1、 http:/ 交大家教http:/ 10 年专注,8 万上海家长首选朗朗家教网!重新认识“钟面角”日常生活中,我们几乎每天都要看钟表,然而我们对钟表表面上的时针、分针、秒针之间的夹角(即“钟面角” )问题可能并没有在意其实钟面角中蕴涵着丰富的数学知识,我们一起来探究一下“钟面角”问题吧一、认识“钟面角”要分析钟面角,我们首先要结合其图形特点,寻找并发现它们的变化规律钟表的表面特点:钟表的表面都是一个圆形,共有12个大格,每个大格间有5个小格圆形的表面恰好对应着一个周角360,每个大格对应30角,每个小格对应6角表面一般有时针、分针、秒针三根指针钟表时针、分针、秒针的转动情况:时针每小时转1大
2、格,每12分钟转1小格,每12个小时转1个圆周;分针每5分钟转一大格,每1分钟转1小格,每小时转1个圆周;秒针5秒钟转1大格,每1秒钟转1小格,每1分钟转一个圆周时针、分针、秒针的转速:有了以上的认识,我们很容易计算出相应指针的转速:钟表的时针转速为:30/小时或0.5/分钟; 分针的转速为:6/分钟或0.1/秒钟;秒针的转速为:6/秒有了这些对钟面角的基本认识,我们就可以探究与钟面角有关的问题了二、解决与钟面角有关的数学问题计算从某一时刻到另一时刻,时针(分针)转过的角度公式法:时(分)针从某一时刻到另一时刻转过的角度=时(分)针转过的时间时(分)针的转速(注意统一单位) 观察法:若时(分)
3、针转过了 a 大格 b 小格,则时(分)针从某一时刻到另一时刻转过的角度为:30a+6b例1.从3:15到7:45,时针转过 度从1:45到2:05,分针转过 度分析:从3:15到7:45,时针走过的时间为4.5小时(270分钟) ,时针转过的角度为:4.530=135(或2700.5=135 )或用观察法:时针共走了4大格2.5小格,时针转过的角度为:430+2.56=135从1:45到2:05,分钟走过的时间为20分钟,分针转过的角度为:206=120或用观察法:分针共走了4个大格(或20小格)分针转过的角度为:430=120(或:206=120) 计算某一时刻时针(分针)与分针(秒针)之
4、间的夹角求差法:以0点(12时)为基准到某一时刻止,时针转过的角度与分针在整点后的时间转过的角度差,即时针、分针之间的夹角观察法:某一时刻时针、分针相差 a 个大格 b 个小格,时针分针的钟面角=30a+6b例24:00点整,时针、分针的夹角为 11:40,时针、分针的夹角为 分析:4:00整,时针、分针相差4个大格,夹角为:430=120作差法:11:40,以0点(12时)为基准http:/ 交大家教http:/ 10 年专注,8 万上海家长首选朗朗家教网!时针转过的角度为:11 30=350分针转过的角度为:406=240时针、分针的夹角为:350240=110观察法:11:40分针、时针
5、相隔3 个大格,时针、分针的夹角为:3 30=110求时针、分针成特殊角时对应的时间方程思想:时针、分针成特殊角时对应的时间问题,通常以0点(12时)为基准将时针、分针所转过的角度可看成一个追及问题,从而借助方程进行求解相等关系:整点后分针转过的角度整点后时针转过的角度=整点时分针、时针的夹角(分针需追赶的角度)+a 时 x 分分针与指针的夹角(分针应多转的角度)或:分针整点后转过的角度时针从0点基准到现在时刻转过的角度=所成的特殊角例3你能用一元一次方程解决下面的问题吗?(课本习题 P114页第8题)在3时和4时之间的哪个时刻,钟的分针与时针:重合;成平角;成直角分析:重合:设3时 x 分时
6、针、分针重合3时整,时针、分针的夹角为90即在后 x 分钟,分针要比时针多走90,分针才能追及时针重合从3时整到3时 x 分,分针走过6x 度角,时针走过0.5x 度角依题意有6x0.5x=90 解得:x16分针与时针成平角:设3时 x 分时针、分针成平角,即在后 x 分钟,分针先要多走90追及时针,然后还要比时针多走180依题意有6x0.5x=90+180 解得:x49分针与时针成直角:应分两种情况讨论分针在时针的顺时针方向垂直此时钟面角为90即在后 x 分钟,分针先要多走90追及时针,然后还要比时针多走90依题意有6x0.5x=90+90180 解得:x33分针在时针的逆时针方向垂直此时钟
7、面角为270即在后 x 分钟,分针先要多走90追及时针,然后还要比时针多走270依题意有6x0.5x=90+90180 解得:x65(不合题意,舍去)钟面角的综合应用例4.在一个圆形时钟的表面,OA 表示秒钟,OB 表示分钟(O 为两针的旋转中心) 若现在时间恰好是12点整,问经过多少秒后,OAB 的面积第一次达到最大?分析:OAB 的面积最大,设 OA 边上的高为 h,则 h 总小于等于 OB,只有当 OAOB 时,h=OB,此时 OAB 的面积最大12点整,分针、秒针重合,设经过 x 秒,分针、秒针第一次垂直,OAB 的面积第一次达到最http:/ 交大家教http:/ 10 年专注,8 万上海家长首选朗朗家教网!大此时秒针走过角度为6x,分针走过的角度为0.1x依题意有6x0.1x=90 解得 x=15即经过15 秒后,OAB 的面积第一次达到最大