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类型第08讲 立体几何探究点的位置的方法-高考数学热点难点突破技巧.doc

  • 上传人:eco
  • 文档编号:7427075
  • 上传时间:2019-05-17
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    第08讲 立体几何探究点的位置的方法-高考数学热点难点突破技巧.doc
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    1、高中数学热点难点突破技巧第 08 讲:立体几何探究点的位置的方法【知识要点】一、立体几何中经常出现探究点的位 置的习题,有些同学遇到这种类型的习题, 感到比较迷茫. 立体几何中探究点的位置的方法一般有三种:猜想证明法、直接探究法和设点解方程法.二、由于文科生没有空间向量,所以文科生一般不用设点解方程法,文科生一般选择猜想证明法和直接探究法. 【方法讲评】方法一 猜想证明法使用情景 点的位置刚好很特殊(中点或 1:2 等分点等) ,证明也比较方便.解题步骤 一般先猜想特殊位置(中点, 等分点等) ,再证明.n【例 1】如图,在四棱锥 中,底面 为直角梯形,且 ,PABCDAB/ADBC,侧面 底

    2、面 . 若 .90ABC12P(1)求证: 平面 ;(2)侧棱 上是否存在点 ,使得 平面 ?若存在,指出点 的位置并证明,若不存在,请PE/ E说明理由;(3)求二面角 的余弦值.ADC在底面 中,因为 , ,ABCD90ABCD12ABCD所以 , 所以 .2又因为 , 所以 平面 . PACDPAC来源:学科网 ZXXK(3)由(1)知, 底面 ,以 为原点, 分别为 轴建立空间直角坐标系PABCDA,BCAP,xyz,设 ,则 ( 0,0,1) , (1,0,0), (0,2,0), (1,1,0),则 =(1,1,-1), =(-xOyzB CD1,1,0),显然 平面 ,所以 为平

    3、面 的一个法向量.AP),(ABPA设面 的一个法向量 =( ),CDn,xyz则 = =0 且 = =0,取 =1,则 =1, =2,则 .nxyzCxyz(1, 2)n设二面角 的大小为 ,由图可知, 为锐角,AP所以 ,来源:学*科*网6cosBn即二面角 的余弦值为 . APDC6【点评】 (1)由于 ,所以观察联想取 的中点 试验证明,刚好又可以证明点 满足条件,12BA=PAEE所以这种方法此时是可行的. (2)这种猜想证明法是有局限的,如果动点不是特殊点,那就不好处理,既浪费了考试的时间, 又给自己制造了紧张气氛 . 【反馈检测 1】在长方体 中, ,过 , , 三点的平面截去长

    4、方体1DCBA2B1ACB的 一个角后,得到如图所示的几何体 ,这个几何体的体积为 .1 340(1)证明:直线 平面 ; (2)求棱 的长;11(3)在线段 上是否存在点 ,使直线 与 垂直,如果存在,求线段 的长,如果不存在,BCP1ACD1AP请说明理由.来源:Zxxk.Com方法二 直接探究法使用情景 直接求解.解题步骤 直接通过解三角形(正弦定理、余弦定理、直角三角函数和相似三角形) 等求解.【例 2】如图, 直三棱柱 中,侧棱长为 2, , 是 的中点,1ABC1ACB09, D1AB上是否存在点 , 交于点 ,且 ,如果存在,求线段 的长.1BFD, E11DF平 面 F【解 析

    5、】假设 上是否存在点 ,设 则 .1BF1=,Bx12A0111119ABCDFABFDBE平 面 019EA01111ABFBF:122xxBF【点评】 (1)本 题如果利 用猜想证明法,猜想中点,但是本题恰好不是中点,所以显示出猜想证明法的局限性了. (2)本题利用的是直接探究法,直接通过解三角形(相似三角形)求得. 解三角形可以利用正弦定理、余弦定理、三角函数和相似三角形.学科网来源:Zxxk.Com【反馈检测 2】如图,四边形 为矩形, 平面 , , 平面 ,ABCDABE2ABCFACE且点 在 上FCE(1)求证: ;(2)求三棱锥 的体积;AE(3)设点 在线段 上,且满足 ,试

    6、在线段 上确定一点 ,使得 平面 .M2MCN|MD方法三 设点解方程法使用情景方法比较普遍,已知条件适合建立空间直角坐标系,适用于大多数题目 .(文 科生一般不用此法,因为文科没有空间向量)解题步骤先设点 ,且 ,再用 表示点 的坐标 ,()Pxyz(,)APBabll=lP(),()fghll最后把点 的坐标代入已知的某个条件等式求出 的值,即得点 的位置.【例 3】如图,四棱柱 中, 侧棱 底面 , ,1DCBA1BCDADB,/, , 为棱 的中点. 1CDA2AEA(1) 证明: ; (2) 设点 在线段 上 , 且直线 与平面 所成角的正弦值为ME1M1, 求线段 的长. 62(2

    7、) 设 有1(0,)(,).AEC ,10),(1ECM.可取 为平面 的一个法向量.M)2,0ABAD设 为直线 与平面 所成角,则1D.123|,cos|in ABMA于是 解得 所以 .,62132.1【点评】(1)本题试验 中点,发现证明不了,所以最好直接利用设点解方程组法.先设点 ,且EC ()Pxyz,再用 表示点 的坐标 ,最后把点 的坐标代入已知的某(,)APBabll=lP(),()fghll个条件等式求出 的值,即得点 的位置.(2)在设点时,要注意 的范围,以免出现增解.(3)设点时,有时不需要设三个未知数,要结合实际情况,确定未知数的个数,未知数越少越好.学科¥网【反馈

    8、检测 3】如图所示,正方形 DA1与矩形 BC所在平面互相垂直, 2ADB,点 E为AB的中点.(1)求证: 1D平面 E1;(2)求证: E1A;(3)在线段 上是否存在点 M,使二面角 C的大小为 6?若存在,求出 AM的长;若不存在, 请说明理由.【反馈检测 4】如图, ABC的外接圆 O:的半径为 5, CDO:所在的平面,/BECD, , 2,且 1E, tan2AB(1)求证:平面 平面 ADCBE(2)试问线段 上是否存在点 ,使得直线 与平面 所成角的正弦值为 27?若存在,确定点EMACD的位置,若不存在,请说明理由M高中数学热点难点突破技巧第 08 讲:立体几何探究点的位置

    9、的方法参考答案【反馈检测 1 答案】 (1 )证明见解析;(2)4;(3)存在, 129.AP(2)解:设 ,几何体 的体积为 ,1Ah1ABCD403 , 即 ,111403BCDBCDVV1403ABCDABCShSh即 ,解得 的长为 4223hhh1(3)在平面 中作 交 于 ,过 作 交 于点 ,则 11Q1Q/PB1P1ACD因为 ,而 ,11111,ADCDCDA平 面 平 面 11/,/,/QPCBADQP又 , 且 QAPQ平 面 1平 面 .1111,/,42Rt 又为直角梯形,且高211 95,()5DAP.1APQD四 边 形【反馈检测 2 答案】(1 )见解析;(2)

    10、见解析.(3)点 为线段 上靠近点 的一个三等分点.NCE【反馈检测 2 详细解析】(3)解:在 中,过点 作 交 于点 ,在 中过点 作 交 于ABEMGAEBGBECGNBCE点 ,连结 ,则由 ,得 .NCN13CN由 , 平面 , 平面 ,则 平面 .MGDMAD再由 , , 平面 , 平面 ,得 平面 ,所以平面 平面 .又 平面 ,则 平面 .AEGAEGNADE故当点 为线段 上靠 近点 的一个三等分点时, 平面 .NCNE【反馈检测 3 答案】 (1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)存在,32.A【反馈检测 3 详细解析】 (1) 连结 交 于 ,连结 ,因为四边形 为正方

    11、形,所以 为1ADFE1ADF的中点,又点 E为 B的中点,在 中,有中位线定理有 / ,而 平面 ,1AD1BFB11AE平面 ,所以, /平面 .EF11依题意,以 为坐标原点, 、 、 分别为轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系,因为xDADC1yz2AB,则 , , ,所 ,(0,)(,20)(,)1(0,)D1(0,2)C易知 为平面 的法向量,设 ,所以 平面 的法向量为1MCa2,Ma1DM,所以 ,即 ,所以 ,取 ,(,)nxyz10n(,)1,)02xyz()zyxy则 ,又二面角 D1的大小为 6,2,a所以 ,解得 .122|(,),)|cos6Dna 32a故在线段 AB

    12、上是存在点 M,使二面角 C1的大小为 6,且 .32AM【反馈检测 4 答案】 (1)答案详见解析;( 2)存在,且 学#科5 网13DE【反馈检测 4 详细解析】 (1) C平面 ,DAB| 平面 , =1, tan25 21A,BEACBE从而 25 O的半径为 , 是直径,B 又CD 平面 ,CD ,故 平面ACCDB平面 BCDE,平面 平面DBE(2)方法 1:假设点 存在,过点 作 于 ,连结 ,作 于 ,连结MNANMFBAF平面 平面 , 平面 , 为 与平面 所成的角ACDBE故 23MNCB,从而满足条件的点 M存在,且 23DE方法 2:建立如图所示空间直角坐标系 ,Cxyz Ox yzA BDECM则: (4,0,0) , (0,2,0) , (0,0,4) , (0,2,1) , (0,0,0) ,则 (0,23)DEABD易知平面 的法向量为 (,)O,假设 点存在,设 (,)Mabc,则 (,4abc,再设C,(0,1DME22434aabbcc,即 (0,243),从而 (,23)A设直线 与平面 所成的角为 ,则: 22sino, 7164(3)AOB:BAD解得 423或 ,其中 4(0,13应舍去,而 2(0,3故满足条件的点 存在,且点M的坐标为 (0,)M

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