1、第四章 目标规划,线性规划只研究在满足一定条件下，单一目标函数取得最优解，而在企业管理中，经常遇到多目标决策问题，如拟订生产计划时，不仅考虑总产值，同时要考虑利润，产品质量和设备利用率等。这些指标之间的重要程度（即优先顺序）也不相同，有些目标之间往往相互发生矛盾。线性规划致力于某个目标函数的最优解，这个最优解若是超过了实际的需要，很可能是以过分地消耗了约束条件中的某些资源作为代价。,线性规划把各个约束条件的重要性都不分主次地等同看待，这也不符合实际情况。求解线性规划问题，首先要求约束条件必须相容，如果约束条件中，由于人力，设备等资源条件的限制，使约束条件之间出现了矛盾，就得不到问题的可行解，但
2、生产还得继续进行，这将给人们进一步应用线性规划方法带来困难。为了弥补线性规划问题的局限性，解决有限资源和计划指标之间的矛盾，在线性规划基础上，建立目标规划方法，从而使一些线性规划无法解决的问题得到满意的解答。,第一节 目标规划问题 一、目标规划问题的提出 在实际问题中，可能会同时考虑几个方面都达到最优：产量最高，成本最低，质量最好，利润最大，环境达标，运输满足等。多目标规划能更好地兼顾统筹处理多种目标的关系，求得更切合实际要求的解。目标规划可根据实际情况，分主次地、轻重缓急地考虑问题。,例1 某公司分厂用一条生产线生产两种产品A和B ，每周生产线运行时间为60小时，生产一台A产品需要4小时，生
3、产一台B产品需要6小时根据市场预测，A、B产品平均销售量分别为每周9、8台，它们销售利润分别为12、18万元。在制定生产计划时，经理考虑下述4项目标：(1) 产量不能超过市场预测的销售量；(2) 工人加班时间最少；(3) 希望总利润最大；(4) 要尽可能满足市场需求, 当不能满足时, 市场认为B产品的重要性是A产品的2倍。试建立这个问题的数学模型,若把总利润最大看作目标，而把产量不能超过市场预测的销售量、工人加班时间最少和要尽可能满足市场需求的目标看作约束，则可建立一个单目标线性规划模型： 设决策变量 x1，x2 分别为产品A,B的产量，Max Z = 12x1 + 18x2,容易求得上述线性
4、规划的最优解为(9,4)T 到 (3,8)T 所在线段上的点，最优目标值为Z* = 180， 即可选方案有多种。 在实际上，这个结果并非完全符合决策者的要求，它只实现了经理的第一、二、三条目标，而没有达到最后的一个目标。进一步分析可知，要实现全体目标是不可能的。,例2 一家具制造企业，主要生产桌子、椅子两种家具，其经营环境主要受到两种资源木工和油漆工每天的有效工作时间的限制。企业过去的经营环境条件如下： (1) 每天木工和油漆工的总有效工作时间分别为 11小时和10小时。 (2) 每生产一把椅子需要2小时的木工、 1小时的油漆工。 (3) 每生产一张桌子需要1小时的木工、 2小时的油漆工。,(
5、4) 每生产一把椅子和一张桌子分别可获利润 8元、 10元。求解此线性规划问题可以得到最优方案： 每天生产椅子 4 把，桌子 3 张，获最大利润 62 元。企业过去一直以如何计划两种家具的生产量才能获得最大总利润为其生产、经营的唯一目标。然而，市场经济环境下新的问题出现了，它迫使企业不得不考虑.,（1）首先，根据市场信息，椅子的销售量已有下降的趋势，故应果断决策减少椅子的产量，其产量最好不大于桌子的产量。 （2）其次，市场上找不到符合生产质量要求的木工了，因此决不可能考虑增加木工这种资源来增加产量，并且由于某种原因木工决不可能加班。 （3）再其次，应尽可能充分利用油漆工的有效工作时间，但油漆工
6、希望最好不加班。 （4）最后，企业考虑最好达到并超过预计利润指标 56元。,二、目标规划模型的基本概念把例1的4个目标表示为不等式，仍设决策变量 x1，x2 分别为产品A，B的产量。那么，第一个目标为: x1 9 ，x2 8 ；第二个目标为: 4x1 + 6x2 60 ；第三个目标为: 希望总利润最大，要表示成不等式需要找到一个目标上界，这里可以估计为252（=129 + 188 ），于是有12x1 + 18x2 252；第四个目标为: x19，x28；,下面引入与建立目标规划数学模型有关的概念 1正、负偏差变量d +，d -我们用正偏差变量d + 表示决策值超过目标值的部分；负偏差变量d -
7、 表示决策值不足目标值的部分。因决策值不可能既超过目标值同时又末达到目标值，故恒有 d + d - 0。 2绝对约束和目标约束我们把所有等式、不等式约束分为两部分：绝对约束和目标约束。绝对约束是指必须严格满足的等式约束和不等式约束；如在线性规划问题中考虑的约束条件，不能满足这些约束条件的解称为非可行解，所以它们是硬约束。如例1 中生产A，B产品所需原材料数量有限制，并且无法从其它渠道予以补充，则构成绝对约束。,目标约束是目标规划特有的，目标约束具有更大的弹性，我们可以把约束右端项看作要努力追求的目标值，但允许结果与所制定的目标值存在正或负的偏差，用在约束中加入正、负偏差变量来表示，于是称它们是
8、软约束。对于例1，我们有如下目标约束x1 + d1- -d1+ = 9 (4.1)x2 + d2- -d2+ = 8 (4.2)4x1 + 6x2 + d3- -d3+ = 60 (4.3)12x1+18x2 + d4- -d4+ =252 (4.4),3优先因子与权系数对于多目标问题，决策者在要求达到这些目标是，是有主次或轻重缓急的不同。多个目标之间有相互冲突时，决策者首先必须对目标排序。设置各目标的优先因子，依据优先因子的大小确定目标顺序。要求第一位达到的目标赋予优先因子P1，次位的目标赋予优先因子P2，并规定PkPk+1，k=1,2,，K。表示Pk比Pk+1有更大的优先权。即首先保证P1
9、级目标的实现，这时可不考虑次级目标；而P2级目标是在实现P1级目标的基础上考虑的；依此类推。若要区别具有相同优先因子的两个目标的差别，这时可分别赋予它们不同的权系数j，这些都由决策者按具体情况而定。,4目标规划的目标函数目标规划的目标函数是通过各目标约束的正、负偏差变量和赋于相应的优先等级来构造的。当每一目标值确定后，决策者的要求是尽可能从某个方向缩小偏离目标的数值。于是，目标规划的目标函数应该是求极小：min f f （d +，d -)。其基本形式有三种： （1）要求恰好达到目标值，即使相应目标约束的正、负偏差变量都要尽可能地小。这时取 min （d + + d - )； （2）要求不超过目
10、标值，即使相应目标约束的正偏差变量要尽可能地小。这时取 min （d + )；（3）要求不低于目标值，即使相应目标约束的负偏差变量要尽可能地小。这时取 min （d - )；,目标规划的目标函数中包含了多个目标，决策者对于具有相同重要性的目标可以合并为一个目标，如果同一目标中还想分出先后次序，可以赋予不同的权系数，按系数大小再排序。对于例1, 我们根据决策者的考虑知第一优先级要求 min（d1+ + d2+ )；第二优先级要求 min（d3+ )；第三优先级要求 min（d4- ）；第四优先级要求 min（d1- + 2d2- ），这里，当不能满足市场需求时，市场认为B产品的重要性是A产品的2
11、倍即减少B产品的影响是A产品的2倍，因此我们引入了2:1的权系数。,综合上述分析，我们可得到下列目标规划模型:Min f = P1（d1+ + d2+ ) + P2 d3+ + P3 d4- + P4（d1- + 2d2- ),(4.5),三、目标规划模型的一般形式 根据上面讨论,我们可以得到目标规划的一般形式如下,例3：某车间有A、B两条设备相同的生产线，它们生产同一种产品。A生产线每小时可制造2件产品，B生产线每小时可制造1.5件产品。如果每周正常工作时数为45小时，要求制定完成下列目标的生产计划： （1）生产量达到210件/周； （2） A生产线加班时间限制在15小时内； （3）充分利用
12、工时指标，并依A、B产量的比例确定重要性。,建立目标规划的数学模型时，需要确定目标值、优先等级、权系数等，它都具有一定的主观性和模糊性，可以用专家评定法给以量化。,解：设A，B生产线每周工作时间为X1，X2。A，B的产量比例2：1.5 = 4:3 目标函数：Min S=P1d1-+P2d2+4 P3d3-+3 P3d4- 约束方程： 2X1+1.5X2+ d1- d1+=210（生产量达到210件/周）X1 + d2- d2+=60 （A生产线加班时间限制在15小时内）,X1 + d3- d3+=45（充分利用A的工时指标）X2+ d4- d4+=45（充分利用B的工时指标）X1,X2,di-
13、, di+ 0(i=1,2,3,4),A，B的产量比例2：1.5 = 4:3 目标函数：Min S=P1d1-+P2d2+4 P3d3-+3 P3d4- 约束方程： 2X1+1.5X2+ d1- d1+= 210X1 + d2- d2+= 60X1 + d3- d3+= 45X2+ d4- d4+= 45X1,X2,di-, di+ 0 (i=1,2,3,4),例4：某电器公司经营的唱机和录音机均有车间A、B流水作业组装。数据见下表。 要求按以下目标制订月生产计划： （1）库存费用不超过4600元； （2）每月销售唱机不少于80台； （3）不使A、B车间停工(权数由生产费用确定)； （4）A车
14、间加班时间限制在20小时内； （5）每月销售录音机为100台； （6）两车间加班时数总和要尽可能小（权数由生产费用确定）；,解：设每月生产唱机、录音机X1，X2台。且A、B的生产费用之比为100：50=2：1 目标函数： Min S=P1d1+P2d2-+2 P3d4-+ P3d5-+P4d41+ P5d3-+ P5d3+2P6d4+ P6d5+ 约束方程： 50X1+30X2+ d1- d1+=4600（库存费用不超过4600元）X1 + d2- d2+=80（每月销售唱机不少于80台）,X2 + d3- d3+=100（每月销售录音机为100台）2X1 + X2+ d4- d4+=180（不使A车间停工）X1 + 3X2+ d5- d5+=200（不使B车间停工） d4+ d41- d41+=20（A车间加班时间限制在20小时内）X1,X2,di-, di+ ,d41-,d41+ 0(i=1,2,3,4,5),
