1、1981 年2018 年全国高中数学联赛一试试题分类汇编10、计数问题、概率与统计部分2018A 3、将 随机排成一行，记为 ，则 是偶数的概率为 6,542,1 fedcba, defabc答案： 09解析：先考虑 为奇数时， ， 一奇一偶，若 为奇数，则 为 的defabccefccba,5,31排列，进而 为 的排列，这样共有 种；若 为偶数，由对称性得，也有f,6,4236ab种，从而 为奇数的概率为 ，故所求为36efc10!721092018B 3、将 随机排成一行，记为 ，则 是奇数的概率为 ,542,1 fedcba, defabc答案： 0解析：由 为奇数时， ， 一奇一偶，
2、若 为奇数，则 为 的排列，defabccefccba,5,31进而 为 的排列，这样共有 种；若 为偶数，由对称性得，也有f,6,4236ab种，从而 为奇数的概率为 。 36efc10!722017A 6、在平面直角坐标系 中，点集 ，在 中随机取出三个点，xOy1,|)(yxKK则这三个点中存在两点距离为 的概率为 5答案： 74解析：由题意得 有 个点，故从中取出三个点共有 种。K98439C将 中的点按右图标记为 ，其中有 对点之间的距OA,821离为 ，由对称性，考虑取 两点的情况，则余下的一个点有54,种取法，这样有 个三点组（不考虑顺序） 。对每个 （ ） ， 中恰有75687
3、iA8,21K两点与之的距离为 （这里下标按模 8 可以理解） ，因而恰有 这 个三53,iiA553,iiA8点组被计了两次，从而满足条件的三点组个数为 ，进而所求的概率为 。456742017B 6、在平面直角坐标系 中，点集 ，在 中随机取出三个点，xOy1,0,|)(yxKK则这三个点两两之间距离不超过 的概率为 2答案： 145解析：注意 中共有 9 个点，故在 中随机取出三个点的方式数为 种，K 3984C当取出的三点两两之间距离不超过 2 时，有如下三种情况：（1）三点在一横线或一纵线上，有 6 种情况，（2）三点是边长为 的等腰直角三角形的顶点，有 种情况，1, 416（3）三
4、点是边长为 的等腰直角三角形的顶点，其中，直角顶点位于 的有 4 个，直2 (0,)角顶点位于 ， 的各有一个，共有 8 种情况 .(,0)(,)综上可知，选出三点两两之间距离不超过 2 的情况数为 ，进而所求概率为 .6183358412016A 4、袋子 中装有 张 元纸币和 张 元纸币，袋子 中装有 张 元纸币和 张 元纸币，A2103B45现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则 中剩下的纸币面值之和大于 中剩下的纸币面值之和A的概率为 答案： 359解析：一种取法符合要求，等价于从 A 中取走的两张纸币的总面值 小于从 B 中取走的两张纸a币的总面值 ，从而 故只能从 A 中国取走两张
5、1 元纸币，相应的取法数为b105a又此时 ，即从 B 中取走的两张纸币不能都是 1 元纸币，相应有23C2种取法因此，所求的概率为 18237 35920483275C2016B 5、将红、黄、蓝 3 个球随机放入 5 个不同的盒子 中，恰有两个球放在同一盒EDBA,子的概率为 答案： 251解析：样本空间中有 个元素而满足恰有两个球放在同一盒子的元素个数为3125过所求的概率为23560.CP60.p2015A 5、在正方体中随机取 条棱，他们两两异面的概率为 3答案：解析：设正方体为 ABCD-EFGH，它共有 12 条棱，从中任意取出 3 条棱的方法共有 =220312C种下面考虑使
6、3 条棱两两异面的取法数由于正方体的棱共确定 3 个互不平行的方向（即 AB、AD 、AE 的方向） ，具有相同方向的 4 条棱两两共面，因此取出的 3 条棱必属于 3 个不同的方向可先取定 AB 方向的棱，这有 4 种取法不妨设取的棱就是 AB，则 AD 方向只能取棱 EH 或棱 FG，共 2 种可能当 AD 方向取棱是 EH 或 FG 时，AE 方向取棱分别只能是 CG 或 DH由上可知，3 条棱两两异面的取法数为 42=8，故所求概率为 82052015B 8、正 2015 边形 内接于单位圆 ，任取它的两个不同顶点 ，20151AOjiA,则 的概率为 jiOA答案： 670解析：因为
7、 ，所以|1ij222| |2(1cos,)ijijij ijAOAOA故 的充分必要条件是 ，即向量 的夹角不超过jiOcos,ij,ij对任意给定的向量 ，满足条件 的向量可的取法共有： 32iji种，故 的概率是： 213405 1jiA2015346710p2014A 8、设 是空间四个不共面的点，以 的概率在每对点之间连一条边，任意两对点DCBA, 2之间是否连边是相互独立的，则 可用（一条边或者若干条边组成的）空间折线连接的概率为 BA,答案： 43解析：每对点之间是否连边有 2 种可能，共有 种情况。考虑其中 A，B 可用折线连接的642情况数。有 AB 边：共种 情况。325（
8、1） 无 AB 边，但有 CD 边：此时 A，B 可用折线连接当且仅当 A 与 C，D 中至少一点相连，且 B 与 C，D 中至少一点相连，这样的情况数为 。9)12(（2） 无 AB 边，也无 CD 边：此时 AC，CB 相连有 种情况，AD ，DB 相连也有 种情况，2 2但其中 AC，CB，AD，DB 均相连的情况重复计了一次，故 A，B 可用折线连接的情况数为 。712以上三类情况数的总和为 32+9+7=48，故 A，B 可用折线连接的概率为 。43682014B 7、将一副扑克牌中的大小王去掉，在剩下的 张牌中随机地抽取 张，其中至少有两张牌525上的数字（或者字母 ）相同的概率是
9、 （要求计算出这个概率的数值，精确到KQJ,0.001）答案： 492.0解析：记所求事件为 ，则 的对立事件 为“所抽取的 5 张牌上的数字各不相同” ，我们来计AA算 的概率。事件 可以分解成两步：第一步在 13 个不同数字中抽取 5 个数字，共有 种取法；A 513C第二步给每个数字涂一种花色每个数字共有 4 种花色可选，5 个数字共有 种不同的选择。所以事4件 共包含 。由于在 52 张牌随机抽取 5 张的基本事件个数为 ，于是事件 发生的概5134C 52A率为 ，从而 。07.5292.071.)(AP2013A 6、从 中任取 个不同的数，其中至少有 个是相邻数的概率为 ,1 5
10、答案： 32解析：记所取的 个数分别为 ，且 。54321,a54321a若这五个数互不相邻，则 ，由此可知，从1654a中取 个互不相邻的数的取法和从 中取 个不同的数的取法相同即 ，故所20,1 56, 516C求至少有两个数是相邻的概率为 3252016C2013A 8、已知数列 共有 项，其中 ，且对每个 ，均有na9101a8,21i则这样的数列的个数为 21,1ia答案： 49解析：记 ， ，则iib18,2 21,ib198ab 反之，若符合 的 项数列 可以唯一确定一个符合题意条件的 项数列 。8n n记符合条件 的 有 个，显然 中有偶数个 ，即 个 ；继而有 个nbNib8
11、,1 2k2k， 个 ，当给定 的值时， 有 种，易得 只能取 ，2k41knkC2,10所以这样的数列 共有 .故所求的数列个数为 。n 498268492013A 三、 （本题满分 50 分）一次考试共有 道试题， 个学生参加，其中 为给定的整数，mn2,nm每道题的得分规则是：若该题恰有 个学生没有答对，则每个答对该题的学生得 分，未答对的学x x生得 分.每个学生得总分为其 道题的得分总和.将所有的学生总分从高到低排列为0，求 的最大可能值。nP21 21解析：对任意的 ，设第 题没有答对的有 人，则第 题没有答对的有 人，mk,kkxkxn由得分规则知，这 在第 题均得到 分，记这
12、个学生的得分之和为 ，则kxkxnS mkkmikni nSP1211)(因为每一个人在第 题上至多得 分，故kxkxp1由于 ，故有nP21 121nPSnn所以 1111SSnmkkmk xnxn1212 mkmkxnx121由柯西不等式的 2112kk于是， )1()()()(211 nmnmxnPkn另一方面，若有一个学生全部答对，其他 个学生全部答错时， )1(1nP综上所述， 的最大可能值为 。21 )(n2013B 8、将正九边形的每个顶点等概率地涂上红、蓝两种颜色之一，则存在三个同色的顶点构成锐角三角形的概率为 答案： 25647解析：若同一种颜色的顶点构成的凸多边形内部包含正
13、九边形的外接圆圆心，则存在这种颜色的三个顶点，其构成的三角形也包含圆心，从而这个三角形是锐角三角形。反之，若某种颜色的顶点包含一个锐角三角形的顶点，则它们所生成的凸多边形就包含了正九边形外接圆的圆心。这样一来，如果红蓝两色的顶点生成的凸多边形都不包含圆心的话，那么这两种颜色的顶点分别落在外接圆的半圆中，这种情况发生的仅有的可能是红点是连续的 4 个顶点，或者是连续的 5 个顶点，它们各有9 种情况。所以，所求的概率为 2567189P2012A 8、某情报站有 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从DCBA,上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种。设第 周使用 密码，那么
14、第 周也使用 密码1A7A的概率为 答案： 24361解析：用 表示第 周用 种密码的概率,则第 周末用 种密码的概率为 .kPAk1kP于是,有 ,即 ，由 知， 是首项为 ，1(),3kkN11()43kkP1P4k3公比为 的等比数列。所以 ，即 ，故1()k (43kk76122012B 8、一个均匀的正方体骰子的各面上分别标有数字 ，每次投掷这样两个相同的骰子，6,2规定向上的两个面上的数字之和为这次投掷的点数。那么，投掷 次所得 个点数之积能被 整除314的概率是 （用最简分数表示）答案： 31解析：考虑一次投掷时，投出的点数是 的概率为 ，又投出的点数是奇数（偶数）的概率均为76
15、1，故投出的点数是奇数但不是 的概率为 。2 32在 次投掷中，记“仅有一次投出的点数是 ，另外两次至少有一次投出的点数是偶数”为事件 ，3 A则 ，记“有两次投出的点数是 ，另外一次投出的点4713261)(3 CAP 7数是偶数”为事件 ，则 ，显然事件 与事件 互斥，B26)(23PAB故所求概率为 。147)(A2011A 5、现安排 名同学去参加 个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项5目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为 答案： 10解析：由题设条件可知，满足条件的方案有两种情形： （1）有一个项目有 3 人参加，共有 种方案；360!
16、5137C（2）有两个项目各有 2 人参加，共有 种方案；14!)(2252所以满足题设要求的方案数为 4602011B 4、把扑克牌中 的分别看作数字 .现将一副扑克牌中的黑桃、,AJQK ,23红桃各 13 张放在一起，从中随机取出 2 张牌，其花色相同且两个数的积是完全平方数的概率为_ 答案： 652解析：从 张牌中任意取出 张，共有 种取法。牌的花色相同且积是完全平方数的23256C有 ， ， ， 共 对，因此概率为41981619406523102010AB 6、两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两个颗，第一个使两颗骰子点数和大于 者为胜，否则轮另一个人投掷。则先投掷人获胜的概率为 答案
17、： 127解析：同时投掷两颗骰子点数和大于 6 的概率为 ，从而先投掷人的获胜概率为1273.127)5()12(4452009*7、一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前 100 个正整数按从小到大排成的行，则最后一个数是 （可以用指数表示）答案： 98210解析： 易知： 该数表共有 100 行； 每一行构成一个等差数列，且公差依次为)(i )(i982321,., dd为所求。设第 行的第一个数为 ，则)(i10a)(nna2121nna23242 nn23n1)(na2n故 .98102a2009*8、某车站每天 ，
18、 都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机0: 0:1:9的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为到站时刻 1:83:850:98概率 62131一旅客 到车站，则他候车时间的数学期望为 （精确到分）20:8答案： 7解析：解：旅客候车的分布列为候车时间（分） 10 30 50 70 90概率 213612613候车时间的数学期望为 78907500 2008AB 3、甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得 分，负者得 分，比赛进行到有一人比对1方多 分或打满 局时停止.设甲在每局中获胜的概率为 ，乙在每局中获胜的概率为 ，且各局263231胜负相互独立，则比赛停止时已打局数 的数学期望是（
19、）A. B. C. D. 814812817424670答案： B解析：方法一： 依题意知， 的所有可能值为 2、4、6. 设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为 若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，25()39此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响从而有 ，5(2)9P， ，故 40()(981P2416()8P01648E方法二： 依题意知， 的所有可能值为 2、4、6.令 表示甲在第 局比赛中获胜，则 表示乙kAkkA在第 局比赛中获胜由独立性与互不相容性得k，12125()()()9A3434123412344()()PPP，0()()8123412
20、3412341234(6()()AA，6()因此 50298E2008AB 9、将 名志愿者名额分配给 个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分43配方法共有 种。答案： 2解析：方法一：用 4 条棍子间的空隙代表 3 个学校，而用 表示名额如|表示第一、二、三个学校分别有 4，18，2 个名额若把每个“ ”与每个“ ”都视为一个位置，由于|左右两端必须是“” ，故不同的分配方法相当于 (个) 位置（两端不在内）被 2 个“”占246领的一种“占位法” “每校至少有一个名额的分法 ”相当于在 24 个“ ”之间的 23 个空隙中选出 2 个空隙插入“”，故有 (种) 又在“每校至少有
21、一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相23C5同”的分配方法有 31 种综上知，满足条件的分配方法共有 25331222(种) 方法二：设分配给 3 个学校的名额数分别为 ，则每校至少有一个名额的分法数为不123x、 、定方程 的正整数解的个数，即方程 的非负整数解的个数，它等于 3124x 1个不同元素中取 21 个元素的可重组合： 又在“ 每校至少有一个名额的分法”23HC5中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有 31 种综上知，满足条件的分配方法共有25331222（种） 2007*3、将号码分别为 的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同。9,21甲从袋中摸
22、出一个球，其号码为 ，放回后，乙从袋中再摸出一个球，其号码为 。则使不等式a b成立的事件发生的概率等于 02baA. B. C. D. 8158158160816答案：D解析：甲、乙二人每人摸出一个小球都有 种不同的结果，故基本事件总数为 个。由不98192等式 得 ，于是，当 时，每种情形 可取 中每一个02ba02ab5,432ba,值，使不等式成立，则共有 种；当 时， 可取 中每一个值，有 种；当4596a, 7时， 可取 中每一个值，有 种；当 时， 可取 中每一个值，有 种；7,8765873当 时， 只能取 ，有 种。于是，所求事件的概率为 。91 81632007*12、将
23、个 和 个 共 个字母填在如图所示的 16 个小方格内，每个小方格2ab4内至多填 个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共1有 种。答案： 3960解析：解：使 个 既不同行也不同列的填法有 种，同样，使 个 既不同行也不同724AC2b列的填法也有 种，故由乘法原理，这样的填法共有 种，其中不符合要求的有两种724AC情况： 个 所在的方格内都填有 的情况有 种； 个 所在的方格内仅有 个方格内填有 的2aba1情况有 种。所以，符合题设条件的填法共有 种。169 3960722006*12、袋中有 个白球和 个红球，每次从中随机取出 个球，然后放回 个球，则第 次恰好8214
24、取完所有红球的概率为 答案： 043.解析：第 4 次恰好取完所有红球的概率为2 2989181101000.2005*7、将关于 的多项式 表示为关于 的多项式x 2019321)( xxxf y，其中 ，则09210)( yayayg 4的值为 092a答案： 65解析：由题设知， 和式中的各项构成首项为 1，公比为 的等比数列，由等比数列的求和)(xf x公式，得： 令 得.1221f ,4yx,51)4()2yg取 有,1y .65)(2120210gaa2005*14、 （本题满分 20 分） 。将编号为 的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各有一个小球.设圆9,3,
25、周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为 .求使 达到最小值的放法的概率.（注：如果某种放S法，经旋转或镜面反射后可与另一种放法重合，则认为是相同的放法）解析：九个编号不同的小球放在圆周的九个等分点上，每点放一个，相当于九个不同元素在 圆 周上 的 一 个 圆 形 排 列 ， 故 共 有 种 放 法 ， 考 虑 到 翻 转 因 素 ， 则 本 质 不 同 的 放 法 有 种 .!8 2!8下求使 S 达到最小值的放法数：在圆周上，从 1 到 9 有优弧与劣弧两条路径，对其中任一条路径，设 是依次排列于这段弧上的小球号码，则kx,21上式取.8|91|)()()(| 2121 kk xxx等号当且
26、仅当 ，即每一弧段上的小球编号都是由 1 到 9 递增排列.9x因此 .68最 小S由上知，当每个弧段上的球号 确定之后，达到最小值的排序方案便唯一确定.,12kx在 1,2，9 中，除 1 与 9 外，剩下 7 个球号 2,3，8，将它们分为两个子集，元素较少的一个子集共有 种情况，每种情况对应着圆周上使 S 值达到最小的唯一632707C排法，即有利事件总数是 种，故所求概率6 .3152!86P2004*5、设三位数 ，以 为三条边长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的abcn,三位数 有 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个4581165216答案：C解析：等边三角形共 9 个
27、； 等腰但不等边三角形：取两个不同数码(设为 )，有 种取法，以小数为底时总能构成ba,3等腰三角形，而以大数为底时， 或 时， ，有 种；ab2981,248或 时， ，有 种； 或 时， 有 种；7a61,23b65或 时， ，有 种，共有 种不能取的值30所以共有 种方法，而每取一组数，可有 种方法构成三位数，故共有503个三位数。152综上知，可取 种数选 C1692004*13、 （本题满分 20 分）一项“过关游戏”规则规定:在第 关要抛掷一颗骰子 次,如果这nn次抛掷所出现的点数的和大于 ,则算过关.问:nn2(1)某人在这项游戏中最多能过几关?(2)他连过前三关的概率是多少?解
28、析：解： 设他能过 关，则第 关掷 次，至多得 点，nnn6由 ，知， 即最多能过 关2644 要求他第一关时掷 次的点数大于 ，第二关时掷 次的点数和大于 ，第三关时掷 次的12243点数和大于 8第一关过关的概率为 ；36第二关过关的基本事件有 种，不能过关的基本事件有为不等式 的正整数解的2 4yx个数，有 个 (亦可枚举计数： )计 6 种，24C 13,2,12,所以过关的概率为 ；6531第三关的基本事件有 种，不能过关的基本事件为方程 的正整数解的总数，可连8zyx写 个 ，从 个空档中选 个空档的方法为 种，不能过关的概率 ，能过关的概81 5638C27653率为 ；270连
29、过三关的概率为 2431076532002*8、将二项式 的展开式按 的降幂排列，若前三项系数成等差数列，nx4x则该展开式中 的幂指数是整数的项共有 个x答案： 3解析：不难求出前三项的系数分别是 ，)1(8,21n )(812n当 时， ( )n431612rrnrxCT ,0所以当 时, 的幂指数是整数，即有 3 项。8402002*三、 （本题满分 50 分）在世界杯足球赛前， 国教练为了考察 这七名，准备让F721,A他们在三场训练比赛(每场 分钟)都上场，假设在比赛的任何时刻，这些中有且仅有一人在场上，90并且 每人上场的总时间(以分钟为单位)均被 整除，如果每场换人次数不限，那么
30、4321,A3按每名队员上场的总时间计算，共有多少种不同的情况。解析：设第 名队员上场的时间为 分钟( )，问题即转化为：求不定方程i ix7,2,1在条件 ( )且 ( )下的正整数解的级数。7021xx |4jx|,65若 是满足条件的一组正整数解，则应有 ， （ ）, mi41nxj1375N, 是不定方程 在条件 且 下的一组正整数解。nm, 27013n3n ，令 有 47,4/ m2037/n 求满足条件 且 的正整数解等价于求的非负整数解。易观察到 ， ，1)(32)203(167即 m0=406 是的整数解,406nm 的整数通解为 其中knk,46/ Z令 ,解得 ，0723
31、,13/ k 3129取 得到满足条件的三组非负整数解： 、 、 ，31,029k 029nm71643nm从而得到满足条件的三组正整数解： 、 、 ，311)当 时，显然 仅有一种可能，3,nm765x又设 ( )，于是由不定方程 有 组iiyx74,21 34321yy 49603214C正整数解。此时有满足条件的 组正整数解。96032C2)在 时，设 ( )， ( )于是由不定方程10,2nmiiyx74,321jjyx7,65有 组正整数解，不定方程 有 组正整数解。431yy39 106529C此时有满足条件的 组正整数解。821C3) 在 时，设 ( )， ( )。于是由不定方程
32、7,nmiiyx4,31jjyx7,5有 组正整数解，不定方程 有 组正整数解。4321yy36 16526C此时有满足条件的 组正整数解。2401C综上满足条件的正整数解的组数为 。4203489021639312 C2001*5、若 的展开式为 ，则102)(x 20210 xaxa的值为 1989630aaA. B. C. D. 6392013答案：C解析：令 可得 ；x203210 a令 x= 可得 ；10 aa（其中 ，则 =1 且 + +1=0）i2332令 x= 可得 20420634210 aa以上三式相加可得 198963 3所以 189630 a2001*12、在一个正六边
33、形的六个区域栽种观赏植物（如图） ，要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物现有 4 种不同的植物可供选择，则有 种栽种方案答案： 732解析：考虑 A、C、E 种同一种植物，此时共有 种方法1083考虑 A、C、E 种二种植物，此时共有 种方法4243考虑 A、C、E 种三种植物，此时共有 种方法92A故总计有 种方法721943082000*8、设 是 的展开式中 项的系数( )，则nanxx,432n_.nn33lim2答案： 18解析：由题意得 ，于是23nnCa kka18)1(18lim3li2 nn2000*12、如果：(1) 都属于 ；(2) ， ， ， ；(3) 是d
34、cba,4,321bacda中的最小值，那么，可以组成的不同的四位数 的个数是_dcba,答案： 28解析： 可以相等， 也可以相等,db, 当 相等， 也相等时，有 种；c624CAB C DEF G 当 相等， 不相等时，有 种；ca,db, 823A 当 不相等， 相等时，有 种；12C 当 不相等， 也不相等时，有 种；c, 63综上共有 种。2861999*5、在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有 名选手各比赛了 场之32后就退出了，这样，全部比赛只进行了 场。那么，在上述 名选手之间比赛的场数是( )50A. B. C. D. 0123答案：B解析：这三名选手之
35、间的比赛场数是 ，共 名选手参赛.由题意，可得 ，即rn 50623rCn.由于 ，经检验可知，仅当 时， 为正整数.rn423301r1998*6、在正方体的 个顶点， 条棱的中点， 个面的中心及正方体的中心共 27 个点中，共线8126的三点组的个数是( )A. B. C. D.574937答案：B解析：注意到 个顶点中无 点共线，故共线的三点组中至少有一个是棱中点或面中心或体中心 体中心为中点： 对顶点， 对棱中点， 对面中心；共 组；6313 面中心为中点： 组；24 棱中点为中点： 个共 个，选B191998*9、从 这 个数中取出 个数，使其和为不小于 的偶数，不同的取法有,875
36、,432,000_种.答案： 1解析：从这 个数中取出 个偶数的方法有 种，取出 个偶数， 个奇数的方法有1035C2种，而取出 个数的和为小于 的偶数的方法有 ， ， ， ，5021C34,6,03,15,0， ， ， ， ，共有 种，7,25,1,49故应答 种91997*11、设 为正六边形，一只青蛙开始在顶点 处，它每次可随意地跳到相邻两顶点ABDEFA之一若在 5 次之内跳到 点，则停止跳动；若 次之内不能到达 点，则跳完 次也停止跳动，5D5那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共 种答案： 26解析：青蛙跳 5 次，只可能跳到 三点(染色可证)FB,青蛙顺时针跳 1 次算+
37、1，逆时针跳 1 次算1，写 5 个“1” ，在中填“+”号或“”号：11111规则可解释为：前三个中如果同号，则停止填写；若不同号，则后 2 个中继续填写符号前三同 号的方法有 2 种；前三个 不同号的方法有 种，后两个中填号的方法有623种 共有 2+64=26 种方法21996*11、从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色.将一个正方体的六个面染色, 每面恰染一种颜色, 每两个具有公共棱的面染成不同颜色.则不同的染色方案共有_种.(注:如果我们对两个相同的正方体染色后,可以通过适当的翻转,使得两个正方体的上、下、左、右、前、后六个对应面的染色都相同,那么,我们就说这两个正方体的染色方案相同
38、).答案： 230解析：由于至少 3 种颜色：若 6 种颜色全用：上面固定用某色，下面可有 5 种选择，其余 4 面有 种方法，共计6!1种方法；05若用 5 种颜色：上下用同色：6 种方法，选 4 色： ； 种方法；30!145C902若用 4 种颜色： 种方法90246C若用 3 种颜色： 种方法3共有 230 种方法1996*12、在直角坐标平面上，以 为圆心，以 为半径的圆周上，整点（即横、纵坐标皆0,1919为整数的点）的个数为_答案： 4解析：把圆心平移至原点，不影响问题的结果故问题即求 的整数解数2219yx显然 一奇一偶，设 ， 且 yx, mx21ny,nm则得 nm2098
39、)1(942即 02 4od由于 为正整数， ； ，二者矛盾，1,2m)4(mod3,2101nn故只有 ， 这 4 解19,00, 共有 4 个 ， ， 19,0,3981995*11、 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有 种颜5色可使用，那么不同的染色方法的总数是_答案： 420解析：顶点染色，有 种方法，5底面 4 个顶点，用 4 种颜色染， 种方法；用 3 种颜色，选 1 对顶点 种，这一对顶24A12C点用某种颜色染 ，余下 2 个顶点，任选 2 色染， 种，共有 种方法；用 2 种颜色1C24823A染： 种方法；24A共有 种方法4018519
40、93*12、三位数 共 个，在卡片上打印这些三位数，每张卡片上打印一个三)9,0(位数，有的卡片所印的，倒过来看仍为三位数，如 倒过来看是 ；有的卡片则不然，如19861倒过来看是 ，因此，有些卡片可以一卡二用，于是至多可以少打印_ _张卡片531答案： 4解析：首位与末位各可选择 有 种选择，十位还可选 ，有 种选择，共有9,861405种选择但两端为 ，中间为 时，或两端为 ，中间为 时，倒后不变；80,0,8,0共有 个，故共有 个232321990*11设 ，则 190n19056341nnnn CC答案： 2解析：取 展开的实部即为此式而 故原式1903i ii23123190211
41、990*12 个女孩与 个男孩围成一圈，任何两个女孩之间至少站两个男孩，则共有 825种不同和排列方法(只要把圆旋转一下就能重合的排法认为是相同的)答案： 716!C解析：每个女孩与其后的两个男孩组成一组，共 组，与余下 个男孩进行排列，某个女孩始终89站第一个位子，其余 组在 个位子中选择 个位子，得 种选法 个女孩可任意716987716C换位， 个男孩也可任意换位，故共得 种排列方法2516!25C1989*11如果从数 中，按由小到大的顺序取出 ，使同时满足 ， 4,3,1 321,a312a，那么，所有符合上述要求的不同取法有 种23a答案： 0解析：令 ， ， ，则得 所求取法为1
42、/2/2a43/a101/3/2/a310C1988*7 的展开式中， 的整数次幂的各项系数之和为 12nxx答案： 3解析： 0122312121212 xCxCxxx nnnnn 令 ，得所求系数和为 131988*9.甲乙两队各出 名队员，按事先排好顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由 号队员比赛，负7 1者被淘汰，胜者再与负方 号队员比赛，直至一方队员全部淘汰为止，另一方获得胜利，形成一2种比赛过程。那么所有可能出现的比赛的过程种数为 答案： 714C解析：画 1 行 14 个格子，每个格子依次代表一场比赛，如果某场比赛某人输了，就在相应的格子中写上他的顺序号(两方的人各用一种颜色写以示区
43、别)如果某一方 7 人都已失败则在后面的格子中依次填入另一方未出场的队员的顺序号于是每一种比赛结果都对应一种填表方法，每一种填表方法对应一种比赛结果这是一一对应关系故所求方法数等于在 14 个格子中任选 7 个写入某一方的号码的方法数共有 C 种比赛方式7141987*9五对孪生兄妹参加 个组活动，若规定： 孪生兄妹不在同一组；非孪生关系的任意k两个人都恰好共同参加过一个组的活动，有一人只参加两个组的活动，则 的最小值为 k(命题组供题)答案： 14解析：设此 10 人为 只参加 2 组，故除 外其余 8 人应分成 2 组，eEdDcCbBaA,Aa每组人数都不超过 4 人（否则有孪生兄妹同组
44、)记第一组为 ，第二组EDCB,为 于是其余 8 人中大写字母不再同组，小写字母也不再同组即除 外其余组中人数edcb, a不超过 2 人每人都再参加 3 组，故至少还要 组 可参加其中 4 组即至少要 141243a组又 ， ， ， ， ， ， ， ， ，Ba,eB,bCa,d,e,b,c,eD,， ， 满足要求故所求最小值为 14bE,cdE1985*8、 方程 的非负整数解共有 组321031xx答案： 74解析：当 时， ，共有 9 解；11032时， ，共有 解0xx 165392CA 共有 解741983*7、 在正方形 所在平面上有点 ，使 、 、 、 都是等腰三ABCDPBPDPA角形，那么具有这样性质的点 的个数有（ ）A 个 B 个 C 个 D 个9115答案：A解析：作图，以正方形的顶点为圆心，边长为半径作 4 个圆，其 8 个交点满足要求，正方形的中心满足要求，共有 9 个点选 A
