1、堆栈、队列、二叉树,线性表 堆栈 队列二叉树,栈的逻辑结构,空栈：不含任何数据元素的栈。,（a1, a2, , an）,栈：限定仅在表尾进行插入和删除操作的线性表。,允许插入和删除的一端称为栈顶，另一端称为栈底。,栈,栈,a1,a2,a3,入栈,出栈,插入：入栈、进栈、压栈 删除：出栈、弹栈,栈的示意图,栈,栈的操作特性：后进先出,a1,a2,a3,入栈,出栈,插入：入栈、进栈、压栈 删除：出栈、弹栈,栈的示意图,栈操作函数包括： 栈的初始化、 栈的释放、 弹栈 压栈。,存储方式： 连续存储(基于数组)：顺序栈 动态存储(基于链表)：链栈,/ stack.h #ifndef STACK_T_H
2、 #define SATCK_T_H #include / 结构定义 struct Stack int *data; / 栈数据存储int memNum; / 栈元素个数int size; / 栈大小 ;int InitStack( Stack / 函数原型 #endif STACK_T_H,顺序栈的定义(1),/ stack.cpp #include “stack.h” /初始化栈 int InitStack( Stack ,顺序栈栈的定义(2),/弹栈，无数据时返回0，否则返回1 int PopStack( Stack ,顺序栈的定义(3),/ test.cpp #include #inc
3、lude “stack.h” int main() int i, num;Stack newStack;InitStack( newStack, 10 );cout“Push integers to stack :“endl;for ( i=0; i10; +i ) couti“ “;PushStack( newStack, i ); coutendl;cout“From function popStack :“endl;for ( i=0; i10; +i) if ( PopStack(newStack, num ) )coutnum“ “;,顺序栈的测试(1),coutendlendl;f
4、or ( i=10; i20; +i ) newStack.datanewStack.memNum+ = i;cout“Reading from struct newStack :“endl;for ( i=0; i10; +i ) coutnewStack.datai“ “;coutendl;for ( i=10; i20; +i ) coutnewStack.datai“ “;coutendl;DelStack(newStack);return 0; ,顺序栈的测试(2),顺序栈的测试输出(3),使用结构时的一些缺陷 通过专门的函数使用时没有问题 直接操作时可能会出错，任何函数都可以直接操
5、作 可能会被赋予不恰当的值，或破坏默认的操作流程，如栈的先进后出 数据和函数的相关性也没有体现，所有函数都是平等的 根本原因对数据的访问权限问题 封装和隐藏机制可以克服该问题,队列,队列的逻辑结构,空队列：不含任何数据元素的队列。,队列：只允许在一端进行插入操作，而另一端进行删除操作的线性表。,允许插入（也称入队、进队）的一端称为队尾，允许删除（也称出队）的一端称为队头。,（a1, a2, , an）,队列,队列的操作特性：先进先出,a1,a2,a3,入队,队尾,队头,出队,队头,队列的逻辑结构,队列操作函数包括： (1)队列的初始化 (2)队列的释放、 (3)插入一个新的队尾元素，称为进队；
6、 (4)删除队头元素，称为出队； (5)读取队头元素；,队列,队列的顺序存储结构及实现,顺序队列：队列的顺序存储结构,如何改造数组实现队列的顺序存储？,例：a1a2a3a4依次入队,a1,a2,a3,a4,入队操作时间性能为O(1),队列,如何改造数组实现队列的顺序存储？,例：a1a2依次出队,队列的顺序存储结构及实现,a1,a2,a3,a4,队列,如何改造数组实现队列的顺序存储？,例：a1a2依次出队,队列的顺序存储结构及实现,a2,a3,a4,队列,如何改造数组实现队列的顺序存储？,例：a1a2依次出队,队列的顺序存储结构及实现,a3,a4,出队操作时间性能为O(n),队列,队列的顺序存储
7、结构及实现,如何改进出队的时间性能？,队列,队列的顺序存储结构及实现,例：a1a2a3a4依次入队,a1,a2,a3,a4,入队操作时间性能仍为O(1),队列,例：a1a2依次出队,队列的顺序存储结构及实现,a1,a2,a3,a4,出队操作时间性能提高为O(1),队列,例：a1a2依次出队,队列的顺序存储结构及实现,a3,a4,队列的移动有什么特点？,队列,例：a1a2依次出队,队列的顺序存储结构及实现,a3,a4,队列,假溢出：当元素被插入到数组中下标最大的位置上之后，队列的空间就用尽了，尽管此时数组的低端还有空闲空间，这种现象叫做假溢出。,队列的顺序存储结构及实现,继续入队会出现什么情况？
8、,a3,a4,a5,队列,循环队列：将存储队列的数组头尾相接。,队列的顺序存储结构及实现,如何解决假溢出？,0 1 2 3 4,入队,出队,a3,a4,a5,a6,逻辑上的循环队列,队列,不存在物理的循环结构，用软件方法实现。 求模：（41）mod 50,队列的顺序存储结构及实现,如何实现循环队列？,0 1 2 3 4,入队,出队,a3,a4,a6,队列,如何判断循环队列队空？,队空的临界状态,队列的顺序存储结构及实现,0 1 2 3 4,入队,出队,a3,队列,如何判断循环队列队空？,执行出队操作,队空：front=rear,队列的顺序存储结构及实现,0 1 2 3 4,入队,出队,a3,队
9、列,如何判断循环队列队满？,队满的临界状态,队列的顺序存储结构及实现,0 1 2 3 4,入队,出队,a3,a4,a5,a6,队列,如何判断循环队列队满？,执行入队操作,队满：front=rear,队列的顺序存储结构及实现,0 1 2 3 4,入队,出队,a3,a4,a5,a6,a7,队列,方法一：附设一个存储队列中元素个数的变量num，当num=0时队空，当num=QueueSize时为队满； 方法二：修改队满条件，浪费一个元素空间，队满时数组中只有一个空闲单元； 方法三：,如何确定不同的队空、队满的判定条件？ 为什么要将队空和队满的判定条件分开？,队列的顺序存储结构及实现,队列,循 环 队
10、 列 类 的 声 明,const int QueueSize=100; template class CirQueue public:CirQueue( )； CirQueue( )；void EnQueue(T x); T DeQueue( ); T GetQueue( ); bool Empty( )；private:T dataQueueSize; int front, rear; ;,队列,template void CirQueue:EnQueue(T x)if (rear+1) % QueueSize =front) throw “上溢“;rear=(rear+1) % Queue
11、Size; datarear=x; ,循环队列的实现入队,a3,a4,a5,队列,0 1 2 3 4,入队,a4,a5,a6,出队,template T CirQueue:DeQueue( ) if (rear=front) throw “下溢“; front=(front+1) % QueueSize; return datafront; ,循环队列的实现出队,a3,队列,template T CirQueue:GetQueue( ) if (rear=front) throw “下溢“; i=(front+1) % QueueSize; return datai; ,循环队列的实现读队头元
12、素,0 1 2 3 4,入队,a4,a5,a6,出队,a3,树,树的基本概念和术语 二叉树的基本概念和性质 二叉树的存储结构和各种遍历算法,树的基本概念,什么是树？什么是子树、树根？树的深度？ 什么是结点、双亲结点、孩子结点、 结点的度、兄弟、祖先和子孙？,树的定义,树(Tree)是由一个或多个结点组成的有限集合T。其中： （1）有一个特定的结点，称为该树的根（root）结点；,（2）根结点之外的其余结点可分为m(m0)个互不相交的有限集合T1,T2,Tm，且其中每一个集合本身又是一棵树，称之为根的子树（Sub Tree）。这是递归定义。仅有一个根结点的树是最小树。,树的常用术语,子女：若结点
13、的子树非空，结点子树即为该结点的子女。 双亲：若结点有子女，该结点是子女双亲。,树的常用术语,兄弟：同一结点的子女互称为兄弟。 度：结点的子女个数即为该结点的度；树中各个结点的度的最大值称为树的度。 分支结点：度不为0的结点即为分支结点，亦称为非终端结点。 叶结点：度为0的结点即为叶结点，亦称为终端结点。 祖先：某结点到根结点的路径上的各个结点都是该结点的祖先。 子孙：某结点的所有下属结点，都是该结点的子孙。,树的常用术语,结点的层次：规定根结点在第一层，其子女结点的层次等于它的层次加一。以下类推。 深度：结点的深度即为结点的层次；离根最远结点的层次即为树的深度。,树的常用术语,高度：规定叶结
14、点的高度为1，其双亲结点的高度等于它的高度加一。 树的高度：等于根结点的高度，即根结点所有子女高度的最大值加一。 有序树：树中结点的各棵子树 T0, T1, 是有次序的，即为有序树。 无序树：树中结点的各棵子树之间的次序是不重要的，可以互相交换位置。 森林：森林是m（m0）棵树的集合。,树的表示形式,树形结构法，如前面图 (a); 集合包含关系文氏图法，如图(b); 凹入法，如图(c)。,二叉树,二叉树的定义：二叉树（Binary Tree）是n(n0)个结点的有限集合。它或为空树（n=0）；或为非空树。对于非空树T：（1）有且仅有一个特定的称之为根root的结点；（2）当n1时，除根结点以外
15、的其余结点分为两个互不相交的子集T1和T2，它们称之为T的左子树和右子树，且都是二叉树。这个定义是递归的。 由于左、右子树也是二叉树， 因此子树也可为空树。,5种基本形态的二叉树,(a)空树 (b)仅有一个结点 (c)仅有左子树而右子树为空(d) 仅有右子树而左子树为空(e) 左右子树均为非空的二叉树(a) (b) (c) (d) (e),注意：二叉树的左、右子树必须严格区分。（c）与（d）就是两棵不同的二叉树。,L,L,R,R,二叉树的重要性质,性质1 二叉树第i(i1)层上至多有2i-1个结点。 证明：(数学归纳法)根结点在二叉树的第1层上，这层结点数最多为1个，即20个；第2层上最多有2
16、个结点，即21个；假设第i1层的结点最多有2i2个，且每个结点最多有两个孩子；那么第i层上结点最多有 2*2i2 = 2i1个。,二叉树的重要性质,性质2 深度为k(k1)的二叉树至多有2k1个结点。 证明：由性质1可知各层结点最多数之和为：20+21+22+2k1 ；由二进制换算关系可知： 20+21+22+2k1 = 2k 1；因此，二叉树树中结点的最大数目为2k 1 。性质2证明完毕。,二叉树的重要性质,性质3：在任意二叉树中，若叶子结点（即度为零的结点）个数为n0，度为1的结点个数为n1，度为2的结点个数为n2，那么n0 = n2+1。 证明：设n代表二叉树结点的总数，那么：n = n
17、0 + n1 + n2 (1)有n个结点的二叉树总边数为n1条，得：n1 = 0*n0 + 1*n1 + 2*n2 (2) 将式(1)代入式(2)得：n0 = n2+1。,满二叉树和完全二叉树(二种特殊二叉树),深度为k并且含有2k1个结点的二叉树称为满二叉树，如图（a）。 对满二叉树的结点可以从根结点开始自上向下，自左至右顺序编号。 深度为k含有n个结点的二叉树，当且仅当每个结点的编号与相应满二叉树的结点顺序编号从1到n 一一对应，则称此二叉树为完全二叉树，如图（b）。 图（c）因为其结点编号与满二叉树的结点编号不是一一对应完全相同，不是完全二叉树。,二叉树的重要性质,性质4：具有n个结点的
18、完全二叉树，其树深k为 证明：假设某完全二叉树的结点总数是n，n值应该大于树深为k1的满二叉树结点数2k11，且小于等于树深为k的满二叉树结点数2k1： 2k11 n 2k1 由于不等式各项均为整数，当对两端两项各加1时得： 2k1 n 2k 再对其取对数得：k1 log2n k 对log2n取整等于k1。所以：k=,二叉树的重要性质,性质5：若对有n个结点的完全二叉树进行顺序编号 （1in），那么对于编号为i(i1)的结点： 若i = 1, 则 i 无双亲 若i 1, 则 i 的双亲为i2 若2*i = n, 则 i 的左子女为 2*i，若2*i+1 = n, 则 i 的右子女为2*i+1
19、若 i 为奇数, 且i != 1, 则其左兄弟为i-1, 若 若 i 为偶数, 且i != n, 则其右兄弟为i+1,二叉树的存储结构,二叉树的存储结构有多种，最常用的是： 顺序存储结构 链表存储结构。,链表存储结构,用于二叉树存储的链表结构，常见的有二叉链表和三叉链表二叉链表的每个结点的结构描述如下： struct node int data; /数据域 node *lch; /左指针域node *rch; /右指针域 ,链表存储结构,三叉链表的每个结点的结构描述如下： struct node3 int data; /数据域node3 *lch, *par， *rch; /par是双亲指针域
20、 ;,链表存储结构,二叉树 二叉链表 三叉链表,二叉树链表表示的示例,二叉树类,/Binary Tree- #include #include typedef int ElemType; struct node /定义结点结构体 ElemType data;node *lch;node *rch;node() lch=NULL; rch=NULL;node( ElemType x, node *l=NULL, node *r=NULL ) data=x; lch=l; rch=r; ;,二叉树类,class BinTree public:BinTree() root=NULL; /构造函数，空
21、树BinTree() /析构函数 destroy(root) ; root=NULL; void create() /建立二叉树void preorder() /先根遍历调用 preorder(root);void inorder() /中根遍历调用 inorder(root); void postorder() /后根遍历调用 postorder(root);,二叉树类,protected:node *root; /数据成员，树根指针private:void CreateBinTree( ifstream/ BiTree End,遍历二叉树,二叉树最主要、最基本的运算是遍历。 遍历二叉树是指
22、以一定的次序访问二叉树中的每个结点，并且每个结点仅被访问一次。 访问结点是指对结点进行各种操作的简称。 例如，查询结点数据域的内容，或输出它的值，或找出结点位置，或是执行对结点的其他操作。遍历二叉树的过程实质是把二叉树的结点进行线性排列的过程。,遍历的顺序,二叉树的遍历就是按某种次序访问树中的结点，要求每个结点访问一次且仅访问一次。 设访问根结点记作 V遍历根的左子树记作 L遍历根的右子树记作 R 则可能的遍历次序有前序 VLR中序 LVR 后序 LRV,前序遍历,前序遍历二叉树算法的框架是： 若二叉树为空，则空操作； 否则 访问根结点 (V)； 前序遍历左子树 (L)； 前序遍历右子树 (R
23、)。遍历结果- + a * b - c d / e f,前序遍历,void BinTree:PreOrder ( node* p ) if ( p != NULL) /访问根结点coutdata; /operate /遍历左子树PreOrder ( p-lch );/遍历右子树 PreOrder ( p-rch ); ;,前序遍历,中序遍历,中序遍历二叉树算法的框架是： 若二叉树为空，则空操作； 否则 中序遍历左子树 (L)； 访问根结点 (V)； 中序遍历右子树 (R)。遍历结果a + b * c - d - e / f,中序遍历,void BinTree:InOrder ( node* p
24、 ) if ( p != NULL ) /遍历左子树InOrder ( p-lch );/访问根结点coutdata; /operate /遍历右子树 InOrder ( p-rch ); ;,后序遍历,后序遍历二叉树算法的框架是： 若二叉树为空，则空操作； 否则 后序遍历左子树 (L)； 后序遍历右子树 (R)； 访问根结点 (V)。遍历结果a b c d - * + e f / -,-,-,/,+,*,a,b,c,d,e,f,后序遍历,void BinTree:PostOrder ( node* p ) if ( p != NULL) /遍历左子树PostOrder ( p-lch );
25、/遍历右子树 PostOrder ( p-rch );/访问根结点coutdata; /operate ;,利用二叉树前序遍历建立二叉树,以递归方式建立二叉树。 输入结点值的顺序必须对应二叉树结点前序遍历的顺序。并约定以输入序列中不可能出现的值作为空结点的值以结束递归, 此值在RefValue中。例如用“”或用“-1”表示字符序列或正整数序列空结点。,利用二叉树前序遍历建立二叉树,如图所示的二叉树的前序遍历顺序为 A B C D E G F ,利用二叉树前序遍历建立二叉树,void BinTree:CreateBinTree( ifstream,利用二叉树前序遍历建立二叉树,/递归建立左子树C
26、reateBinTree( in, p-lch ); /递归建立右子树CreateBinTree (in, p-rch); / 关闭指向空子树的指针else p = NULL; ;,二叉排序树,二叉排序树的定义： 二叉排序树或者是一棵空二叉树，或者是具有以下性质的二叉树 若它的左子树非空，则左子树上所有结点的值均小于根结点的值 若它的右子树非空，则右子树上所有结点的值均不小于根结点的值 左右子树本身右各是一棵二叉排序树,二叉排序树,用中序遍历二叉树就可以得到由小到大的有序树15 23 26 47 56 89,二叉排序树,插入操作 若二叉排序树为空，则新结点为二叉排序树的根结点； 否则将新结点的
27、关键字值和根结点的关键字值进行比较， 若小于根结点的值，则将新结点插入到左子树中去， 否则，插入到右子树中去。此插入过程是递归进行的,二叉排序数,void BinTree:Insert( const int data, node * ,二叉排序树,查找某一结点 node * BinTree:Find( int data, node *b ) if ( b != NULL ) node *temp = b;while ( temp != NULL )if ( temp-data = data ) return temp;if ( temp-data lchild;else temp = temp
28、-rchild; ,二叉排序,删除操作 一个结点被删除后，必须保证余下的结点仍然构成一棵二叉排序树。下面分两种情况讨论： 情况一：被删除的结点至少有一棵空子树 方法：使被删结点的那棵非空子树的根成为其双亲结点的相应子女,二叉排序树,后继结点,前驱结点, 将结点50删除,二叉排序树,情况二：被删除的结点有两棵非空的子树 方法一：找到被删除结点在中序遍历序列中的直接后继结点（它一定在被删除结点的右子树中），用此后继结点的值取代被删除结点的值，然后删除此后继结点，由于被删除的后继结点的左子树一定是空子树，所以删除后继结点的过程同情况一。 方法二：用被删除结点在中序遍历序列中的直接前驱结点（该结点的右子树也一定为空）代替被删除的结点，然后删除这个前驱结点。,二叉排序树,中序遍历：,10,15,30,33,35,37,50,53,55,62,
