点 B,M,G 共线,即证明 t(x1-4)-4y1=0, 即证明 -4k(x1-2)=0,12(2-2)(1-4)2+4而 3(x2-2)(x1-4)-(x1-2)(x2+4)=2x1x2-10(x1+x2)+32= +32=0,32(2-1)1+4216021+42 -4k(x1-2)=0
6、成立 .12(2-2)(1-4)2+4 存在定直线 l:x=8,使得 l与 AN 的交点 G 总在直线 BM 上.综上可知:存在定直线 l:x=8,使得 l与 AN 的交点 G 总在直线 BM 上.(2015 辽宁大连二十四中高考模拟,直线与椭圆的位置关系,解答题,理 20)已知椭圆 =1(ab0)的22+22离心率为 ,且过点 .32 ( 2, 22)(1)求椭圆 C 的方程.(2)设不过原点 O 的直线 l:y=kx+m(k0),与该椭圆交于 P,Q 两点,直线 OP,OQ 的斜率依次为 k1,k2,满足 4k=k1+k2,试问:当 k 变化时,m 2是否为定值?若是,求出此定值,并证明你
7、的结论; 若不是,请说明理由.解:(1)依题意可得 解得 a=2,b=1.(2)22+(22)22=1,=32,2=2+2, 所以椭圆 C 的方程是 +y2=1.24(2)当 k 变化时,m 2为定值,证明如下:由 得(1 +4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0.=+,24+2=1,设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则1+2=- 81+42,12=4(2-1)1+42. 直线 OP,OQ 的斜率依次为 k1,k2,且 4k=k1+k2, 4k= ,11+22=1+1 +2+2得 2kx1x2=m(x1+x2).将 代入得 m2= .12经检验满足 0.9.6 双曲线专题1双曲线的定
8、义与标准方程(2015 辽宁鞍山一模 ,双曲线的定义与标准方程,填空题,理 16)设 A,B 分别为椭圆 =1(ab0)22+22和双曲线 =1 的公共顶点,P,M 分别为双曲线和椭圆上异于 A,B 的两动点,且满足 =(2222 +),其中 R,|1,设直线 AP,BP,AM,BM 的斜率分别为 k1,k2,k3,k4且 k1+k2=5,则 k3+k4= .+解析:如图所示, =( ),其中 R ,|1,+ -2 =(-2 ), O,M,P 三点共线.设 P(x1,y1),M(x2,y2), =k0,11=22则 =1, =1,212212 222+222 =- .21-22=212,22-
9、22 222 k1+k2=5, 5= .11+11-=21121-2=2112212=2221 k3+k4= =- =-5.22+22-=22222-22221答案:-5专题2双曲线的几何性质(2015 沈阳一模 ,双曲线的几何性质,填空题,理 13)若双曲线 E 的标准方程是 -y2=1,则双曲线 E 的24渐近线的方程是 . 解析:双曲线 E 的标准方程是 -y2=1,则 a=2,b=1.24即渐近线方程为 y= x,即为 y= x. 12答案:y= x12(2015 辽宁抚顺重点高中协作体高考模拟,双曲线的几何性质,选择题,理 4)若双曲线=1(a0,b0)的渐近线方程为 y= x,则双
10、曲线的离心率为( )2222 3A. B.2 C. D.3 5 7解析:由题意, ,=3故双曲线的离心率 e= =2.=1+()2答案:B(2015 辽宁大连二十四中高考模拟,双曲线的几何性质,选择题,理 10)已知 F1,F2分别是双曲线=1(a0,b0)的左、右焦点,过点 F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线2222于点 M,若点 M 在以线段 F1F2为直径的圆外,则双曲线离心率的取值范围是 ( )A.(1, ) B.( ,+)2 3C.( ,2) D.(2,+)3解析:双曲线 =1 的渐近线方程为 y= x,2222 不妨设过点 F2与双曲线的一条渐过线平行的直线方程
11、为 y= (x-c),与 y=- x 联立,可得交点 M , (2,-2) 点 M 在以线段 F1F2为直径的圆外, |OM|OF2|,即有 c2, b23a2,24+2242 c2-a23a2,即 c2a.则 e= 2. 双曲线离心率的取值范围是(2,+) .答案:D(2015 东北哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学三校一模,双曲线的几何性质,选择题,理8)设双曲线的一个焦点为 F,虚轴的一个端点为 B,焦点 F 到一条渐近线的距离为 d,若|FB| d,则双3曲线离心率的取值范围是( )A.(1, B. ,+)2 2C.(1,3 D. ,+)3解析:设 F(c,0),B(0,b)
12、,一条渐近线的方程为 bx+ay=0,则 d= =b,|FB|= .2+2 2+2因为|FB| d,3所以 b,所以 c2 2c2-2a2,2+23所以 2a2c 2,所以 10)的焦点为 F,点 M 在 C 上,|MF|=5,若以 MF 为直径的圆过点(0,2),则 C 的方程为 . 解析:如图, 抛物线 C 的方程为 y2=2px(p0), 焦点 F 坐标为 ,可得|OF|= .(2,0) 2 以 MF 为直径的圆过点(0,2), 设 A(0,2),可得 AFAM.在 RtAOF 中,|AF|= ,4+24 sinOAF= .|= 24+24 根据抛物线的定义,得直线 AO 切以 MF 为
13、直径的圆于 A 点, OAF= AMF,可得 RtAMF 中,sinAMF= ,|= 24+24 |MF|=5,|AF|= ,4+24 ,整理得 4+ ,4+245 = 24+24 24=52解之可得 p=2 或 p=8.因此,抛物线 C 的方程为 y2=4x 或 y2=16x.答案:y 2=4x 或 y2=16x(2015 东北哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学三校一模,抛物线的几何性质,选择题,理3)点 M(1,1)到抛物线 y=ax2的准线的距离为 2,则 a 的值为( )A. B.-14 112C. 或- D.-14 112 14或 112解析:抛物线 y=ax2化为标准形式
14、为 x2= y,它的准线方程为 y=- .1 14点 M(1,1)到抛物线 y=ax2的准线的距离为 2,可得 =2,解得 a= 或- .|1+14| 14 112答案:C9.8 直线与圆锥曲线专题4圆锥曲线中的存在、探索性问题(2015 辽宁鞍山一模 ,圆锥曲线中的存在、探索性问题,解答题,理 20)已知椭圆 =1(ab0)的22+22左、右焦点分别为 F1,F2,短轴两个端点为 A,B,且四边形 F1AF2B 是边长为 2 的正方形.(1)求椭圆的方程.(2)若 C,D 分别是椭圆的左、右端点,动点 M 满足 MDCD,连接 CM,交椭圆于点 P.证明 为定值.(3)在(2)的条件下,试问
15、 x 轴上是否存在异于点 C 的定点 Q,使得以 MP 为直径的圆恒过直线 DP,MQ的交点?若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)a=2,b=c ,a2=b2+c2, b2=2. 椭圆方程为 =1.24+22(2)C(-2,0),D(2,0),设 M(2,y0),P(x1,y1),则 =(x1,y1), =(2,y0). 直线 CM:y= (x+2),即 y= x+ y0,04 04 12代入椭圆方程 x2+2y2=4,得 x2+ x+ -4=0.(1+208) 1220 1220 x1=- ,124(20-8)20+8 x1=- , y1= ,2(20-8)20+8 8020+8 .=(-2(20-8)20+8, 8020+8) =- =4(定值) .4(20-8)20+8+82020+8=420+3220+8(3)设存在 Q(m,0)满足条件,则 MQDP.=(m-2,-y0), .=(- 42020+8, 8020+8)则由 =0 得- (m-2)- =0,42020+8 82020+8从而得 m=0. 存在 Q(0,0)满足条件 .
