1、第十章 排队论,第一节 引言一、排队系统的特征及排队论 排队论研究排队系统的数学理论和方法， 是运筹学的一个重要分支。 排队问题表现：,排队可以是人，也可以是物。 为了一致：将要求得到服务的对象统称为“顾客”，将提供服务的服务者称为“服务员”或“服务机构”。,排队系统的一般描述;顾客为了得到服务而到达系统，如果不能 立刻得到服务而又允许排队等待，则加入 等待队伍，待获得服务后离开系统。,服务台,顾客到达,服务完后离开,单服务台服务系统,队列,服务台1,顾客到达,服务完后离开,服务台2,服务台s,队列,S个服务台，一个队列服务系统,服务台1,顾客到达,服务完后离开,服务台2,服务台s,队列1,S
2、个服务台，s个队列服务系统,队列s,队列2,服务完后离开,服务完后离开,服务台,顾客到达,服务完后离开,队列,服务台,队列,多个服务台的串联服务系统,服务机构,聚（输入）,散（输出）,随机 服务系统,二、排队系统的描述 1、输入过程：说明顾客按照怎样的规律到达系统。 (1)顾客总体数：按顾客源顾客的数量，可分为有限顾客源和无限顾客源； (2)按顾客到达的形式，分为单个到达和成批到达； (3)按顾客相继到达的时间间隔分布，可分为 a.定长分布D：顾客相继到达的时间间隔为确定性的常数。 b.最简流（poisson流） M：顾客相继到达的时间间隔X(n)独立的，同负指数分布：,补充：泊松分布： 设随
3、机变量X所有可能的取值为0，1，2，而各个取值的概率为,称x服从参数为的泊松分布,2、排队及其规则 （1）排队 分为有限排队和无限排队。 无限排队：系统空间无限；又称为等待制排队系统。 有限排队：系统空间有限；又分为： a.损失制：排队空间为零的系统，不允许排队；到达的顾客有一部分未接受服务就离去； b. 混合制：损失制和等待制系统的结合；顾客到达后，一直等到服务完毕以后才离去；不允许队列无限等待。又分为:,(i)队长有限：系统等待空间有限。 有限系统的空间为K, 顾客到达时的队长为L。若LK，则顾客进入队列等待服务，若L=K，则顾客离去。 (ii)等待时间有限： 顾客对等待时间具有不耐烦性的
4、系统。设最长等待时间是T0，某个顾客从进入队列后的等待时间为T。若TT0，顾客继续等待；若T=T0，则顾客脱离队列而离去。 (iii)逗留时间有限：等待时间与服务时间之和。,（2）排队规则 (i)先到先服务（FCFS，First Come First Serve）； (ii)后到先服务（LCFS，Last Come First Serve）； (iii)有优先权的服务（PS，Priority Serve ） (iiii)随机服务（SIRO，Service in Random Order）,3、服务机制 排队系统的服务机制主要包括： 服务员的数量、连接形式（串联或并联）； 顾客单个或成批接受服务
5、； 服务时间的分布； 服务时间为V，分布函数为B(t)，密度函数为b(t)： （1）定长分布（D):每个顾客接受服务时间是一个常数。 （2）负指数分布（M）：每个顾客接受服务时间相互独立，具有相同的负指数分布：,（3）k阶爱尔郎分布（Ek）：每个顾客接受服务时间服从k阶爱尔郎分布，具有密度函数：,三、排队系统的符号表示 一个排队系统的特征可以用六个参数表示，形式为：XYZ ABC 其中 X 顾客到达的概率分布，可取M、D、Ek等； Y 服务时间的概率分布，可取M、D、Ek等； Z 服务台个数，取正整数； A 排队系统的最大容量，可取正整数或； B 顾客源的最大容量，可取正整数或； C 排队规则
6、，可取FCFS、LCFS等。,例如 M/M/1 / /FCFS 表示顾客到达的时间间隔是负指数分布，服务时间是负指数分布，一个服务台，排队系统和顾客源的容量都是无限，实行先到先服务的一个服务系统。 可以缩写为M/M/1。 M/M/S/K: 表示顾客到达的时间间隔是负指数分布，服务时间是负指数分布，S个服务台，排队系统容量K和顾客源的容量都是无限，实行先到先服务的一个服务系统。,四、排队系统的主要数量指标和记号 描述一个排队系统运行状况的主要指标： 1、队长、排队长 队长：系统中的顾客数量（排队顾客+接受服务顾客）。 排队长：系统中的正在排队等待服务的顾客数量。 2、等待时间和逗留时间 等待时间
7、：从顾客到达时刻起到他开始接受服务止这段时间为等待时间。 逗留时间：从顾客到达时刻起到他接受服务完成这段时间为逗留时间。,3、忙期和闲期忙期：顾客到达空闲的服务机构起，到服务机构再次成为空闲止的这段时间。 闲期：服务机构连续保持空闲的时间。,主要数量指标的常用记号： N(t)：时刻t系统中顾客数量（系统的状态），队长； Nq(t)：时刻t系统中排队顾客数量，排队长； T(t)：时刻t到达系统的顾客在系统中的逗留时间； Tq(t)：时刻t到达系统的顾客在系统中的等待时间； Pn(t) 时刻t系统中有n个顾客的概率，系统的瞬时状态；Pn 系统达到统计平衡时处于状态n的概率；,统计平衡： N-系统处
8、于平衡状态时的队长，均值为L,称为平均队长。 Nq-系统处于平衡状态时的排队长，均值为Lq,称为平均排队长。 T-系统处于平衡状态时的顾客的逗留时间，均值为W,称为平均逗留时间。 Tq-系统处于平衡状态时的顾客的等待时间，均值为W,称为平均等待时间。 n 系统处于平衡状态n时,新来顾客到达的平均速率，即单位时间内平均到达的顾客数； n 系统处于平衡状态n时,系统的平均服务速率，即单位时间内服务完毕离去的顾客数；,当n为常数时，记为； 当系统的平均服务速率为常数时，记为u,则当n s, n =su. 因此：顾客相继到达的平均时间间隔为1/ ； 平均服务时间间隔为1/ ； = / s，称 为系统的
9、服务强度。,第二节 生灭过程和poisson过程 一、生灭过程简介 定义1 设N(t),t 0为一个随机过程。如果N(t)的概率分布具有以下的性质： （1）假设N(t)=n，则从时刻t起到下一个顾客到达时刻止的时间服从参数为n的负指数分布，n=0,1,2,3, （2）假设N(t)=n，则从时刻t起到下一个顾客离去时刻止的时间服从参数为n的负指数分布，n=0,1,2,3, （3）同一时刻只有一个顾客到达或离去。 称N(t),t 0为一个生灭过程。,以系统中的顾客数0，1，2，n-1，n，n+1，作为系统的状态，系统位于各个状态的概率分别为P0，P1，P2，Pn-1，Pn，Pn+1，。系统位于某一
10、状态的概率仅与其相邻状态的概率以及从相邻状态转移到该状态的概率有关。,平稳状态的分布,概率分布的要求,二、 Poisson过程和负指数分布 Poisson过程（ Poisson流）的定义 定义2 设N(t),t 0为时间0,t到达系统的顾客数量，如果满足以下三个条件 1、平稳性：在时间区间t, t+t内到达1个顾客的概率记为 t+o(t) 。 2、无后效性：不相交的时间区间内到达的顾客数互相独立。 3、普通性：设在t, t+t内到达多于一个顾客的概率为o(t)。,定理2 在排队系统中，设N(t),t 0为时间0,t到达系统的顾客数量，如果到达的顾客数服从以为参数的Poisson过程的充分必要条
11、件是：则顾客相继到达的时间间隔服从以为参数的负指数分布。,定理1 设N(t),t 0为时间0,t到达系统的顾客数量，则N(t),t 0为Poisson过程的充分必要条件是：,第三节 M/M/S等待制排队模型 一、单服务台模型 M/M/1/ ：顾客的相继到达时间服从参数为的负指数分布，服务台的个数为1，服务时间v服从参数为的负指数分布，系统的空间无限，允许排队。,1、队长的分布 系统达到统计平衡后的状态队长N的概率为pn=PN=n(n=0,1,2,) n=; n= 服务强度 = / ，假设 1,2、主要数量指标 (1)平均队长L,(2)平均排队长L,顾客在系统中的逗留时间T,可以说明服从参数为
12、- 的负指数分布,平均逗留时间为,逗留时间=等待时间+服务时间 T=Tq+V,Little公式： 平均队长L= W 平均排队长Lq= Wq,3、忙期与闲期（B and I） 平均忙期/B 平均闲期/I,例 一个铁路列车编组站，设待编列车到达时间间隔服从负指数分布，平均到达2列/h；编组时间服从负指数分布，平均每20min可编一组。已知编组站上共有2股道，当均被占用，不能停车，再来的列车只能停在站外或前方站。 求在平稳状态下系统的列车的平均数； 每一列的平均停留时间； 等待编组的列车平均数。 如果列车因为站内的2股道均被占用而停在外面。每列车的费用为a元/h，求每天由于列车在站外等待而造成的损失
13、。,问题：编组站上共有2股道？,解：M/M/1/ =2; =60/20=3, = / =2/31 1.系统的平均停车数,2.列车在系统的平均停留时间（Little）,3.系统内等待编组的列车平均数（Little）,4.列车系统内平均等待编组的时间（Little）,5.列车平均延误（站内2股道均被占用不能进入车站）时间为W0,列车由于等待 而支出的费用 E=24 W0a =14.2a,例 某修理店只有一个修理工，来修理的顾客到达过程为poisson流，平均4人/h，修理时间服从负指数分布，平均需要6min. 1.修理店空闲的概率； 2.店内恰好有3个顾客的概率； 3.店内至少1个顾客的概率； 4
14、.在店内的平均顾客数； 5.每位顾客在店内的平均逗留时间； 6.等待服务的平均顾客数； 7.每位顾客平均等待服务时间； 8.顾客在店内等待时间超过10min的概率。,解：M/M/1/ =4; =60/6=10, = / =4/101 1.修理店空闲的概率 P0=1- =1-2/5=0.6,2.修理店内有3位顾客的概率,3.修理店内有至少1位顾客的概率,4.修理店内平均顾客数量,5.修理店内顾客平均逗留时间,6.修理店内等待服务平均顾客数量,7.修理店内每位顾客等待服务时间,8.修理店内顾客逗留时间超过10min的概率,二、多服务台模型M/M/s模型是研究单队、并列的多服务台排队系统。如同单服务
15、台系统一样，分为以下几种情况进行讨论：(1)标准的M/M/s/FCFS模型；(2)系统容量有限的M/M/s/N/FCFS模型；,标准的M/M/s/FCFS模型,顾客到达后，进入队列尾端；当某一个服务台空闲时，队列中的第一个顾客即到该服务台接收服务， n= ,n=0,1,2,3 ；服务完毕后随即离去,各服务台互相独立且服务速率相同，即1=2=s = 。n = n,n=1,2,3,ssu,n=s,s+1,s+2,整个系统的最大服务速率为s ,服务强度：,则当s1时系统才不会排成无限的队列。 这个系统的特点是，系统的服务速率与系统中的顾客数有关。当系统中的顾客数k不大于服务台个数，即1ks时，系统中
16、的顾客全部在服务台中，这时系统的服务速率为k；当系统中的顾客数ks时，服务台中正在接受服务的顾客数仍为s个，其余顾客在队列中等待服务，这时系统的服务速率为s,平均排队长,平均队长,Litle公式,例 某售票处有三个窗口，顾客到达服从Poisson流，到达速率为0.9人分，售票时间服从负指数分布，每个窗口的平均售票速率为0.4人分。顾客到达后排成一队，依次到空闲窗口购票。求： (1)所有窗口都空闲的概率； (2)平均队长； (3)平均等待时间及逗留时间；(4)顾客到达后必须等待的概率。,解：这是一个M/M/3/FCFS系统， s=3, =/=2.25，s=/s=0.75.,(1)所有窗口都空闲的
17、概率，即求P0的值,(2)平均队长，即求L的值，必须先求Lq,(3)平均等待时间和平均逗留时间，即求Wq和W和的值,(4)顾客到达后必须等待，即n3，,在服务台个数和服务率不变时，一个M/M/3/ 系统比3个M/M/1/ 具有优越性，单排队方式比多队排队方式要优越。,第四节 M/M/s混合制排队模型 一、单服务台混合制排队模型M/M/1/K 顾客的相继到达时间服从参数为的负指数分布，服务台的个数为1，服务时间v服从参数为的负指数分布，系统的空间有限K，允许排队。 由于排队系统中最多能容纳k个顾客，等待位置为k-1,所以 n= ,n=0,1,2,k-10,n k n= ,n=1,2,3k,平均队
18、长,平均排队长,系统空间容量k，有k-1等待位置，当顾客的到达率（单位时间来到系统的顾客的平均数量）为，则当系统处于k状态，顾客不能进入系统，说明顾客可进入系统的概率为1-pk,所以单位时间实际可进入系统的顾客的平均数为： e= (1-pk)= (1-P0) e为有效到达率， pk为顾客损失率； 平均等待时间、平均逗留时间,例 某修理店只有一个修理工，修理店内最多可以停放4台待修的机器。来修理的顾客到达过程为poisson流，平均1台/min，修理时间服从负指数分布，平均需要1台/1.25min.求系统的运行指标。,解：M/M/1/ 4 =1; =1/1.25=0.8, = / =1/0.8=
19、1.25，k=4 1.修理店空闲的概率,（3）、 e为有效到达率 e= (1-pk)= (1-P0)=0.702,（5）、平均排队长 Lq=L-(1-P0)=1.56（tai）,（6）、平均等待时间、平均逗留时间,二、多服务台混合制排队模型M/M/S/K 顾客的相继到达时间服从参数为的负指数分布，服务台的个数为S，服务时间v服从参数为的负指数分布，系统的空间有限K，允许排队。 由于排队系统中最多能容纳k个顾客，等待位置为k-1,所以 n= ,n=0,1,2,k-10,n k n= n,n=1,2,3s-1s ,n=s,s+1, k,e= (1-pk)= (1-P0),e为有效到达率，,平均被占用的服务台数（正在接受服务的顾客的平均数）,例 某汽车加油站有2个加油机，汽车按照poisson流到达，2台/min;汽车加油时间服从负指数分布，平均加油时间2min。加油站只能停放3台等待加油汽车，汽车到达时，如果已经满，则离去到别的加油站，对系统进行分析。,解：M/M/2/ 5 =2; =1/2=0.5, = / =2/0.5=4，s=2, s=2 k=3+2=5 1.修理店空闲的概率,4、平均排队时间、平均逗留时间,小结 掌握排队系统的组成； 掌握排队系统运行指标和常见分布； M/M/S等待制排队模型； M/M/S混合制排队模型；,
