1、考向预测1计数原理、古典概型、几何概型的考查多以选择或填空的形式命题，中低档难度；2概率模型多考查独立重复试验、相互独立事件、互斥事件及对立事件等；对离散型随机变量的分布列及期望的考查是重点中的“热点” 知识与技巧的梳理1概率模型公式及相关结论(1)古典概型的概率公式P(A) mn 事 件 A中 所 含 的 基 本 事 件 数试 验 的 基 本 事 件 总 数(2)几何概型的概率公式P(A) 构 成 事 件 A的 区 域 长 度 （面 积 或 体 积 ）试 验 的 全 部 结 果 所 构 成 的 区 域 长 度 （面 积 或 体 积 ）(3)条件概率在 A 发生的条件下 B 发生的概率：P(B
2、|A) P（AB）P（A）(4)相互独立事件同时发生的概率：若 A，B 相互独立，则 P(AB)P( A)P(B)(5)若事件 A，B 互斥，则 P(AB) P (A)P(B) ，P( )1P( A)2独立重复试验与二项分布如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p，那么它在 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率为 Pn(k)C pk(1p) n k，k0，1，2，n用 X 表示事件 A 在 n 次独立重复试验中发生的次数，则 X 服从二项kn分布，即 XB( n，p)且 P(Xk)C pk(1p) nk kn3超几何分布在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件
3、次品，则 P(Xk ) ，k0，1，2，m ，其中 mmin M，n ，且 nN，MN，n，M，NN *，此时称随机变CknN量 X 服从超几何分布超几何分布的模型是不放回抽样，超几何分布中的参数是 M，N，n4离散型随机变量的均值、方差(1)离散型随机变量 的分布列为：专题五第 2 讲概率、随机变量及其分布列概率与统计 x1 x2 x3 xi nP p1 p2 p3 pi pn离散型随机变量 的分布列具有两个性质：p i0；p 1p 2p ip n1(i 1，2，3，n) (2)E()x 1p1x 2p2x ipix npn为随机变量 的数学期望或均值D()(x 1E( )2p1(x 2E(
4、) 2p2( xiE() 2pi(x nE() 2pn叫做随机变量 的方差(3)数学期望、方差的性质E(a b)aE( )b，D(ab)a 2D()XB(n，p) ，则 E(X)np，D (X)np(1 p)X 服从两点分布，则 E(X)p，D(X) p(1p)热点题型热点一 随机变量的分布列、均值与方差【例 1】(2019黄山一模)2015 年 11 月 27 日至 28 日，中共中央扶贫开发工作会议在北京召开，为确保到2020 年所有贫困地区和贫困人口一道迈入全面小康社会黄山市深入学习贯彻习近平总书记关于扶贫开发工作的重要论述及系列指示精神，认真落实省委、省政府一系列决策部署，精准扶贫、精
5、准施策，各项政策措施落到实处，脱贫攻坚各项工作顺利推进，成效明显贫困户杨老汉就是扶贫政策受益人之一据了解，为了帮助杨老汉早日脱贫，负责杨老汉家的扶贫队长、扶贫副队长和帮扶责任人经常到他家走访，其中扶贫队长每天到杨老汉家走访的概率为 ，扶贫副队长每天到杨老汉家走访的概率为 ，帮扶责任人每天到杨老汉家14 13走访的概率为 12（）求帮扶责任人连续四天到杨老汉家走访的概率；（）设扶贫队长、副队长、帮扶责任人三人某天到杨老汉家走访的人数为 X，求 X 的分布列；（）杨老汉对三位帮扶人员非常满意，他对别人说:“他家平均每天至少有 1 人走访”请问：他说的是真的吗？解()设帮扶责任人连续四天到杨老汉家走
6、访的事件为 A，则 ，()=12121212=116帮扶责任人连续四天到杨老汉家走访的概率为 116（）随机变量 X 的所有可能取值为 0，1，2，3；(=0)=342312=14；(=1)=142312+341312+342312=1124；(=2)=141312+142312+341312=14(=3)=141312=124随机变量 X 的分布列为：X 0 1 2 3P 14 1124 14 124（） ，所以 ，所以杨老汉说的是真的()=1124+12+18=1312 ()1探究提高 1求随机变量的均值和方差的关键是正确求出随机变量的分布列2对于实际问题中的随机变量 X，如果能够断定它服
7、从二项分布 B(n，p) ，则其概率、期望与方差可直接利用公式 P(Xk)C pk(1p) nk (k0，1，2，n)，E(X)np，D( X)np(1p) 求得kn【训练 1】(2017西安二模)中国铁路客户服务中心为方便旅客购买车票，推出三种购票方式：窗口购票、电话购票、网上购票，旅客任选一种购票方式若甲、乙、丙 3 名旅客都准备购买火车票，并且这 3 名旅客选择购票的方式是相互独立的(1)求这三名旅客中至少有两人选择网上购票的概率；(2)记这三名旅客购票方式的种数为 ，求 的分布列和数学期望解 (1)记“三名旅客中恰有两人选择网上购票”为事件 A， “三名旅客都选择网上购票”为事件 B，
8、且 A，B互斥则 P(A)C ，P(B) 23 (13)2 23 29 (13)3 127因此，三名旅客中至少有两人选择网上购票的概率 PP(A) P(B) 727(2)由题意， 的所有可能取值为 1，2，3，则 P( 1)C ； P(2) C ； P(3) 13 (13)3 19 23 (13)3 23 3(13)3 29所以随机变量 的分布列为： 1 2 3P 19 23 29故 的期望 E()1 2 3 19 23 29 199热点二 概率与统计的综合问题【例 2】(2018德州期末)在创新“全国文明卫生城”过程中，某市 “创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷
9、调查（一位市民只能参加一次） ，通过随机抽样，得到参加问卷调查的 100人的得分统计结果如表所示：（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分 ， 近似为这 100 人得分的平均值(， 198)（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） ，利用该正态分布，求 ；(38 20 (0 1， 1) ()400高频易错题1(2017邯郸质检)2017 年 4 月 1 日，国家在河北省白洋淀以北的雄县、容城、安新 3 县设立雄安新区，这是继深圳经济特区和上海浦东新区之后又一具有全国意义的新区，是千年大计、国家大事。多家央企为了配合国家战略支持雄安新区建设，纷纷申请在新区建立分公司若规定每家央企只能
10、在雄县、容城、安新 3个片区中的一个片区设立分公司，且申请其中任一个片区设立分公司都是等可能的，每家央企选择哪个片区相互之间互不影响且必须在其中一个片区建立分公司向雄安新区申请建立分公司的任意 4 家央企中，(1)求恰有 2 家央企申请在“雄县”片区建立分公司的概率；(2)用 X 表示这 4 家央企中在“雄县”片区建立分公司的个数，用 Y 表示在“容城”或“安新”片区建立分公司的个数，记 |XY |，求 的分布列【解题思路】(1)本题是独立重复试验，二项分布，可得 P(X2)；(2)依题意计算 的可能取值，并计算其概率，列出分布列【答案】解 (1)依题意，每家央企在“雄县”片区建立分公司的概率
11、为 ，去另外两个片区建立分公司的13概率为 ，这 4 家央企恰有 2 家央企在“雄县”片区建立分公司的概率为 PC 23 24(13)2 (1 13)2 827(2)由独立重复试验概率，则 P(Xk) C (k0，1，2，3，4) ，k4(13)k (1 13)4 k 随机变量 的所有可能取值为 0，2，4P(0)P( X 2) ；P(2) P(X1)P( X3) ；827 4081P(4)P( X 0)P(X4) 1781所以随机变量 的分布列为： 0 2 4P 827 4081 17812(2017北京卷)为了研究一种新药的疗效，选 100 名患者随机分成两组，每组各 50 名，一组服药，
12、另一组不服药一段时间后，记录了两组患者的生理指标 x 和 y 的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“”表示未服药者(1)从服药的 50 名患者中随机选出一人，求此人指标 y 的值小于 60 的概率；(2)从图中 A，B，C，D 四人中随机选出两人，记 为选出的两人中指标 x 的值大于 17 的人数，求 的分布列和数学期望 E()；(3)试判断这 100 名患者中服药者指标 y 数据的方差与未服药者指标 y 数据的方差的大小(只需写出结论)【解题思路】(1)从图中找出服药的且指标 y 的值小于 60 的人数；(2 )此问是超几何分布，依题意计算 的可能取值，并计算其概率，列出分布列；(3)
13、根据图示中数据的稳定性即可判断方差的大小【答案】解 (1)由题图知，在服药的 50 名患者中，指标 y 的值小于 60 的有 15 人，所以从服药的 50 名患者中随机选出一人，此人指标 y 的值小于 60 的概率为 031550(2)由题图知，A，B，C，D 四人中，指标 x 的值大于 1 7 的有 2 人：A 和 C所以 的所有可能取值为 0，1，2P(0) ， P(1) ， P(2) 2416 124C23 2416所以 的分布列为： 0 1 2P 16 23 16E()0 1 2 1 16 23 16(3)由图知 100 名患者中服药者指标 y 数据的方差比未服药者指标 y 数据的方差
14、大精准预测题1(2017成都二诊)甲乙两名同学参加定点投篮测试，已知两人投中的概率分别是 和 ，假设两人投篮结果相12 23互没有影响，每人各次投球是否投中也没有影响(1)若每人投球 3 次(必须投完 )，投中 2 次或 2 次以上，记为达标，求甲达标的概率；(2)若每人有 4 次投球机会，如果连续两次投中，则记为达标达标或能断定不达标，则终止投篮记乙本次测试投球的次数为 X，求 X 的分布列和数学期望 E(X)【解题思路】(1) 投中 2 次或 2 次以上，记为达标，就是投中 2 次或投中 3 次；(2) 应注意连中 2 次终止，也可能前两次至多中一次，第三次不中，这时可以肯定不能达标，也终
15、止，所以应依题意列举所有可能情况，再确定 X 的可能取值，并计算其概率，列出分布列【答案】解 (1)记“甲达标”为事件 A，则 P(A)C 23 (12)2 12 (12)3 12(2)X 的所有可能的值为 2，3，4P(X2) ， P(X3) ，(23)2 49 13 23 23 13 23 13 (13)3 23 13 13 13P(X4) 13 13 23 23 13 23 29所以 X 的分布列为：X 2 3 4P 49 13 29E(X )2 3 4 49 13 29 2592(2017新乡三模)为推行“ 新课堂”教学法，某化学老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式，在甲、
16、乙两个平行班级进行教学实验为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取 20 名学生的成绩进行统计，结果如下表：记成绩不低于 70 分者为“成绩优良” 分数 50，60) 60，70) 70，80) 80，90) 90，100甲班频数 5 6 4 4 1乙班频数 1 3 6 5 5(1)由以上统计数据填写下面 22 列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过 0025 的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”？甲班 乙班 总计成绩优良成绩不优良总计附：K 2 ，其中 nabc dn（ad bc）2（a b）（c d）（a c）（b d）临界值表：P(K2k 0) 010 005 0025
17、 0010k0 2706 3841 5024 6635(2)现从上述 40 人中，学校按成绩是否优良采用分层抽样的方法抽取 8 人进行考核在这 8 人中，记成绩不优良的乙班人数为 X，求 X 的分布列及数学期望【解题思路】(1) 完成 22 列联表，并起算 K2；(2)应注意优良中的人怎么抽和成绩不优良的乙班人数无关，所以只需考虑不优良的 11 人中抽取 3 人的情况，此时此 3 人可能分属甲乙两班，属于超几何分布，确定 X的可能取值，并计算其概率，列出分布列【答案】解 (1)由统计数据得 22 列联表：甲班 乙班 总计成绩优良 9 16 25成绩不优良 11 4 15总计 20 20 40根据 22 列联表中的数据，得 K2 的观测值为 k 52275024，40（94 1611）225152020能在犯错概率不超过 0025 的前提下认为“成绩优良与教学方式有关” (2)由表可知在 8 人中成绩不优良的人数为 83，则 X 的可能取值为 0，1，2，31540P(X0) ； P(X1) ； P(X2) ； P(X3) 315C3391 21435C4491 12435C66455 3415C4455X 的分布列为：X 0 1 2 3P 3391 4491 66455 4455E(X )0 1 2 3 3391 4491 66455 4455 364455
