1、高中数学热点难点突破技巧第 06 讲：导数中的双参数问题的处理【知识要点】对于导数中的单参数问题（零点问题、恒成立问题和存在性问题） ，大家解答的比较多，一般利用分离参数和分类讨论来分析解答. 对于双参数这些问题，大家如何处理呢？一般利用下面分离次参法和反客为主法两种方法处理.【方法讲评】方 法一 分离次参法使用情景来源:学科网 ZXXK 不等式中含有两个参数（主参数 和次参数）和一个自变量，并且次参数比较容易分离.解题步骤 一般先分离次参，变成单参数的问题处理.【例 1】已知函数 lnfx（1）若函数 与函数 在点 处有共同的切线 ，求 的值；Ft21gxxlt（2）证明： ；ffx（3）若
2、不等式 对所有 ， 都成立，求实数 的取值范围mfa30,2m21,xea【解析】 （1） ， ， ，2gxlnFxtfttFtfx与 在点 处有共同的切线 ，Ftf1l，即 ， kt设 ， ，1ln2fxG21lnxG故 在 上是增函数，在 上是减函数，故 ，0,ee,max1e2G；12fxfx（3）由题得不等式 对所有的 ， 都成立，来源:学|科|网lnmax30,2m21,ex因为 ，所以 ，所以 ，即21,exl0lnainla所以 ，所以0lna 2axe【点评】对于不等式 ，里面有两个参数 和一个自变量 ，形式比较复杂，所以我们可以lm,amx想到转化和化归的思想，想方法把双参数
3、变成单参数，这个方法就是分离参数. 由于题目求的是 的范围，a所以我们称 是主参数， 是次参数.第（3）问首先分离次参，最后得到了 的取值范围，因此这 种方法a a可以称为“ 分离次参法” . 【反馈检测 1】已知 ，设函数 .0t3213tfxxt（1）存在 ，使得 是 在 上的最大值，求 的取值范围；0 2x， 00 ， t（2） 对任意 恒成立时， 的最大值为 1，求 的取值范围.fem )x， mt方法二 反客为主法使用情景 含有两个参数和一个自变量，但是次参数系数有正有负，不便分离.解题步骤 把次参数看成自变量，把自变量看成参数，构造一次函数解答.【例 2】已知函数 若不等式 对所有
4、 ， 都成立，求实数lnfxmfxa0,1m2,xe的取值范围a来源:学科网 ZXXK因为 ，所以21,xe1ln2x所以2minln0l(l)aaex令211()ln()()xgxxeg所以函数 在 上是增函 数，在 上是减函数，,2,e所以22min()()xe所以 综合得 .aae【点评】 （1）在 中， 是自变量，要求 的范围，所以 是主参， 是次参.（2）对于不等lxaam式 ，由于 ，有正有负，不便分离次参，所以我们要构造一次函数反客为主，lnx1n2中把次参 看成自变量，把 看作参数，利用一次函数的性质分析解答.（3）一次函HmAx数 在 上恒成立，只须满足 .(4)对于“分离次
5、参”的题目，也可以利用()0fxk,ab()0bfa反客为主的方法解答.学#科%网【反馈检测 2】已知函数 ， ， ， . （）讨论 的单调性；()（）对于任意 ，任意 ，总有 ，求 的取值范围. 0,1 ()()【反馈检测 3】已知函数 .21lnfxax（1）当 时，解关于 的不等式 ；0afa（2）若对任意 及 时，恒有 成立，求实数 的取值范围.4 2， 1 3x， 2mfxam高中数学热点难点突破技巧第 06 讲：导数中的双参数问题的处理参考答案【反馈检测 1 答案】 （1） ；（2） .5 )3， 1(0 3，当 时， 在 单调递增 ，在 递减，在 单调递增，12tfx0 1， 1
6、 t， 2t， 即 ， ，ft32t52t当 时， 在 单调递增，在 单调递减，满足条件，2fx0 1， 1 ，综上所述： 时，存在 ，使得 是 在 上的最大值.5 )3t， 0 2x， 0fxf0 2，（2） 对任意 恒成立，来源:Z+xx+k.Com321xxtem )，即 对任意 恒成立，322313x xtmet xt0 )x，因为 的最大值为 1，所以 ,32231131x xt textext所以 3220x xt tt t2310xtext， ，2xtgt0 )，恒成 立，31xtext由于 ，则 ，0gt03当 时， ，则 ，若 ，则 在 上103t312xtge2xge20x
7、gegx0 ln2，递减，在 上递增，则 ， 在 上是递增ln2 ， max3ln1lnt )，的函数. ，满足条件， 的取值范围是 .来源:学科网013gxtt(0 3，【反馈检测 2 详细解析】 （） 则()=12=12( 0)当 时， 恒成立，即 递减区间为 ，不存在增区间；0当 时，令 得 ，令 得 ， 0递减区间为 ，递增区间 ；(1,+)综上：当 时， 递减区间为 ，不存在增区间；当 时， 递减区间为 ，递增区间 ； 0(0,1) (1,+)（）令 ，由已知得只需 即()=+1 +1 0若对任意 ， 恒成 立，即2,+1 0令 ，则设 ，则()=2(2,) 在 递减， 即() ()(2)=22 0 () 0 在 递减 即()()=(2)=22+14的取值范围为 22+14,+)【反馈检测 3 答案】 （） （）xm（2）由题意知对任意 及 时，4 2a， 1 3x，恒有 成立，等价于 ，2mafxmaxaf当 时，由 得 ，4 ，21 0xf12因为 ，所以 ， 2a， 42a从而 在 上是 减函数，fx1 3，所以 ，所以 ，即 ，max2f2ma2a因为 ，所以 ，所以实数 的取值范围为 . 学#科$ 网4 ， 0m2
