1、原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1专题三 压轴解 答题第一关 以立体几何中探索性问题为背景的解答题【名师综述】利用空间向量解决探索性问题立体几何中的探索性问题立意新颖，形式多样，近年来在高考中频频出现，而空间向量在解决立体几何的探索性问题中扮演着举足轻重的角色，它是研究立体几何中的探索性问题的一个有力工具，应用空间向量这一工具，为分析和解决立体几何中的探索性问题提供了新的视角、新的方法下面借“题”发挥，透视有关立体几何中的探索性问题的常见类型及其求解策略，希望读者面对立体几何中的探索性问题时能做到有的放矢，化解自如1. 以“平行”为背景的存在判断型问题典例 1 如图，四棱锥 的底面
2、是菱形， ， 平面 ， 是PABCD 06BCDPABCDE的中点.AB（1）求证：平面 平面 ；PDEAB（2）棱 上是否存 在一点 ，使得 平面 ？若存在，确定 的位置并加以证明；若不存在，CF/PDEF请说明理由.【解析】 （1）连接 ，因为底面 是菱形， ,所以 为正三角形.C60BABD因为 是 的中点, 所以 , 来源:学|科|网EABDEAB原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2因为 面 , ， ，PABCDEABC面 DEPA因为 ， ， ,EP所以 .面又 , 所以面 面 . 面 EAB所以 ， BFGE又 面 ， 面 ，PDPE 面 ，结论得证. 学_科网【名师指点】
3、本题是直线和平面平行的存在性问题，这种问题可以利用空间直角坐标系，通过建系设点，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3利用空间向量求解，如果利用传统立体几何的方法，就需利用分析法，利用直线和平面平行的 性质定理寻求点的位置【举一反三】如图所示,在四棱锥 中,四边形 是正方形,点 分别是线段 的中点.（1）求证： ;（2）线段 上是否存在一点 ,使得面 面 ,若存在，请找出点 并证明;若不存在,请说明理由.【解析】（1）证明：由四边形 为正方形可知，连接 必与 相交于中点 故 面 面（2）线段 上存在一点 满足题意，且 点 是 中点 理由如下：由点 分别为 中点可得： 面 面 由（1）可知
4、， 面且 来源:学#科#网故面 面类型 2 以“垂 直”为背景的存在判断型问题典例 2 如图，在四棱锥 中，四边形 为平行四边形， ， 为 中点,原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4（1）求证： 平面 ；（2）若 是正三角形，且 . ()当点 在线段 上什么位置时，有 平面 ？()在()的条件下，点 在线段 上什么位置时，有平面 平面 ？()当 时，有平面 平面过 作 于 ，由()知 ，平面 ，所以平面 平面易得【名师指点】以直线和平面垂直、直线和直线垂直为背景的垂直问题，可以 通过建立空间直角坐标系，通过直线的方向向量与平面的法 向量共线或者直线方向向量垂直求得，也可以利用传统立体几
5、何知识利用分析的方法，确定线、面垂直关系来求解【举一反三】 【北京市通州区 2018-2019 学年第一学期高三年级期末考试】如图，在三棱柱中， 底面 ， ABC 是边长为 的正三角形， ， D， E 分别为 AB， BC 的中点原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5（）求证： 平面 ； （）求二面角 的余弦值；（）在线段 上是否存在一点 M，使 平面 ？说明理由.【解析】 （）证明：在三棱柱 中，因为 底面 ，CD 平面 ABC， 所以 又 为等边三角形， 为 的中点，所以 因为 ， 所以 平面 ； （）取 中点 ，连结 ，则因为 ， 分别为 ， 的中点，所以 由（）知 ， ，如图建立
6、空间直角坐标系 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6由题意得 ， ， ， , , , , ， ， 设平面 法向量 ， 则 即 令 ，则 ， 即 平面 BAE 法向量 因为 ， ， ，所以 由题意知二面角 为锐角，所以它的余弦值为 . （）解：在线段 上不存在点 M，使 平面 理由如下假设线段 上存在点 M，使 平面 则，使得 来源:学科网因为 ，所以 又 ，所以 由（）可知，平面 法向量 ，平面 ，当且仅当 ，即 ，使得 所以 解得 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7这与 矛盾所以在线段 上不存在点 M，使 平面 类型 3 以“角”为背景的探索性问题典例 3 如图所示，在棱长
7、为 2 的正方体 中， 分别为 和 的中点.1ABCD,EF1AD1C(1)求证： 平面 ；EFA1CD(2)在棱 上是否存在一点 ，使得二面角 的大小为 ，若存在，求出 的长；若不存1BPACB30BP在，请说明理由.【解析】(1)证明：如图所示，分别以 所在的直线为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标1,Dxyz系 ，由已知得 ， ， ， ， ， ， Dxyz0,20A2,0B,20C1,2B10,2D， ，1,02E1F平面 的一个法向量是 ，1AC12,DB又 ，,2 ，140EFDB ，而 平面 ，1ACD 平面 .A1原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8(2)解：设点 ，2,(
8、02)Pt平面 的一个法向量为 ，AC,nxyz则 ， ， ， 0nP0,2t2,0AC ，取 ，则 ， ， ，2 ytzx1yxzt21,nt平面 的一个法向量 ，ABC10,2B依题意知， 或 ，1,3n5n ，即 ，解得 或 (舍)，124cos,tB2243tt63tt ，60,23在棱 上存在一点 ，当 的长为 时，二面角 的大小为 .1BPB63PACB30【名师指点】与“两异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角”有关的存在性问题，常利用空间向量法解决，可以避开抽象、复杂地寻找角的过程，只要能够准确理解和熟练应用夹角公式，就可以把“是否存在”问题转化为“ 点的坐标是否有解，是
9、否有规定范围内的解”等事实说明，空间向量法是证明立体几何中存在性问题的强有力的方法学_科网【举一反三】 【山东省德州市跃华中学 2017-2018 学年下学期高三模拟】如图所示，正四棱椎 P-ABCD 中，底面 ABCD 的边长为 2，侧棱长为 .原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9（I）若点 E 为 PD 上的点，且 PB平面 EAC.试确定 E 点的位置；（）在（I）的条件下，点 F 为线段 PA 上的一点且 ，若平面 AEC 和平面 BDF 所成的锐二面角的余弦值为 ，求实数 的值.【解析】 （）设 BD 交 AC 于点 O，连结 OE，PB平面 AEC，平面 AEC平面 BDP
10、OE ，PBOE ，又 O 为 BD 的中点，在BDP 中，E 为 PD 中点（）连结 OP，由题意得 PO平面 ABCD，且 ACBD，以 O 为原点，OC、OD、OP 所成直线为 x，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，OP ，A（ ，0，0） ，B（0， ，0） ，C（ ，0，0） ， D（0， ，0） ，P（0，0， ） ，则 E（0， ， ） ， （ ，0，0） ， （ ， ， ） ， （0， ，0） ，设平面 AEC 的法向量 （x，y，z） ，则 ，令 z1，得平面 AEC 的一个法向量 （0， ，1） ，设平面 BDF 的法向量 （ x，y，z） ，由 ，得 F（ ，0， ） ，
11、 （ ， ， ） ， ，令 z1，得 （ ，0，1） ，平面 AEC 和平面 BDF 所成的锐二面角的余弦值为 ，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10cos ，解得 【精选名校模拟】1. 【黑龙江省哈尔滨市第六中学 2019 届高三上学期期末考试】如图，在棱长为 2 的正方体中，点 分别是棱 上的动点，且 .（1）求证： ；（2）当三棱锥 的体积取得最大值时，求二面角 的正切值【解析】设 AEBF x 以 D 为原点建立空间直角坐标系，得下列坐标：D（0，0，0） ，A（2，0，0） ，B（2，2，0） ，C（0，2，0） ，D 1（0，0，2） ，A 1（2，0，2） ，B 1（2
12、，2，2） ，C 1（0，2 ，2） ，E（2，x，0） ， F（2x ，2， 0） （1）因为 ， ，所以 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11所以 A1FC 1E（2）因为 ，所以当 SBEF取得最大值时，三棱锥 B1BEF 的体积取得最大值因为 ，所以当 x1 时，即 E，F 分别是棱 AB，BC 的中点时，三棱锥 B1BEF 的体积取得最大值，此时 E，F 坐标分别为 E（2，1，0） ，F（1，2，0） 设平面 B1EF 的法向量为 ，则 得取 a2，b2，c1，得 显然底面 ABCD 的法向量为 设二面角 B1EF B 的平面角为 ，由题意知 为锐角因为 ，所以 ，于是
13、所以 ，即二面角 B1EF B 的正切值为 2. 【湖北省 2019 届高三 1 月联考测试】如图，在四棱锥 中， ， ， ，且 PC=BC=2AD=2CD=2 ， .原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12（1） 平面 ；（2）在线段 上，是否存在一点 ，使得二面角 的大小为 ？如果存在，求 的值；如果不存在，请说明理由.学科_网（2）方法一：在线段 上取点 ，使 则又由（1）得 平面 平面又 平面 作 于又 ， 平面 ， 平面 平面 又 平面 又 是二面角 的一个平面角设 则 ，这样，二面角 的大小为即 即原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13满足要求的点 存在，且方法二：取
14、 的中点 ，则 、 、 三条直线两两垂直可以分别以直线 、 、 为 、 、 轴建立空间直角坐标系且由（1）知 是平面 的一个法向量设 则 ， ，设 是平面 的一个法向量则 令 ，则 ，它背向二面角又平面 的法向量 ，它指向二面角这样，二面角 的大小为即 即满足要求的点 存在，且3. 【福建省龙岩市 2019 届高三第一学期期末教学质量检查】如图，四边形 是边长为 2 的正方形，平原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14面 平面 ，且 .（1）证明：平面 平面 ；（2）当 ，且 与平面 所成角的正切值为 时，求二面角 的正弦值.【解析】 （1）由题设知，平面 平面 ，交线为 .因为 ， 平
15、面 ，所以 平面 ，因此 ，又 ， ，所以 平面 .而 平面 ，所以平面 平 面 .（2）以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向建立如图所示的直角坐标系 ，则有 ， 过点 作 于 ，设 ，则 .因为 ，所以 ， ，由题设可得 ，即 ，解得 或 ，因为 ，所以 ，所以 ， .由 ，知 是平面 的法向量， .设平面 的法向量为 ，则 取 得 ，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！15设二面角 为 ，则 ，因为 ，.综上，二面角 的正弦值为 .4. 【福建省厦门市 2019 届高三年级第一学期期末质检】如图，在四棱锥 中， 平面 ，四边形 为平行四边形，且 ， .（1）证明： 平面 ；（2）当直
16、线 与平面 所成角的正切值为 时，求二面角 的余弦值.【解析】 （1）证明：由已知，得 ，在 中， ， ，即 ， 平面 ， 平面 ， ，又 ， 平面 ， 平面 ， 平面（2） 平面 ， 为直线 与平面 所成角， ， ，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16在 中， ，取 的中点 ，连结 ，则 ， 平面 ， 平面 ， ，又 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ，以 点为坐标原点，建立如图空间直角坐标系 ，则 ， ， ， ， ， ，设平面 的法向量为 ，则 ，取 ，解得 ，又平面 的法向量为 ， .二面角 的余弦值为 .5. 【北京市朝阳区 2018-2019 高三数学期末考试】如图，三棱柱 的
17、侧面 是平行四边形，平面 平面 ，且 分别是 的中点.（1）求证： 平面 ； （2）当侧面 是正方形，且 时， （）求二面角 的大小；（）在线段 上是否存在点 ，使得 ？若存在，指出点 的位置；若不存在，请说明理由.原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17【解析】证明：（1）取 中点 ，连 ，连 .在 中，因为 分别是 中点， 所以 ，且 .在平行四边形 中，因为 是 的中点，所以 ，且 .所以 ，且 .所以四边形 是平行四边形. 所以 .又因为 平面 ， 平面 ，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18所以 平面 . （2）因为侧面 是正方形，所以 .又因为平面 平面 ，且平面
18、平面 ，所以 平面 .所以 .又因为 ，以 为原点建立空间直角坐标系 ，如图所示.设 ，则 ，.（）设平面 的一个法向量为 .由 得 即 令 ，所以 .又因为 平面 ，所以 是平面 的一个法向量. 所以 .由图可知，二面角 为钝角，所以二面角 的大小为 .（）假设在线段 上存在点 ，使得 .设 ，则 .因为，又 ，所以 .所以 .故点 在点 处时，有6. 如图，在多面体 中，四边形 为直角梯形， ， ， ABCDMNABCD/ABCD2AB原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！19， ，四边形 为矩形.BCD2CAMDBDMN（1）求证：平面 平面 ；ADMBC（2）线段 上是否存在点 ，
19、使得二面角 的大小为 ？若存在，确定点 的位置并 加NHADM4H以证明.【解析】 （1）证明：由平面几何的知识，易得 ， ，2B又 ，所以在 中，满足 ，所以 为直角三角形，且 . 2ABABD2ABBDA因为四边形 为矩形，MN所以 . D由 ， ， ，可得 . BA平 面又 ，平 面所以平面 平面 . DMBC（2）存在点 ，使得二面角 为大小为 ，点 为线段 的中点.HADMHAB事实上，以 为原点， 为 轴， 为 轴，过 作平面 的垂线为 轴，建立空间直角坐xyDCz标系 ， Dxyz原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！20则 , ， 0,2,0DAB10,M设 ,由 ，Hxy
20、zND即 ，得 . 1,2H设平面 的一个法向量为 ，AD11nxyz则 ，即 ，不妨设 ，取 . 1y10,2n平面 的一个法向量为 . ADM,10二面角 为大小为H于是 . 解得 或 （舍去）. 所以当点 为线段 的中点时，二面角 为大小为 . HMNHADM7. 在三棱锥 中， ， 为 的中点， 平面 ，垂足 落在线段 上，PABCBCPOABCOAD已知 .4,3,2,1O（1）证明： ；（2）在线段 上是否存在一点 ，使得二面角 为直二面角？若存在，求出 的长；若APABAM不存在，请说明理由.原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！21法二：如图，以 为原点，分别以过 点与 共
21、线同向的向量， ， 方向上的单位向量为单位OODBODP正交基建立空间直角坐标系 ，则xyz0,20,1,2,0,3ABC0,234,02,3APBCA APBC（2）假设 点存在，设 ， ，则 ，MAP,Mxyz,2Axyz ，,20,3xyz ， 3z原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！22 ，0,2,3M ,B设平面 的法向量为 ，平面 的法向量为C11,nxyzAPC22,nxyz由 得 ，10 nB 11230 4令 ，可得 ，1y1,3由 得 ，20 nACP20 xyz令 ，可得 ，16y29,64若二面角 为直二面角，则 ，得 ，AMB120n32640解得 ， 来源:学
22、_科_网 Z_X_X_K61363故线段 上是否存在一点 ，满足题意， 的长为 .APAM6138. 【安徽省江南十校 2019 届高三第二次大联考】如图，已知四边形 中，对角线 ， 为等边三角形.（1）求 面积的最大值；（2）当 的面积最大时，将四边形 沿 折起成直二面角 ，在 上是否存在点 使直线 与平面 所成的角 满足： ，若不存在，说明理由；若存在，指出点 的位置.【解析】 （1）在 中，记 ， ，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！23则由余弦定理： ，（当且仅当 时，上式取等号）此时， ，的面积的最大值为 .（2）由（1）知， ， ，设存在 ，在三棱锥 中，取 的中点 ，连接
23、 ，易知 .作 于 ，由平面 平面 平面 .故 在平面 上的投影为 .与平面 所成的角为 ，由 .设 ，得 ， ，故 .故存在 ，且 ，满足题意.（2）另解：由（1） ， ，设存在 ，则在三棱锥 中，取 的中点 ，连接 ，易求 .原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24以 为坐标原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系，平面 的法向量为 ，设 ，得 ，得 ，又 .由.故存在 ，且 ，满足题意.9. 【云南省昆明市 2019 届高三 1 月复习诊断测试】如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形，平面 ， ， ， 是棱 上的一点.（1）若 平面 ，证明： ；学科_网（2）在（1）的
24、条件下，棱 上是否存在点 ，使直线 与平面 所成角的大小为 ？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【解析】原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！25（1）连接 交 于 ，连接 ，则 是平面 与平面 的交线.因为 平面 ， 平面 ，所以 .又因为 是 中点，所以 是 的中点.所以 .（2）由已知条件可知 ，所以 ，以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系.则 ， ， ， ， ， ， .假设在棱 上存在点 ，设 ，得 ， .记平面 的法向量为 ，则即 取 ，则 ，所以 .要使直线 与平面 所成角的大小为 ，则 ，即 ，解得 .所以在棱 上存在点 使直线 与平面 所成角的大小
25、为 .此时 .10. 【河南省开封市 2019 届高 三上学期第一次模拟考试】如图所示， 是边长为 2 的正方形， 平面 ，且 .原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！26（）求证：平面 平面 ；（）线段 上是否存在一点 ，使二面角 所成角的余弦值为 ？若存在，请找出点 的位置；若不存在，请说明理由.【解析】 （） 平面 ， 平面 ， 平面 ， ， ，又 ， ， 平面 ，又 平面 ，平面 平面 .（）如图所示，建立空间直角坐标系 ， ， ， ， .假设线段 上存在一点 满足题意， ， ， ，易知：平面 的一个法向量为 ， ， ，设平面 的一个法向量为 ，由 ，得 ，取 ，得 ， .点 为线
26、段 的中点时，二面角 所成角的余弦值为 .原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2711.如图，五面体 中， ，底面 是正三角形， ，四边形 是矩形，1ABC14ABC2AB1CB二面角 为直二面角（1） 在 上运动，当 在何处时，有 平面 ，并说明理由；DACD1/AB1DC（2）当 平面 时，求二面角 余弦值1/B1【解析】 （1）当 为 中点时，有 平面 1/1证明：连结 交 于 ，连结 ，C1OD四边形 是矩形，B 为 中点，又 为 中点，从而 ，O1A1/AB 平面 ， 平面 ，A1DCO1DC 平面 1/B（2）建立空间直角坐标系 ，如图所示，Bxyz原创精品资源学科网独家享有
27、版权，侵权必究！28则 ， ， ， ， ，(0,)B(3,10)A(,2)C3(,0)2D1(,23)C所以 ， ，(,)2D1(,)B设 为平面 的法向量，则有 即1(,)nxyz1C30,2xyz3,xz令 ，可得平面 的一个法向量为 ，1BD1(3,)n而平面 的一个法向量为 ，12(,0)所以 ，1122cos, 13|n故二面角 的余弦值为 1CBD12. 如图，已知平面四边形 中， 为 的中点， ， ，且ABCPDAPAB/CD将此平面四边形 沿 折成直二面角 ，连接 ，设24PA 、中点为 BE（1）证明：平面 平面 ；PBD（2）在线段 上是否存在一点 ，使得 平面 ？若存在，
28、请确定点 的位置；若不存在，FEPBCF请说明理由（3）求直线 与平面 所成角的正弦值AC【答案】 （1）详见解析；（2）点 存在，且为线段 上靠近点 的一个四等分点；（3） .FBD6原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！29（2）解法一：由（1）的分析易知， ，则以 为原点建立空间直角坐标,PDACDA系如图所示结合已知数据可得 ， ， ， ，(2,0)A(,20)B(,4)C(0,2)P则 中点 .来源:学科网PB1,E平面 ，故可设 ，FCD(,)Fxy则 ，(1,)xy平面 ， ，EAB0,EPC又 ，(2,)(,42)PC由此解得 ，即 ，1xyF易知这样的点 存在，且为线段
29、上靠近点 的一个四等分点； （8 分）BD解法二：（略解）如图所示，PADEzyxPABCDEFH原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！30在 中作 ，交 于 ，PBDEFPBDF因为平面 平面 ，则有 平面 CEPBC在 中，结合已知数据，利用三角形相似等知识可以求得 ，Rt 324FBD故知所求点 存在，且为线段 上靠近点 的一个四等分点； （8 分）FB解法二：（略解）如上图中，因为 ，所以直线 与平面 所成角等于直线 与平面/ABCDABPCCD所成角，由此，在 中作 于 ，易证 平面 ，PBCRtPHPDHB连接 ，则 为直线 与平面 所成角，HD结合题目数据可求得 ，故所求角的正弦值为 . （12 分）6sin613. 四棱锥 中， 为矩形，平面 平面 .ABCPPADBC（ 1）求证： ;D（2）若 问 为何值时，四棱锥 的体积最大？并求此时平面,2,90 BADP与平面 夹角的余弦值.PBCA BCDP【答案】 （1）详见解析， （2） 时，四棱锥的体积 P-ABCD 最大. 平面 BPC 与平面 DPC 夹角的余63A
