1、原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1专题二 压轴填空题第五关 以数列求和或者通项公式为背景的填空题【名师综述】1.数列的通项公式及递推公式的应用也是命题的热点，根据 an 与 Sn 的关系求通项公式以及利用构造或转化的方法求通项公式也是常考的热点.2.数列的求和问题多以考查等差、等比数列的前 n 项和公式、错位相减法和裂项相消法为主，且考查频率较高，是高考命题的热点.1求数列通项公式的常见类型及方法(1)归纳猜想法：已知数列的前几项，求数列的通项公式，可采用归纳猜想法(2)已知 Sn 与 an 的关系，利用 anError!求 an.(3)累加法：数列递推关系形如 an1anf(n)，
2、其中数列f(n)前 n 项和可求，这种类型的数列求通项公式时，常用累加法(叠加法)(4)累乘法：数列递推关系形如 an1g(n)an，其中数列g(n)前 n 项积可求，此数列求通项公式一般采用累乘法(叠乘法) 2活用数列求和的四种 方法(1)公式法：适合求等差数列或等比数列 的前 n 项和对等比数列利用公式法求和时，注意 q1 或 q1两种情况(2)错位相减法：这是推导等比数列的前 n 项和公式时常用的方法，主要用于求数列anbn的前 n 项和，其中an，bn分别是等差数列和等比数列(3)裂项相消法：把 数列的各项分别裂开后，前后抵消从而计算和的方法，适用于求通项为 的数列的前1anan 1原
3、创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2n 项和，其中an为等差数列，则 .1anan 1 1d )(1na(4)分组求和法：一个数列如果既不是等差数列又不是等比数列，但它可以拆成两个数列，而这两个数列是等差或等比数列，那么 就可分组求和，这种方法叫分组求和法学科+网类型一 将递推式转换为项间的关系式处理的问题典例 1 【辽宁葫芦岛普高协作体 2017 届高三上学期第二次考试，16】已知数列 的前 项和为 ，nanS，则 的最小值为 学-科网43nSa2164nna【答案】【名师指点】本题主要考查数列前 项和、等比数列；3、基本不等式，属于较难题型.使用基本不等式公n式时一定要牢牢抓住一正、
4、二定、三相等这三个条件，如果不符合条件则：非正化正、非定构定、不等作图（单调性）.平时应熟练掌握双钩函数的图象，还应加强非定构定、不等作图这方面的训练，并注重表达的规范性，才能灵活应对这类题型. 【举一反三】 【山东省德州市 2019 届高三期末联考】已知数列 的前 项和为 ，满足 ，数 =21列 满足 ，则数列 的前 10 项和是_ +=+1 2+1【答案】2021【解析】数列 bn前 n 项和为 Sn 满足 Sn2 bn1（ nN*） ， n1 时， b12 b11，解得 b11n2 时， bn Sn Sn1 2 bn1（2 bn1 1） ，化为： bn2 bn1 数列 bn为等比数列，首
5、项为 1，公比为 2 bn2 n-1原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3将 bn2 n-1 代入 中得 an2n-1,+=+1则 ，2+1= 2(21)(2+1)= 121 12+1则10=113+1315+119121=1121=2021.故答案为： 2021类型二 可转化为前 n 项和间的递推式的问题典例 2 已知数列 a的前 项和为 nS， 1a当 2n时， 1naS，则 2015=（ ）【答案】1008【名师指点】由已知条件，将已知递推式利用 转化为 间的递推式，通过对 递推式的1nnaS1,nS处理知数列 21nS是等差数列，进而利用等差数列通项公式求 205【举一反三】 【
6、安徽省淮南市 2018 届高三第一次（2 月）模拟】已知正项数列 的前 项和为 ，当nanS时， ，且 ，设 ，则 的最小值是n11nnaSa12log3nnab2341nb _.【答案】9【解析】当 时， ，即 ，展开化为： 2n211nnaS（ ） 211nnSS正项数列 的前 项和为 数列1140nS（ ） （ ） ， a 14nnS ，是等比数列，首项为 1，公比为 4来源:Z#xx#k.Com1 1224234n nnnSaS ， 2134nna， ，则 2123nnnblogl， 2120nb 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4则 2212 1363434nnb 619n
7、当且仅当 即 时等号成立.3n5故答案为 9类型三 通过若干项观察归纳总结的问题典例 3 【贵州省贵阳第一中学、云南师大附中、广西南宁三中 2019 届高三“333”高考备考诊断联考】已知数列 的首项 ，函数 为奇函数，记 为数列 的前 项和，则 1=1()=3+(+12) 的值为_2019【答案】 1010【解析】是奇函数 ， ， ， ，() ()=()+1(+2)=0 1=1 2=1+2=1， ，如此继续，得 ， 3=2+22=0 4=3+32=0 +4= 2019=504(1+2+3+4).+1+2+3=5042+1+1+0=1010【名师指点】通过计算数列前几项,得出该数列所具有的特殊
8、性质，然后利用该性质作为一般规律去解题，是数学中常用的方法，体现了从特殊到一般的数学思想方法【举一反三】 数列 满足 ， ，其前 项积为 ，则 na121nanT2015【答案】 3【解析】由 可得 ，因为 ，所以 ， ，1na1nna122345,22aa所以数列 是周期为 的周期数列，且 ，又因为 ，所以n41234015来源:学_科_网 Z_X_X_K2015(3)2T【精选名校模拟】1 【宁夏银川一中 2019 届高三第五次月考】已知 ，数列 的前项和为 ，数列 的通项公=2+ 1 式为 ，则 的最小值为_=8 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5【答案】-4【解析】由 ，可知
9、 ，=2+ 1=1 1+1数列 的前项和为 Sn（1 ）+ （ ）+ （ ）1 1 12 12-13 1 1+1 - 11+n +1又b nn8，b nSn (8)+1 (n+1)210(+1)+9n+1 (+1)+ 9+110 102(n+1) 9n+14，当且仅当 n+1 ，即 n2 时等号成立，91+2 【河南省名校联考 2019 届高三上学期联考】已知数列 的前 项和为 ， ， ，其中 1=2 =2为常数，若 ，则数列 中的项的最小值为_ =13 【答案】1214【解析】 , ,1=2,=21=1=12,2=22,=2,=22时， ， 2 1=212-化为 ，=21(2)所以 是公比为
10、 2 的等比数列，=221=2,=(13)(12)由 ，可得 ，+11 (13)(12)(12)(12)+1(13)(12)(14)(12)1 解得 ，2(13)12(13)2(14) 1415即 中的项的最小值为 ，故答案为 .14=15=1214 1214原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！63 【皖江名校 2018 届 高三 12 月份大联考】已知数列 ， 是其前 项的 和且满足naSn，则 _*2naSNnS【答案】 31234n【解析】当 时， ， ，1a1a当 时， ， 2n3nS2nS-得： ，即 ， ，又1nna13na1322nna123na1302a数列 是以 为首项
11、， 为公比的等比数列，n23得 ， ，132na12na代入得： 。34nS答案为： 3n4 【内蒙古鄂尔多斯西部四校 2018 届高三下学期期中联考】在正项无穷等差数列 中， 为其前 项和， 若 ， ，则 的最小值为_ .3=5 3=15 (210)2【答案】 0【解析】设公差为 ，由已知得 ，所以 . 3=5,3=15, 1+2=5,31+3=1(1+4), 解得 或 （舍去） ，所以 .1=1,=2, 1=152,=54, =21所以 ，(210)2=(412)2=16(362+9)令 ()=16(362+9),1原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7所以 ，()=16(3212+
12、9)=48(24+3)=0有 单调递减， 单调递增.(1,3),()0,()()=(3)=0所 ，所以 的最小值为 0.=3 (210)2故答案为：0.5 【吉林省普通中学 2018 届高三第二次调研测试】已知数列 中，前 项和为 ，且 ，nanS12na则 的 最大值为_1()na【答案】2【解析】 12nnSa当 时， ，即112nnnSa1na数列 单调递减1当 时 最大2n1na故答案为 26 【2019 河南省洛阳市高三第一次统一考试】数列 首项 ，且 ，令 1=2 +1=3+2()，则 的前 2019 项的和 _ _=3(+1) 1212+1 2019=【答案】20194039【解
13、析】由于 ，故 ，+1=3+2 +1+1=3(+1)故数列 是以 为首项，公比为 的等比数列，故 ，所以 .+1 1+1=3 3 +1=3 =3(+1)=则 ，1212+ =1(21)(2+1)=12( 121 12+1)故 .2019=12(113)+(1315)+( 14037 14039)=121 14039=20194039原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！87数列a n中，a 11，a n3a n1 3 n4(nN *，n2)，若存在实数 ，使得数列 为等差数列，3na则 _.【答案】28 【辽宁省丹东市五校协作体 2018 届高三上学期联考】设数列 的前 n 项和为 若 且
14、anS13a则 的通项公式 _12nSanna【答案】 .23, 4n【解析】 ，1nSa ,12n ，即 。1nn13na又 ，解得 。故 。1123aS， 2421a数列 从第二项起是公比为 3 的等比数列，故当 时， 。来源:学科网 ZXXKn 2243nnaq 。2, 43nna答案： 2,1 n9. 【湖南师范大学附属中学 2019 届高三上学期月考】已知数列 满足： ， 1=1， ， ，且数列 是单调递增数列，则实+1= +2() +1=( 2)(1+1)() 1= 数 的取值范围是_原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9【答案】 (,32)【解析】由题意，数列 满足 ，取倒
15、数可得 ，即 ，所+1= +2 1+1=2+1 1+1+1=2(1+1)以数列 表示首项为 2，公比为 2 的等比数列，所以 ，1+1 1+1=2所以 ，+1=(2)(1+1)=(2)2因为数列 是单调递增数列，所以当 时， ， 2 +1即 ；(2)2(12)21,21,221,1,(12)2,32 3210在数列 中， ， ，则该数列的通项公式 = 来源:Zxxk.Comna141nana【答案】 学-科网43211 【河南省开封市 2019 届高三上学期第一次模拟】已知数列 的前 项和为 ，数列 的前 项和为 ，满足 ， ， ，且 .若存在 ，使得 成立，则实数 1=2 3=(+) ()
16、= +2的最小值为_【答案】13【解析】3S n（n+m）a n，3S 13a 1（1+m）a 1，解得 m2，3S n（n+2）a n，当 n2 时，3S n1（n+1）a n1，由 可得 3an（n+2 ）a n（n+1）a n1，即（n1）a n（n+1）a n1，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 ，1=+11 ， ， ， ， ，21=3132=4243=5312= 21=+11累乘可得 ann（n+1） ，经检验 a12 符合题意，a nn（n+1） ，n N*，a nbnn，b n ，来源:Zxxk.Com= 1+1令 BnT 2nT n ，= 1+2+ 1+3+ 12
17、+1则 Bn+1B n 0，= 3+4(2+2)(2+3)(+2)数列B n为递增数列，B nB1 ，=13存在 nN*，使得 +TnT2n成立，B 1 ，来源:Zxxk.Com=13故实数 的最小值为 ，13故答案为： 1312 【湖北省宜昌市 2019 届高三年级元月调考】已知数列 是各项均为正数的等比数列，其前 项和为 ， 点 、 均在函数 的图象上， 的横坐标为 ， 的横坐标为 ，直线 的斜率为 . ()=2 +1 若 ， ，则数列 的前 项和 _1=12=12 () =【答案】 (2)2+2【解析】由题意可知： ， ，1(1， 21) 2(2， 22)， ，1(1+1， 2(1+1)
18、 2(2+1， 2(2+1)原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 ，解得 ，1=2(1+1)211+11 =12=2(2+1)222+12 =12 1=12=2 =21， ()=221=1 ()=(1)21 =020+121+222+(2)22+(1)212=021+122+122+223+(2)21+(1)2得 ，=2+22+23+21(1)2所以 ，=2(121)12 (1)2整理得 =(2)2+2故答案为： (2)2+213若数列 na是正项数列，且 2123naa ，则 121naa_.学!科网【答案】 26【解析】令 1n，得 4a1，所以 16a当 2n时，)(3)(a2-n21 与已知式相减，得)3(n，所以 2)1(4an， n时， 1a适合 n所以214an，所以 41na， 123 62)4814已知函数 的三个零点成等比数列，则 _.5()si(0)fxx2loga【答案】 2【解析】试题分析:由题意设三个零点分别为 ,由正弦曲线的对称性可知 ,由此2,xq 3,2xqx原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12可得 ,故 ,所以 ,故应填 .4,3xq2sina2loga1215 【福建省龙岩市 2018-2019 学年第一学期期末高三教学质量检查】已知数列 的前 项和为 ， ， ，则 的值为_1=1 +1=2+1() 21【答案】231
