1、第十四章选修模块14.1 几何证明选讲专题 2 相似三角形的判定与性质(2015 河南省六市高考数学二模,相似三角形的判定与性质,解答题,理 22)如图,梯形 ABCD 内接于O, ADBC ,过点 C 作O 的切线,交 BD 的延长线于点 P,交 AD 的延长线于点 E.(1)求证:AB 2=DEBC;(2)若 BD=9,AB=6,BC=9,求切线 PC 的长.解:(1)证明: ADBC, AB=DC,EDC= BCD,又 PC 与O 相切, ECD= DBC, CDEBCD, , CD2=DEBC,即 AB2=DEBC.(2)由(1)知,DE=4, PDE PBC, .又 PB-PD=9,
2、 PD=,PB=. PC2=PDPB=. PC=.专题 7 与圆有关的比例线段(2015 河南省洛阳市高考数学二模,与圆有关的比例线段,解答题,理 22)如图,O 1 与O 2 相交于 A,B 两点,点 P 在线段 BA 的延长线上,T 是O 1 上一点,PTO 2T,过 P的直线交O 1 于 C,D 两点,(1)求证:;(2)若O 1 与 O2 的半径分别为 4,3,其圆心距 O1O2=5,PT=,求 PA 的长.(1)证明: PT O2T, PT 是O 2 的切线, PT2=PAPB, 过 P 的直线交O 1 于 C,D 两点, PCPD=PAPB, PT2=PCPD, .(2)解:连接
3、O1A,O2A, O 1 与O 2 的半径分别为 4,3,其圆心距 O1O2=5, O1=O1A2+O2A2, O 1AO2=90,设 RtO1AO2 斜边长为 h,则 h=,AB=2h=, PT2=PAPB,PT=, PA, PA=.(2015 甘肃省张掖市高考数学 4 月模拟,与圆有关的比例线段,解答题,理 22)如图,AB 是O 的直径,C 是弧 BD 的中点,CEAB,垂足为 E,BD 交 CE 于点 F.(1)求证:CF=BF ;(2)若 AD=4,O 的半径为 6,求 BC 的长.(1)证法一:连接 CO 交 BD 于点 M,如图 1. C 为弧 BD 的中点, OCBD.又 OC
4、=OB, RtCEORt BMO. OCE=OBM.又 OC=OB, OCB=OBC. FBC=FCB, CF=BF.证法二:延长 CE 交圆 O 于点 N,连接 BN,如图 2. AB 是直径且 CNAB 于点 E, NCB=CNB.又 , CBD=CNB. NCB=CBD 即FCB=CBF. CF=BF.(2)解: O,M 分别为 AB,BD 的中点, OM=2=OE, EB=4.在 RtCOE 中,CE= 4. 在 RtCEB 中,BC= 4.图 1图 2(2015 甘肃省嘉峪关一中高考数学三模,与圆有关的比例线段,解答题,理 22)已知 A,B,C,D 为圆 O 上的四点 ,直线 DE
5、 为圆 O 的切线,ACDE,AC 与 BD 相交于 H 点.(1)求证:BD 平分ABC;(2)若 AB=4,AD=6,BD=8,求 AH 的长.解:(1)证明: ACDE ,直线 DE 为圆 O 的切线, D 是的中点,即.又ABD,DBC 分别是两弧所对的圆周角,故有ABD=DBC, BD 平分ABC.(2) 由图CAB=CDB 且ABD=DBC, ABHDBC, .又, AD=DC, . AB=4,AD=6,BD=8, AH=3.(2015 甘肃省河西五地市高三第一次联考,与圆有关的比例线段,解答题,理 22)如图所示,PA 为圆 O 的切线, A 为切点,PO 交圆 O 于 B,C
6、两点 ,PA=20,PB=10,BAC 的角平分线与BC 和圆 O 分别交于点 D 和 E.(1)求证:ABPC=PA AC;(2)求 ADAE 的值.(1)证明: PA 为圆 O 的切线, PAB=ACP,又P 为公共角 , PABPCA, , ABPC=PAAC.(2)解: PA 为圆 O 的切线,BC 是过点 O 的割线, PA2=PBPC, PC=40,BC=30,又 CAB=90, AC2+AB2=BC2=900,又由(1)知, AC=12,AB=6,连接 EC,则CAE=EAB, ACEADB, , ADAE=ABAC=612=360.(2015 甘肃省兰州一中三模,与圆有关的比例
7、线段,解答题,理 22)设 AB 为圆 O 的直径 ,AB=10.E 为线段 AO 上一点,OE=AB.过 E 作一直线交圆 O 于 C,D 两点,使得CEA=45.试求 CE2+ED2 的值.解: AB=10,OE=AB,作 OHCD 于 H,则 OH=OE,CD=2AB.由相交弦定理知 CEED=AEEB=AB2. CE2+ED2=(CE+ED)2-2CEED=AB2-AB2=AB2=50.14.2 坐标系与参数方程专题 3 曲线的极坐标方程的求解(2015 甘肃省兰州一中三模,曲线的极坐标方程的求解,解答题,理 23)设直线 l 的参数方程为(t 为参数),若以直角坐标系 xOy 的 O
8、 点为极点,Ox 轴为极轴,选择相同的长度单位建立极坐标系,得曲线 C的极坐标方程为 =.(1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程,并指出曲线是什么曲线;(2)若直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,求|AB|.解:(1)由 =得 sin2=6cos,2sin2=6cos, y2=6x. 曲线 C 表示顶点在原点,焦点在 x 轴上的抛物线.(2)将化为代入 y2=6x 得 t2-4t-12=0(*),由(*)式解得 t1=6,t2=-2,|AB|=|t1-t2|=8.专题 5 参数方程与普通方程的互化(2015 河南省洛阳市高考数学二模,参数方程与普通方程的互化,解答题,理 23)在
9、平面直角坐标系中,曲线 C1 的参数方程为( 为参数),以坐标原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C1 的极坐标方程为 =2cos .(1)求曲线 C1 的直角坐标方程;(2)已知点 M 是曲线 C1 上任意一点,点 N 是曲线 C2 上任意一点,求|MN|的取值范围.解:(1)由 =2cos,得2=2cos, x2+y2=2x, (x-1)2+y2=1.(2)设点 M(4cos,3sin),则|MC2|-1|MN|MC 2|+1,|MC2|2=(4cos-1)2+9sin2=7cos2-8cos+10,当 cos=-1 时,得|MC 2=25,|MC2|max=5,当
10、 cos=时,得|MC 2,|MC2|min=, -1|MC 2|-1|MN|MC 2|+15+ 1, |MN|的取值范围为 .(2015 甘肃省张掖市高考数学 4 月模拟,参数方程与普通方程的互化,解答题,理 23)在平面直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知 P 点的极坐标为,曲线 C 的极坐标方程为 2+4sin =4.(1)写出点 P 的直角坐标及曲线 C 的普通方程;(2)若 Q 为 C 上的动点 ,求 PQ 中点 M 到直线 l:(t 为参数)距离的最大值.解:(1)已知 P 点的极坐标为 ,所以 x=cos=6,y=sin=2, 点 P
11、的直角坐标为(6,2).由 2+4sin=4,得 x2+y2+4y=4,即 x2+(y+2)2=16, 曲线 C 的普通方程为 x2+(y+2)2=16.(2)由 l:可得直线 l 的普通方程为 x-y-5=0,由曲线 C 的普通方程:x 2+(y+2)2=16,可设点 Q(4cos,4sin-2), 点 M 坐标为(2cos +3,2sin). 点 M 到直线 l 的距离 d=,当 cos=-1 时,d 取得最大值 2+, 点 M 到直线 l 距离的最大值为 2+.(2015 甘肃省嘉峪关一中高考数学三模,参数方程与普通方程的互化,解答题,理 23)已知曲线 C1:(t为参数),C 2:(
12、为参数).(1)化 C1,C2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;(2)若 C1 上的点 P 对应的参数为 t=,Q 为 C2 上的动点,求 PQ 中点 M 到直线 C3:(t 为参数)距离的最小值.解:(1)把 C1,C2 的参数方程消去参数,化为普通方程分别为 C1:(x+4)2+(y-3)2=1,C2:=1,C1 为圆心是(-4,3),半径是 1 的圆; C2 为中心是坐标原点,焦点在 x 轴上,长半轴长是 8,短半轴长是3 的椭圆.(2)当 t=时,P(- 4,4),设 Q(8cos,3sin),故 M,C3 为直线 x-2y-7=0,求得 M 到 C3 的距离 d=|4c
13、os-3sin-13|=,其中,sin=,cos=-.从而当 sin(+)=1,即当 cos=,sin=-时,d 取得最小值为.专题 6 极坐标方程与参数方程的应用(2015 河南省六市高考数学二模,极坐标方程与参数方程的应用,解答题,理 23)在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为( 为参数), 以 O 为极点,x 轴的非负半轴为为极轴建立极坐标系.(1)求圆 C 的极坐标方程;(2)直线 l 的极坐标方程式 2sin=3,射线 OM:=与圆心 C 的交点为 O,P,与直线 l 的交点为 Q,求线段PQ 的长.解:(1)圆 C 的参数方程为 ( 为参数), 消去参数化为普通方程:
14、(x- 1)2+y2=1,把代入可得圆 C 的极坐标方程 :=2cos.(2)设 P(1,1),则解得 1=1,1=.设 Q(2,2),则解得 2=3,2=, |PQ|=2.14.3 不等式选讲专题 3 含绝对值不等式的问题(2015 甘肃省河西五地市高三第一次联考,含绝对值不等式的问题,解答题,理 24)已知函数 f(x)=|2x+1|,g(x)=|x|+a.(1)当 a=0 时,解不等式 f(x)g(x);(2)若存在 xR,使得 f(x)g(x)成立,求实数 a 的取值范围.解:(1)当 a=0 时 ,由 f(x)g(x )得|2x+1|x ,两边平方整理得 3x2+4x+10,解得 x
15、-1 或 x-, 原不等式的解集为(- ,-1 .(2)由 f(x)g(x)得 a| 2x+1|-|x|,令 h(x)=|2x+1|-|x|,即 h(x)=故 h(x)min=h=-,故可得到所求实数 a 的范围为.(2015 甘肃省兰州一中三模,含绝对值不等式的问题,解答题,理 24)若实数 a,b 满足 ab0,且 a2b=4,若 a+bm 恒成立.(1)求 m 的最大值 ;(2)若 2|x-1|+|x|a+b 对任意的 a,b 恒成立,求实数 x 的取值范围.解:(1)由题设可得 b=0, a0, a+b=a+3,当 a=2,b=1 时,a+b 取得最小值 3, m 的最大值为 3.(2
16、)要使 2|x-1|+|x|a+b 对任意的 a,b 恒成立,须且只须 2|x-1|+|x|3, x1 时,2x-2+x3,解得 1x, 0xx1x2.(1)解: a,bR,a+b= 1,x1,x2 R, 3=33=6,当且仅当 a=b=0.5,x1=x2=1 时,的最小值为 6.(2)证明:(ax 1+bx2)(ax2+bx1)=(a2+b2)x1x2+ab()( a2+b2)x1x2+2abx1x2=(a+b)2x1x2x 1x2.(2015 甘肃省张掖市高考数学 4 月模拟,不等式的证明,解答题,理 24)已知函数 f(x)=|x-1|,(1)若 f(x)+f(1-x)a 恒成立,求 a
17、 的取值范围;(2)若 a+2b=8,求证 :f(a)2+f(b)25.(1)解:f(x) +f(1-x)=|x-1|+|-x|x-1-x|=1. f(x)min=1, a1.(2)证明:f( a)2+f(b)2=(a-1)2+(b-1)2(a-1)2+(b-1)2(12+22)(a-1)1+( b-1)22=(a+2b-3)2=25. (a-1)2+(b-1)25, f(a)2+f(b)25.(2015 甘肃省嘉峪关一中高考数学三模,不等式的证明,解答题,理 24)已知 a,b,cR +,且 a+b+c=1.证明:(1)a2+b2+c2;(2)1.证明:(1) a,b,cR +,且 a+b+c=1, 1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac3( a2+b2+c2), a2+b2+c2,当且仅当 a=b=c 时,等号成立.(2) +b2a,+c2b,+a2c, +a+b+c2(a+b+c), a+b+c=1, 1.
