1、第十四章选修模块14.1 几何证明选讲专题 4 圆周角、弦切角及圆的切线(2015 沈阳大连二模 ,圆周角、弦切角及圆的切线,解答题,理 22)选修 41:几何证明选讲如图,O 内切于ABC 的三边于 D,E,F,AB=AC,连接 AD 交O 于点 H,直线 HF 交 BC 的延长线于点 G.求证:(1)圆心 O 在直线 AD 上 ;(2)点 C 是线段 GD 的中点.证明:(1) AB=AC,AF=AE, CF=BE.又 CF=CD,BD=BE, CD=BD.又ABC 是等腰三角形, AD 是CAB 的角平分线. 圆心 O 在直线 AD 上.(2)连接 DF,由(1)知 ,DH 是O 的直径
2、, DFH=90, FDH+FHD=90, FDH=G. G+FHD=90. O 与 AC 相切于点 F, AFH= GFC= FDH, GFC=G, CG=CF=CD, 点 C 是线段 GD 的中点.(2015 江西新余一中高考模拟,圆周角、弦切角及圆的切线,解答题,理 22)如图,ABC 内接于圆O,AD 平分BAC 交圆于点 D,过点 B 作圆 O 的切线交直线 AD 于点 E.求证:(1)EBD=CBD;(2)ABBE=AEDC.证明:(1) BE 为圆 O 的切线, EBD= BAD. AD 平分BAC, BAD= CAD. EBD= CAD. CBD=CAD, EBD= CBD.(
3、2)在EBD 和EAB 中,E= E,EBD= EAB , EBDEAB. . ABBE=AEBD. AD 平分BAC, BD=DC. ABBE=AEDC.专题 6 圆的切线的性质与判定(2015 江西南昌十所省重点中学高考模拟,圆的切线的性质与判定,解答题,理 22)如图,点 A 在直径为 15 的O 上,PBC 是过点 O 的割线,且 PA=10,PB=5.(1)求证:PA 与O 相切;(2)求 SACB的值.(1)证明:连接 OA, O 的直径为 15, OA=OB=7.5.又 PA=10,PB=5, PO=12.5.在APO 中,PO 2=156.25,PA2+OA2=156.25,即
4、 PO2=PA2+OA2, PAOA.又点 A 在O 上,故 PA 与O 相切.(2)解: PA 为O 的切线, ACB=PAB.又由P=P , PABPCA. .设 AB=k,AC=2k, BC 为O 的直径且 BC=15,ABAC , BC=k=15, k=3. SACB=ACAB=2kk=k2=45.专题 7 与圆有关的比例线段(2015 江西重点中学十校二模联考,与圆有关的比例线段,解答题,理 22)如图,过圆 E 外一点 A 作一条直线与圆 E 交于 B,C 两点,且 AB=AC,作直线 AF 与圆 E 相切于点 F,连接 EF 交 BC 于点 D,已知圆E 的半径为 2,EBC=3
5、0.(1)求 AF 的长;(2)求证:AD=3ED.(1)解:延长 BE 交圆 E 于点 M,连接 CM,则BCM= 90. BM=2BE=4,EBC=30, BC=2.又 AB=AC, AB=BC=, AC=3.根据切割线定理得 AF2=ABAC=3=9,即 AF=3.(2)证明:过 E 作 EHBC 于 H, EOH=ADF,EHD= AFD, EDH ADF. .又由题意知 CH=BC=,EB=2, EH=1, . AD=3ED.(2015 江西重点中学协作体二模,与圆有关的比例线段,解答题,理 22)如图,已知 PA 与圆 O 相切于点A,半径 OBOP,AB 交 PO 于点 C.(1
6、)求证:PA=PC ;(2)若圆 O 的半径为 3,PO=5,求线段 AC 的长度.(1)证明: PA 与圆 O 相切于点 A, PAB=ADB. BD 为圆 O 的直径, BAD= 90. ADB= 90-B. BDOP , BCO=90- B. BCO=PCA=PAB,即PAC 为等腰三角形. PA=PC.(2)解:假设 PO 与圆 O 相交于点 M,延长 PO 交圆 O 于点 N. PA 与圆 O 相切于点 A,PMN 是圆 O 的割线, PA2=PMPN=(PO-OM)(PO+ON). PO=5,OM=ON=3, PA=4.由(1)知 PC=PA=4, OC=1.在 RtOAP 中,c
7、osAOP= , AC2=9+1-231. AC=.(2015 江西重点中学协作体一模,圆的切线的性质与判定,解答题,理 22)如图,已知 PE 切圆 O 于点 E,割线 PBA 交圆 O 于 A,B 两点, APE 的平分线和 AE,BE 分别交于点 C,D.求证:(1)CE=DE;(2).证明:(1) PE 切圆 O 于 E, PEB=A.又 PC 平分APE, CPE=CPA. PEB+CPE=A+ CPA. CDE=DCE,即 CE=DE.(2) PC 平分APE, .又 PE 切圆 O 于点 E,割线 PBA 交圆 O 于 A,B 两点, PE2=PBPA,即. .(2015 江西师
8、大附中、鹰潭一中模拟,圆的切线的性质与判定,解答题,理 22)如图所示,PA 为圆 O 的切线,A 为切点,PO 交圆 O 于 B,C 两点,PA= 20,PB=10,BAC 的角平分线与 BC 和圆 O 分别交于点D 和 E.(1)求证:ABPC=PA AC;(2)求 ADAE 的值.(1)证明: PA 为圆 O 的切线, PAB=ACP.又P 为公共角, PABPCA. . ABPC=PAAC.(2)解: PA 为圆 O 的切线,BC 是过点 O 的割线, PA2=PBPC. PC=40,BC=30.又 CAB=90, AC2+AB2=BC2=900.又由(1)知, AC=12,AB=6.
9、连接 EC,则CAE=EAB, ACEADB, , ADAE=ABAC=612=360.14.2 坐标系与参数方程专题 5 参数方程与普通方程的互化(2015 江西南昌十所省重点中学高考模拟,参数方程与普通方程的互化,解答题,理 23)在极坐标系中,圆C 的方程为 =2acos (a0),以极点为坐标原点,极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系,设直线 l 的参数方程为(t 为参数).(1)求圆 C 的标准方程和直线 l 的普通方程;(2)若直线 l 与圆 C 恒有公共点,求实数 a 的取值范围.解:(1)由则. 直线 l 的普通方程为 4x-3y+5=0.由 =2acos得, 2=2acos
10、.又 2=x2+y2,cos=x, 圆 C 的标准方程为(x-a) 2+y2=a2.(2) 直线 l 与圆 C 恒有公共点, |a|,两边平方得 9a2-40a-250, (9a+5)(a-5)0. a 的取值范围是 a-或 a 5.专题 6 极坐标方程与参数方程的应用(2015 江西重点中学协作体一模,极坐标方程与参数方程的应用,解答题,理 23)直线 l 的参数方程为曲线 C 的极坐标方程为(1+sin 2)2=2.(1)写出直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程;(2)设直线 l 与曲线 C 相交于两点 A,B,若点 P 为(1,0),求.解:(1)由直线 l 的参数方程为消去
11、t 可得 l:x-y-=0.由曲线 C 的极坐标方程(1+sin 2)2=2,可得 x2+y2+y2=2,即+y 2=1.(2)将直线 l 的参数方程代入曲线 C:x2+2y2=2,得 7t2+4t-4=0.设 A,B 两点在直线 l 中对应的参数分别为 t1,t2,则 t1+t2=-,t1t2=-. , 的值为.(2015 江西上饶一模 ,极坐标方程与参数方程的应用,解答题,理 23)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 是过定点 P(4,2)且倾斜角为 的直线;在极坐标系(以坐标原点 O 为极点,以 x 轴非负半轴为极轴,取相同单位长度)中,曲线 C 的极坐标方程为 =4cos .(1)写出
12、直线 l 的参数方程,并将曲线 C 的方程化为直角坐标方程;(2)若曲线 C 与直线相交于不同的两点 M,N,求|PM|+|PN|的取值范围 .解:(1)直线 l 的参数方程为 (t 为参数) .曲线 C 的极坐标方程 =4cos可化为 2=4cos.把 x=cos,y=sin代入曲线 C 的极坐标方程可得 x2+y2=4x,即(x-2) 2+y2=4.(2)把直线 l 的参数方程为( t 为参数)代入圆的方程可得:t 2+4(sin+cos)t+4=0. 曲线 C 与直线 l 相交于不同的两点 M,N, =16(sin+cos)2-160. sincos0.又 0,), .又 t1+t2=-
13、4(sin+cos),t1t2=4, |PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=4|sin+cos|=4sin. , , sin. |PM|+|PN|的取值范围是(4,4.(2015 江西师大附中、鹰潭一中模拟,极坐标方程与参数方程的应用,解答题,理 23)在直角坐标系xOy 中,圆 C 的参数方程( 为参数) .以 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求圆 C 的极坐标方程;(2)直线 l 的极坐标方程是 2sin=3,射线 OM:=与圆 C 的交点为 O,P,与直线 l 的交点为 Q,求线段 PQ的长.解:(1)利用 cos2+sin2=1,把圆 C 的参数
14、方程( 为参数)化为(x- 1)2+y2=1, 2-2cos=0,即 =2cos.(2)设( 1,1)为点 P 的极坐标,由解得设( 2,2)为点 Q 的极坐标,由解得 1=2, |PQ|=|1-2|=2. |PQ|=2.(2015 江西新余一中高考模拟,极坐标方程与参数方程的应用,解答题,理 23)已知曲线 C:=1,直线l:(t 为参数) .(1)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程;(2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30的直线,交 l 于点 A,求|PA|的最大值与最小值.解:(1)由题意得,曲线 C:=1,所以曲线 C 的参数方程为( 为参数),因为直线 l
15、:(t 为参数),所以直线 l 的普通方程为 2x+y-6=0.(2)曲线 C 上任意一点 P(2cos,3sin),则点 P 到直线 l 的距离为 d=,则|PA|=| 4cos+3sin-6|=|5sin(+)-6|.当 sin(+)=-1 时,|PA|取得最大值,最大值为;当 sin(+)=1 时,|PA| 取得最小值,最小值为.(2015 沈阳大连二模 ,极坐标方程与参数方程的应用,解答题,理 23)选修 44:坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为( 为参数), 曲线 C2 的参数方程为( 为参数),以 O 为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求
16、 C1 和 C2 的极坐标方程;(2)已知射线 l1:=,将 l1 逆时针旋转得到 l2:=+,且 l1 与 C1 交于 O,P 两点,l 2 与 C2 交于 O,Q 两点,求|OP|OQ|取最大值时点 P 的极坐标.解:(1)曲线 C1 的直角坐标方程为( x-2)2+y2=4,所以 C1 极坐标方程为 =4cos.曲线 C2 的直角坐标方程为 x2+(y-2)2=4,所以 C2 极坐标方程为 =4sin.(2)设点 P 极点坐标( 1,4cos),即 1=4cos.点 Q 极坐标为,即 2=4sin.则|OP| |OQ|=12=4cos4sin=16cos=8sin+4. , 2+.当 2
17、+,即 =时|OP| |OQ|取最大值,此时点 P 极点坐标.(2015 江西重点中学十校二模联考,极坐标方程与参数方程的应用,解答题,理 23)已知曲线 C 的极坐标方程是 =2cos ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程是(t 为参数).(1)求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程;(2)设点 P(m,0),若直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,且|PA| |PB|=1,求实数 m 的值.解:(1)曲线 C 的极坐标方程是 =2cos,化为 2=2cos,可得直角坐标方程:x 2+y2=2x.直线 l 的参数方程是(
18、t 为参数), 消去参数 t 可得 x=y+m.(2)把(t 为参数 ),代入方程:x 2+y2=2x,化为 t2+(m-)t+m2-2m=0,由 0,解得- 10, 实数 m=1.(2015 江西重点中学协作体二模,极坐标方程与参数方程的应用,解答题,理 23)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为(t 为参数).在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴) 中,圆 C 的方程为 =10cos .(1)求圆 C 的直角坐标方程;(2)设圆 C 与直线 l 交于点 A,B,若点 P 的坐标为(2,6),求|PA|+|PB|.解:(
19、1)由 =10cos得 2=10cos. 直角坐标方程为 x2+y2=10x,配方为(x-5) 2+y2=25.(2)将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程,化为 t2+9t+20=0.由于 =(9)2-420=820,可设 t1,t2 是上述方程的两个实根. t1+t2=-9,t1t2=20.又直线 l 过点 P(2,6),可得|PA|+|PB|=|t 1|+|t2|=-(t1+t2)=9.14.3 不等式选讲专题 1 含绝对值不等式的解法(2015 江西师大附中、鹰潭一中模拟,含绝对值不等式的解法,解答题,理 24)设函数 f(x)=|2x-1|-|x+2|.(1)解不等式 f(x)
20、0;(2)若x 0R ,使得 f(x0)+2m20,即|2x-1|x+2|,即 4x2-4x+1x2+4x+4,即 3x2-8x+30,求得它的解集为.(2)f(x)=|2x-1|-|x+2|=故 f(x)的最小值为 f=-.根据x 0R ,使得 f(x0)+2m2-,即 4m2-8m-51 时,由 f(x)1,所以 1-2,又 x1 时,f(x)=3x+25;当-1x 1 时,f(x) =x+43,5;当 x3;所以函数 f(x)的值域为3,+).又直线 y=(aR)与函数 y=f(x)的图象恒有公共点,所以3,所以 a-1.即 a 的取值区间是(- ,-1.(2015 江西上饶一模 ,含绝
21、对值不等式的解法,解答题,理 23)已知 aR ,设关于 x 的不等式| 2x-a|+|x+3|2x+4 的解集为 A.(1)若 a=1,求 A;(2)若 A=R,求 a 的取值范围.解:(1)若 a=1,则 |2x-1|+|x+3|2x+4.当 x-3 时,原不等式可化为- 3x-22x+4,可得 x- 3;当-3时 ,原不等式可化为 3x+22x+4,可得 x2;综上,A=x|x 0,或 x2.(2)当 x-2 时,|2x-a|+|x+ 3|02x+4 成立;当 x-2 时,| 2x-a|+|x+3|=|2x-a|+x+32x+4; xa+1 或 x. a+1-2 或 a+1. a-2.综
22、上,a 的取值范围为 a-2.(2015 江西新余一中高考模拟,含绝对值不等式的解法,解答题,理 24)设函数 f(x)=|2x+1|-|x-4|.(1)解不等式 f(x)0;(2)若 f(x)+3|x-4|m 对一切实数 x 均成立,求 m 的取值范围.解:(1)当 x4 时,f(x)=2x+1-(x-4)=x+ 50,得 x-5,所以 x4 成立;当-x0,得 x1,所以 10,得 x 1 或 x0,b0.(1)求的最小值;(2)若不等式|2x- 1|-|x+1|对任意 a,b 恒成立,求 x 的取值范围.解:(1) a+b=1,a0,b0, (a+b)=5+5+2=9,当且仅当,即 a=且 b=时取等号, 的最小值为 9.(2)若不等式|2x- 1|-|x+1|对任意 a,b 恒成立,则需|2x-1|-|x+1|9,可转化为或分别解不等式组可得-7x- 1,x 11,- 14,解此不等式得 a5.故实数 a 的取值范围为(- ,-3)(5,+).
