1、第三章 命题逻辑的推理理论,第1节 推理的形式结构,第2节 自然推理系统 P,一、推理形式系统,二、自然推理系统 P,第2节 自然推理系统 P,三、P 中的证明,定义 3.2 一个推理系统I由下面四个部分组成：,1. 定义,（1） 非空的字符表集，记作 A(I) ,（2） A(I) 中符号构造的合式公式集，记作 E(I).,一、推理形式系统,（3） E(I) 中一些特殊的公式组成的公理集，记作 AX(I).,（4） 推理规则集，记作R(I)。,可以将形式系统 I 记为四元组，, 为 I 的形式演算系统.,其中 是 I 的形式语言系统，,2. 形式系统一般分类.,一类是自然推理系统, 它的特点是
2、从任意给定的前提出发，应用系统中的推理规则进行推理演算，得到的最后命题公式是推理的结论（有时称为有效的结论，它可能是重言式，也可能不是）.,另一类是公理推理系统，它只能从若干给定的公理出发，应用系统中推理规则进行推理演算，得到的结论是系统中的重言式，称为系统中的定理.,我们只介绍自然推理系统 P，它的定义中无公理部分.,P是一个自然推理系统，因而没有公理. 故P只有三个部分。,定义3.3 自然推理系统P定义如下：,1字母表,二、自然推理系统 P,（1） 命题变项符号：p，q，r，,pi，qi，ri，,（2） 联结词符号：,（3） 括号和逗号：( )，,2合式公式 同定义1.6,3推理规则,(1
3、) 前提引入规则：在证明的任何步骤上都可以引入前提.,(2) 结论引入规则：在证明的任何步骤上所得到 的结论都可以作为后继证明的前提.,(3) 置换规则：在证明的任何步骤上，命题公式 中的子公式都可以用与之等值的公式置换，得到公式序列中的又一个公式.,由九条推理定律和结论引入规则还可以导出以下各条推理定律。,(4) 假言推理规则（或称分离规则）：若证明的公 式序列中已出现过AB和A，则由假言推理定律 (AB)A B 可知，B是AB和A的有效结论. 由结论引入规则可知，可将B引入到命题序列中来. 用图式表示为如下形式：,以下各条推理定律直接以图式给出.,（5） 附加规则：,（6） 化简规则：,（
4、7） 拒取式规则：,（8） 假言三段论规则：,（9） 析取三段论规则：,（10） 构造性二难推理：,（11） 破坏性二难推理规则：,（12） 合取引入规则：,本条规则说明，若证明的公式序列中已出现 A 和B , 则可将 AB 引入序列中。,P中的证明就是由一组P中公式作为前提，利用P中的规则，推出结论.在自然推理系统P中，构造形式结构为,三、P中的证明,的推理，在对其证明时，首先写出：,前提：,结论：,然后用定义3.3中给出的推理规则进行证明.,例3.3 在自然推理系统P中构造下面推理的证明：,(1) 前提：pq, qr, ps, s,结论：r(pq),(2) 前提：pq, rq , rs,结
5、论：ps,解 (1) 证明：, ps 前提引入, s 前提引入, p 拒取式, pq 前提引入, q 析取三段论, qr 前提引入, r 假言推理, r(pq) 合取,此证明的序列长为8,最后一步为推理的结论,所以推理正确，即 r(pq) 是有效结论.,(1) 前提：pq,qr, ps, s结论：r(pq), pr 假言三段论, rq 前提引入, qr 置换, rs 前提引入, ps 假言三段论,(2) 证明：, pq 前提引入, pq 置换,从最后一步可知推理正确，ps 是有效结论 .,(2) 前提：pq, rq , rs 结论：ps,例3.4 在自然推理系统P中构造下面推理的证明：,若数
6、a 是实数，则它不是有理数就是无理数； 若 a 不能表示成分数，则它不是有理数； a 是实数且它不能表示成分数. 所以 a 是无理数.,解 首先将简单命题符号化：,设 p：a 是实数. q：a 是有理数.r：a 是无理数. s：a 能表示成分数.,前提：p(qr), sq, ps,结论：r,证 明 ：, ps 前提引入, s 化简, p(qr) 前提引入, p 化简, qr 假言推理, r 析取三段论, sq 前提引入, q 假言推理,P中证明的两个常用技巧：,1附加前提证明法,2归谬法,有时推理的形式结构具有如下形式,（A1A2Ak)(AB) （3.5）,（3.5）式中结论也为蕴涵式. 此时
7、可将结论中的前件也作为推理的前提，使结论只为B. 即，（3.5）化为下述形式,(A1A2AkA)B （3.6）,四 附 加 前 提 法,其正确性证明如下：,（A1A2Ak)(AB)）,(A1A2Ak)(A B）,(A1A2AkA)B,(A1A2AkA)B,(A1A2Ak)A)B,可见（3.5）式与（3.6）式是等值的.,用形式结构（3.6）式证明，将A称为附加前提，并称此证明法为附加前提证明法.,例3.5 在自然推理系统P中构造下面推理的证明.,如果小张和小王去看电影，则小李也去看电影; 小赵不去看电影或小张去看电影；小王去看电影.所以，当小赵去看电影时，小李也去看电影.,解: 将简单命题符号
8、化：,设 p:小张去看电影. q:小王去看电影. r:小李去看电影.s:小赵去看电影.,前提：(pq)r, sp, q,结论：sr,证明：用附加前提证明法., sp 前提引入, s 附加前提引入, p 析取三段论, pq 合取, (pq)r 前提引入, q 前提引入, r 假言推理,在构造形式结构为(A1A2Ak)B 的推理证明中，如果将B作为前提能推出矛盾来，比如说得出 (AA)，则说明推理正确.其原因如下：,(A1A2Ak)B,(A1A2AkB),(A1A2Ak)B,五 归 谬 法,若(A1A2AkB)为矛盾式，正说明,(A1A2Ak)B为重言式，即,(A1A2Ak) B, 故推理正确.,
9、例3.6 在自然推理系统P中构造下面推理的证明.,如果小张守第一垒并且小李向B队投球，则A队将取胜；或者A队未取胜，或者A队获得联赛第一名；A队没有获得联赛的第一名；小张守第一垒. 因此，小李没有向B队投球.,解 先将简单命题符号化.,设 p: 小张守第一垒. q: 小李向B队投球.r: A队取胜. s: A队获得联赛第一名.,前提：(pq)r, rs, s , p,结论：q,证明：用归谬法, (pq) 拒取式, q 结论的否定引入, rs 前提引入, s 前提引入, r 析取三段论, (pq)r 前提引人, pq 置换, p 前提引入, q 析取三段论, qq 合取,所以推理正确.,(pq)r)(rs)sp)q 0 ，,由最后一步 qq 0 ，即,作业： P5556 14. (1) 15. (1) 16. (1) 18.(1),
