1、高考数学热点难点突破技巧第 01 讲:抽象函数的图像和性质问题的处理【知识要点】一、抽象函数的考查常常表现在求抽象函数的定义域、值域、单调性、奇偶性和周期性等方面.二、抽象函数虽然不是具体函数,但是它的图像和性质的研究方法和具体函数仍然是一样的,只不过是函数没有解析式,比较抽象,难度稍微大些.【方法点评】题型一 抽象函数的定义域解题步骤利用已知条件得到关于 的不等 式【(1)已知原函数 的定义域为 ,求复合函x()fx(,)ab数 的定义域:只需解不等式 ,不等式的解集即为所求函数的定义域.()fgx()agxb(2)已知复合函数 的定义域为 ,求原函数 的定义域:只需根据()fgx,()fx
2、求出函数 的值域,即得原函数 的定义域.) 】 ,再解不等式,得到抽象axb()f函数的定义域.【例 1】已知函数 的定义域是 ,求函数 的定义域.)(f21,)3(log21xf【例 2】已知函数 的定义域为 ,求函数 的定义域.(24)yfx0,1f( x)【解析】 的定义域为 ,即在 中 ,令 , (24y0,124tx ,则 ,即在 中, 的定义域为 .来源:学科网x0,1t,6()ft4,6f( )6【点评】 (1)已知原函数 的定义域为 ,求复合函数 的定义域:只需解不等式x()ab()fgx,不等式的解集即为所求函数的定义域.例 1 就是典型的例子.(2)已知复合函数 的()ag
3、xb ()fgx定义域为 ,求原函数 的定义域:只需根据 求出函数 的值域,即得原函数,()fxxb()x的定义域.例 2 就是典型的例子.()fx【反馈检测 1】若函数 的定义域为 ,求函数 的定义域.)1(xfy)3,2)21(xfy题型二 抽象函数的值域解题步骤 一般先分析出抽象函数的单调性,再利用抽象函数的单调性来分析解答.【例 3】已知函数 对任意实数 恒有 ,且当 时, ,又()fx,xy()(+y)fyfx0x()0fx.1=2f( )(1)判断 的奇偶性; (2)求证: 是 R 上的减函 数;(3)求 在区间3,3上的值域;()fx()fx()fx(4)若 ,不等式 恒成立,求
4、 的取值范围R2()4faxa(2)证明: 任取 ,且 ,则 , ,12,(,)x12x10x2121()()0ffxfx ,又 为奇函数, 是 上的减函数来源:学科网 ZXXK2()()fff 2()ffR(3)由(2)知 在 上为减函数,xR对任意 ,恒有 ,3,(3)(3)fxf ,()2(1)126ff , 在 上的值域为 6x,(4) 为奇函数,整理原式得 ,则 ,()fx2()()(2)fafxf2()(2)faxfx 在 上是减函数, ,,)当 时, 在 上不是恒成立 ,与题意矛盾;0a2xR当 时, ,要使不等式恒成立,则 ,即 ;0980a98当 时, 在 上不是恒成立,不合
5、题意23x综上所述, 的取值范围为 a9+8( , )【点评】 (1)证明抽象函数的单调性的方法和证明具体函数的单调性方法本质上是一样的.先设,再利用已知条件判断 的符号,如果 ,则函数是减1212,xDx且 12()fxf12()0fxf函数;如果 ,则函数是增函数. (2)求抽象函数的值域,一般先分析出抽象函数的单()0ff调性,再求函数的值域. 【反馈检测 2】已知函数 的定义域为 ,且同时满足:(1)对任意 ,总有 ;(2)()fx0,10,1x()2fx(3)若 且 ,则有 .(1)3f120,x12212()()fxff(I)求 的值;(II)求 的最大值.()fx题型三 抽象函数
6、的奇偶性解题步骤和判断具体函数的奇偶性一致,但是难度要大一点,解题过程中要找到 和()fx的关系,多用赋值法(特殊值).()fx【例 4】已知函数 对任意不等于零的实数 都有 ,试)0R, 21x、 12()fx12()ffx判断函数 的奇偶性.()fx【点评】 (1)判断函数的奇偶性的方法:首先必须考虑函数的定义域,如果函数的定义域 不关于原点对称,则函数一定是非奇非偶函数;如果函数的定义域关于原点对称,则继续求 ;最后比较 和()fx()fx的关系,如果有 = ,则函数是偶函数,如果有 =- ,则函数是奇函数,否则()fx()fxf ()f是非奇非偶函数.(2)抽象函数奇偶性的判断和判断具
7、体函数的奇偶性一致,但是难度要大一点,解题过程中要找到 和 的关系,多用赋值法(特殊值).()f(f【反馈检测 3】定义域为 的函数 满足:对于任意的实数 都有 成立,且R)(xf ,xy()()fyfxy当 时 恒成立.0x)f((1)判断函数 的奇偶性,并证明你的结论;(x(2)证 明 为减函数;若函数 在 上总有 成立,试确定 应满足的条件.)(xf )(xf3,)6fx( (1)f题型四 抽象函数的单调性解题步骤 一 般利用单调性的定义和导数证明函数的单调性,再利用抽象函数单调性的分析解答.【例 5】 定义在实数集上,当 时, ,对于任意实数 ,有 ,)(xf 0x1)(xf ,xy(
8、)fy()fxy求证: 在 上为增函数.R【解析】证明:在 中取 ,得)()(yfxyf0x2)0(ff若 ,令 ,则 ,与 矛盾, 所以 ,即有0)(f 0x, 1)(f 1)0(f当 时, ;当 时,x1)(fxx,而 所以0)(ff 0)()ff来源:学,科,网【点评】 (1 )抽象函数虽然没有解析式,但是在判断证明函数的单调性的方法上和具体函数是一致的,同样利用函数的单调性的定义和导数.(2)利用单调性 的定义时,关键在于分解化简,这是解答的关键,12121121121()fx()()()()()ffxfxfxfxfx-=-+-=-=-想方设法把变量 或 ,按照已知条件拆开,并严格说明
9、它的符号.学+科-网2【反馈检测 4】已知函数 的定义域为 R,对任意实数 都有 ,且当 时,()fx,mn()()ffmn0x.0()1fx(1)证明: ; (2)证明: 在 上单调递减.,0x且 时 f()1()fxR【反馈检测 5】已知函数 的定义域是 的一切实数,对定义域内的任意 ,都有0x12,x,且当 时 , .1212()()fxffx()f(2)1f(1)求证 是偶函数;(2) 在 上时增函数;(3)解不等式 .x,2()fx【例 6】设函数 是奇函数 ( )的导函数,且 ,当 时,()fx()fxR(2)0fx,则使得 成立的 的取值范围是( )()0xf0A B C D,2
10、,2,2,【解析】设 在 上是减函数,又 (2()() 0()(fxxffggxgx0)()fx)是奇函数,所以 ,所以 是偶函数,xRff (fffg)g(2)0(2)f作出图象如 下图,由 ,故选 A.0()()()0xxfxgg或 ,20,x【点评】 (1)这个抽象函数的单调性,不能通过单调性的定 义来推导,只能通过导数的性质来推导. (2)解答本题的关键是根据已知条件 联想到商的导数,还原公式,再构造函数,得到新函数的()0xff单调性、奇偶性和特殊点,再作草图分析.来源: 学科网【反馈检测 6】 【2017 天津,理 6】已知奇函数 在 R 上是增函数, .若 ,()fx()gxf2
11、(log5.1)a, ,则 a,b,c 的大小关系为( )0.8(2)bg(3)cgA. B. C. D.acbca题型五 抽象函数的周期性解题步骤 一般先结合已知猜想函数的周期,再利用周期性的定义严格证明.【例 7】已知函数 是定义域为 的奇函数,且它的图象关于直线 对称.()fxR1x(1)求 的值; (2)证明: 函数 是周期函数;(0)f ()fx(3)若 求当 时,函数 的解析式,并画出满足条件的函数 至少一个周()01),fxxR()fx ()fx期的图象.【解析】(1)解: 为 上的奇函数, 对任意 都有 ,令 则()f ,xR()(ff0, =0(0)ff0(3)当 时,1,3
12、x(1)23xf当 时, ,4k(4fkZ当 时, ,13xk)x 图象如下:(41() ,243)kf zR【点评】 (1)对于抽象函数的周期性,一般如果 1 不是它的周期,就猜想 2 是它的周期,如果 2 不是它的周期,就猜 4 是它的周期(偶数倍) ,再证明.(2)如果函数 满足 ,则函数()fx()()fafxb的周期 为 ,如果函数 满足 ,则函数 的周期 为 .学+科()fxT|ab()fx()faT|a0.0 网【反馈检测 7】已知函数 满足 ,若 ,试求 .()fx1()()fxf(0)24f(205)f来源:Zxxk.Com高考数学热点难点突破技巧第 01 讲:抽象函数的图像
13、和性质问题的处理参考答案【反馈检测 1 答案】 ),21(3,(【反馈检测 1 详细解析】由 的定义域为 ,知 中的 ,从而 ,xfy)3,21x)3,241x对函数 而言,有 ,解之得: .)2(xfy14(,(所以函数 的定义域为 ),21(3,(【反馈检测 2 答案】 (1) ;( 2)0)=fmax3ff(II)任意 且 ,则12,0,x12x21210,()xfx2()()(ffffmax()3ff【反馈检测 3 答案】 (1)奇函数;(2) .【反馈检测 3 详细解析】 (1)由已知对于任意的实数 都有 成立.,xy()()fyfxy令 ,得 ,0xy()(0)ff(0)f令 ,得
14、 对于任意 ,都有 是奇函数.xxx()(fxf()fx(2)设任意 且 ,则 ,由已知 (1)12,R12120又 (2)()()()fxfxffxf由(1) (2)得 ,根据函数单调性的定义知 在 上是减函数.12)(xf,) 在 上的最大值为 .要使 恒成立,当且仅当 ,)(xf3,)(3f) )6fx( (3f) 6又 , (21)(1()1)1f f()2f【反馈检测 4 答 案】 (1)见解析;(2)见解析.【反馈检测 4 详细解析】(1) 证明:令 ,则0mn(0)()ff当 时, ,故 , ,当 时,0x()fx(1)f)1fx0(1fx当 时, ,则 ()( )fffxfff
15、【反馈检测 5 答案】 (1)见解析;(2)证明见解析 ;(3) .1020,2xx且【反馈检测 5 详细解析】 12()(1)()xfff令12(01()0xff令()()xxfxffx令 是 偶 函 数 1 1121222222()0( ()xfffffffA设112 1222 2)0()0xxf fxffx时 ,0+函 数 在 ( , ) 上 是 增 函 数12(3)()(2)(4)xfff令 )4+f x是 偶 函 数 在 ( 0, ) 上 时 增 函 数.学/科 0 网20102,2|4x x且【反馈检测 6 答案】 C【反馈检测 6 详细解析】因为 是奇函数且在 上是增函数,所以在 时, ,()fxR0x()0fx,所以 是 上的偶函数.()()gxf g( )()xfR当 时, 因为0()(xffxff()xf所以 所以 在 上是增函数,()0gfxf)x0,), ,又 ,则 ,22log5.1(l.)a0.8245.182log5.13所以即 ,所以 , 所以 ,故选 C0.83.2()(log)(3bac【反馈检测 7 答案】 (5)20f 是以 4 为周期的周期 函数 又()fx (2)04f = = =- =- 1(04205()fff1()f2053(205)f3