1、专题九 解析几何第二十七讲 抛物线一、选择题1 (2017 新课标)过抛物线 : 的焦点 ,且斜率为 的直线交 于点 (C24yxF3CM在 轴上方), 为 的准线,点 在 上且 ,则 到直线 的距离为MxlNlMlNFA B C D532 (2016 年全国 II 卷)设 F 为抛物线 C:y 2=4x 的焦点,曲线 y= kx(k0)与 C 交于点P,PFx 轴,则 k=A 1B1 C 32D23 (2015 陕西)已知抛物线 ( )的准线经过点 ,则该抛物线的焦点坐2ypx0(1,)标为A(1,0) B(1,0) C(0 ,1) D(0,1)4 (2015 四川)设直线 与抛物线 相交于
2、 两点,与圆l24yx,AB相切于点 ,且 为线段 的中点若这样的直线 恰有22(5)(0)xyrMl4 条,则 的取值范围是A B C D13, 14, 23, 24,5 (2014 新课标 1)已知抛物线 : 的焦点为 ,准线为 , 是 上一点,8yxFlPl是直线 与 的一个焦点,若 ,则 =QPF4PQ|A B C3 D27256 (2014 新课标 2)设 为抛物线 C: 的焦点,过 且倾斜角为 30的直线交yxF于 两点, 为坐标原点,则 的面积为C,OOABA B C D3493862947 (2014 辽宁)已知点 在抛物线 C: 的准线上,过点 A 的直线与 C 在(,)Ay
3、px第一象限相切于点 B,记 C 的焦点为 F,则直线 BF 的斜率为A B C D122334438(2013 新课标 1) O为坐标原点, F为抛物线 2:yx的焦点, P为 C上一点,若 |4PF,则 P的面积为A 2 B 2 C 23 D 49 (2013 江西)已知点 ,抛物线 的焦点为 F,射线 FA 与抛物线 C 相,0A:4xy交于点 M,与其准线相交于点 N,则|FM|:|MN|=A2: B1:2 C1: D1:35510 (2012 新课标)等轴双曲线 的中心在原点,焦点在 轴上, 与抛物线 的xCxy162准线交于 、 两点, ,则 的实轴长为34|AA B C4 D82
4、211 (2012 山东)已知双曲线 1C:21(0,)xyab的离心率为 2若抛物线2:(0)Cxpy的焦点到双曲线 1的渐近线的距离为 2,则抛物线 2C的方程为A 83 B 263xy C 28xy D 16xy12 (2011 新课标)已知直线 过抛物线 C 的焦点,且与 C 的对称轴垂直, 与 C 交于 ,l lA两点, , 为 C 的准线上一点,则 的面积为B|1PABPA18 B24 C36 D48二、填空题13(2018 北京)已知直线 过点 且垂直于 轴,若 被抛物线 截得的线段长l(1,0)xl24yax为 4,则抛物线的焦点坐标为_14 (2015 陕西)若抛物线 的准线
5、经过双曲线 的一个焦点,则2()yp21= p15 (2014 湖南)如图,正方形 ABCDEFG和 正 方 形 的边长分别为 ,()ab,原点O为 AD的中点,抛物线 2(0)ypx经过 ,两 点 , 则 16 (2013 北京)若抛物线 2ypx的焦点坐标为 (1,0),则 p ,准线方程为 17 (2012 陕西)右图是抛物线形拱桥,当水面在 l时,拱顶离水面 2 米,水面宽 4 米,水位下降 1 米后,水面宽 米18 (2010 浙江)设抛物线 的焦点为 ,点 若线段 的中点2(0)ypxF(0,2)AFA在抛物线上,则 到该抛物线准线的距离为_BB三、解答题19 (2018 全国卷)
6、设抛物线 的焦点为 ,过 且斜率为 的直线24:Cyx(0)k与 交于 , 两点, lCA|8(1)求 的方程;(2)求过点 , 且与 的准线相切的圆的方程B20 (2018 浙江)如图,已知点 是 轴左侧(不含 轴)一点,抛物线 : 上存PyyC24yx在不同的两点 , 满足 , 的中点均在 上ABP MBAOy x(1)设 中点为 ,证明: 垂直于 轴;ABMPy(2)若 是半椭圆 ( )上的动点,求 面积的取值范围P214yx0xPAB21 (2017 新课标)设 , 为曲线 : 上两点, 与 的横坐标之和为 4ABC24xy(1)求直线 的斜率;(2)设 为曲线 上一点, 在 处的切线
7、与直线 平行,且 ,求直MCMABMB线 的方程AB22 (2017 浙江)如图,已知抛物线 点 , ,抛物线上的点2xy1(,)2439(,),过点 作直线 的垂线,垂足为 (,)Pxy13)2xBAPQyxQABPO()求直线 斜率的取值范围;AP()求 的最大值|Q23 (2016 年全国 I 卷)在直角坐标系 中,直线 : 交 轴于点 ,交抛xyl(0)ytyM物线 : 于点 , 关于点 的对称点为 ,连结 并延长交C2(0)ypxPMNO于点 H(I)求 ;|ON(II)除 以外,直线 与 是否有其它公共点?说明理由C24 (2016 年全国 III 卷)已知抛物线 : 2yx的焦点
8、为 F,平行于 x轴的两条直线12,l分别交 C于 AB,两点,交 的准线于 PQ,两点(I)若 F在线段 上, R是 的中点,证明 AR;(II)若 PQ的面积是 F的面积的两倍,求 B中点的轨迹方程25 (2016 年浙江)如图,设抛物线 2(0)ypx的焦点为 F,抛物线上的点 A 到 y 轴的距离等于 |1AF(I)求 p 的值;(II)若直线 AF 交抛物线于另一点 B,过 B 与 x 轴平行的直线和过 F 与 AB 垂直的直线交于点 N,AN 与 x 轴交于点 M.求 M 的横坐标的取值范围26 (2015 浙江)如图,已知抛物线 : ,圆 : ,过点1C24yxC22(1)xy作
9、不过原点 的直线 , 分别与抛物线 和圆 相切, 为(,0)PtOPAB2,AB切点()求点 的坐标;,AB()求 的面积P注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则该直线与抛物线相切,称该公共点为切点27 (2015 福建)已知点 为抛物线 ( )的焦点,点 在抛物F:2ypx02,mA线 上,且 3()求抛物线 的方程;()已知点 ,延长 交抛物线 于点 ,证明:以点 为圆心且与直1,0GFF线 相切的圆,必与直线 相切28 (2014 山东)已知抛物线 的焦点为 , 为 上异于原点的任意) 0(2:pxyCAC一点,过点 的直线 交 于另一点 ,交 轴的正半轴于点
10、,且有 ,AlBDF当点 的横坐标为 3 时, 为正三角形。DF()求 的方程;()若直线 ,且 和 有且只有一个公共点 ,l/11CE()证明直线 过定点,并求出定点坐标;AE() 的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说B明理由29 (2014 陕西)如图,曲线 由上半椭圆 和部分抛C21:(0,)yxaby物线 连接而成, 的公共点为 ,其中 的离心率22:1(0)yx2,C,AB1C为 3()求 的值;,ab()过点 的直线 与 分别交于 (均异于点 ) ,若 ,Bl12,C,PQ,ABPQ求直线 的方程30 (2013 广东)已知抛物线 C的顶点为原点,其焦点 0,
11、Fc到直线:20lxy的距离为 32设 P为直线 l上的点,过点 P作抛物线 C的两条切线,PAB,其中 ,为切点()求抛物线 C的方程;()当点 0,xy为直线 l上的定点时,求直线 AB的方程;()当点 P在直线 l上移动时,求 F的最小值31 (2012 新课标)设抛物线 : 的焦点为 ,准线为 , 为 上一C)0(2pyxFlAC点,已知以 为圆心, 为半径的圆 交 于 、 点FAlBD()若 , 的面积为 ,求 的值及圆 的方程;oBD90B4()若 、 、 三点在同一直线 上,直线 与 平行,且 与 只有一个公mnn共点,求坐标原点到 、 距离的比值n32 (2011 新课标)在平面直角坐标系 中, 已知点 , 点在直线 上,xoy(0,1)AB3y点满足 , , 点的轨迹为曲线 CM/BOAMB()求 C 的方程;() 为 C 上动点, 为 C 在点 处的切线,求 点到 距离的最小值PlPOl