1、2017 届百校联盟高三 4 月教学质量检测乙卷数学（理）试题一、选择题1 已知集合 ， ，则阴影部分所表2|730Ax|lg1BxZ示的集合的元素个数为（ ）A. B. C. D. 1234【答案】B【解析】依题意， ，2 1|70|2130|3Axxx，阴影部分表示集|lg1|,245,6789ZZ合 ，故 .选 B.B,2 已知复数 的共轭复数为 ，若 （ 为虚数单位）zz31252zii，则在复平面内，复数 所对应的点位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】A【解析】依题意，设 ，则 ，故,zabiR32zabi，故 ，则在复平面内，复数 所对应
2、的5221iabii1,2z点为 ，位于第一象限.选 A.1,3 已知命题 ，则命题 的否定为（ ）31,68pxx： pA. B. 3,： 31,68x：C. D. 000xx： 000,1x：【答案】C【解析】全称命题的否定为特称命题，故其否定为 .3000,68px：选 C.点睛：1.命题的否定与否命题区别“否命题”是对原命题“若 p，则 q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非 p”，只是否定命题 p 的结论. 2 命题的否定的注意点(1)注意命题是全称命题还是存在性命题，是正确写出命题的否定的前提；(2)注意命题所含的量词，对于量词
3、隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定；(3)注意“或” “且”的否定， “或”的否定为“ 且” ，且”的否定为“或”.4 的展开式中，含 项的系数为（ ）2631)x（ 3xA. B. C. D. 60060【答案】C【解析】依题意，由排列组合知识可知，展开式中 项的系数3x.选 C.3432662110C5 已知双曲线 的左焦点为 ，第二象限的点 在双2:(,)xyabFM曲线 的渐近线上，且 ，若直线 的斜率为 ，则双曲线 的渐近OMbaC线方程为（ ）A. B. C. D. yx2yx3yx4yx【答案】A【解析】设 ，依题意，联立 解得 ，故F(-c,0)2,abyx2,ab
4、Mc，2abc解得 ，故所求渐近线方程为 .选 A.abyx6 已知边长为 的菱形 中， ，若 ，2ABCD120A(01)PAC则 的取值范围为（ ）BPDA. B. C. D. 0,3,0,3,【答案】D【解析】如图所示，建立平面直角坐标系，故，,(1)BPm故 ，故 ，故 .选 D.33P 23BPDm2,3BPD7 已知 ，若 ，则 ( )12sinco0,2tan2-1xdA. B. C. D. 33【答案】C【解析】依题意， ， 12sinco2sinco2sin()2sinsinco 42ii i1444因为 ，所以 ，故1sin1sin2或 0,4.选 C.ta 322 1-1
5、-1 |xxdxd8 九章算术是中国古代数学名著，体现了古代劳动人民数学的智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出的 的值为 ，则输入的 的值为（ ）m35aA. B. C. D. 4571【答案】A【解析】起始阶段有 ，第一次循环后， 23,mai；第二次循环后， 2349ma；第三次循环后， 81,i；接着计算 ，2813645,maai21645329maa跳出循环，输出 ，令 ，得 .选 A.293295a9 某颜料公司生产 、 两种产品，其中生产每吨 产品，需要甲染料 吨，ABA1乙染料 吨，丙染料 吨，生产每吨 产品，需
6、要甲染料 吨，乙染料 吨，丙4 0染料 吨，且该公司一天之内甲、乙、丙三种染料的用量分别不超过 吨、5 5吨、 吨，如果 产品的利润为 元/吨， 产品的利润为 元/吨，1600B2则该颜料公司一天内可获得的最大利润为（ ）A. 元 B. 元 C. 元 D. 元1601820【答案】A【解析】依题意，将题中数据统计如下表所示：（吨）A（吨）B染料最高用量（吨）甲染料 50乙染料 4016丙染料 252设该公司一天内安排生产 产品 吨、 产品 吨，所获利润为 元.依据题意AxByz得目标函数为 ，约束条件为 ，欲求目标函数302zy504162,xy的最大值，先画出约束条件表示的可行域，如30x2
7、1zyx图中阴影部分所示，则点 ，50140,403ABCD作直线 ，当移动该直线过点 时， 取得最大值，则32xy,1B32xy也取得最大值（也可通过代入凸多边形端点进行计算，比较大0z小可得）.故 ，max04204z所以工厂每天生产 产品 吨、 产品 吨，才可获得最大利润 元.AB1140点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.10 已知 的外接圆半径为 ，角 所对的边分别为 ，若AB
8、CR,ABC,abc，则 面积的最大值为（ ）32sincosinaA. B. C. D. 25451【答案】C【解析】依题意， ，故 ，故32sincosinaBCR23cos4abC，整理得 ，结合余弦定理可知22a34bc228bc；记 的面积为 ，则 ，将平方283osCABS4sinab相加可得 ，故2 2221648cSabc，即 ，当且仅当 时等号成立.22165S25， 285选 C.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标
9、出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.有时需要利用基本不等式求最值.二、填空题11 已知函数 的部分图象如图所示，sin(0,)2fxMx其中 （点 为图象的一个最高点） ， ，则函数2,3A5,B_fx【答案】 3sin6x【解析】依题意， ，故 ，故 ，将点359,T24M6T23T代入可得 ，故 ，故2,3A2kZkZ.sin6fxx点睛：已知函数 的图象求解析式si(0,)yABA(1) .maxinmaxin,22y(2)由函数的周期 求T(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求 .12 折纸已经成为开发少年儿
10、童智力的一大重要工具和手段.已知在折叠“爱心”的过程中会产生如图所示的几何图形，其中四边形 为正方形， 为线ABCDG段 的中点，四边形 与四边形 也为正方形，连接 ，则向BCAEFGHI,EI多边形 中投掷一点，该点落在阴影部分内的概率为_ HID【答案】 13【解析】设 ，则 ，故多边形 的面积2ABG1A5， AEFGHID；阴影部分为两个对称的三角形，其中S5，故阴影部分的面积90E，111252sin2cos4SABEABG故所求概率 .3P点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件
11、发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率13 已知抛物线 的焦点为 ，准线 与 轴的交点为 ，过点 的2:8CyxFlxM直线 与抛物线 的交点为 ，延长 交抛物线 于点 ，延长 交抛l ,PQCAQF物线 于点 ，若 ，则直线 的方程为_ BF2Al【答案】 【解析】设直线 ，联立 ，故， ，设 ，则，由抛物线的对称性可知，解得 ，故 ，故直线 的方程为 .14 若 时，关于 的不等式 恒成立，则实数 的取值1,
12、xxln1x范围为_【答案】【解析】 2ln1, 1ln10xxx时 ，令 ，则 2l,g,ln2gxx;当 时， ，因此xl20x满足题意；当 时， ，当1010201,xgx时， ，不 满足题意；2xgxxg当 时， ，不 满01,01010gx 足题意；综上实数 的取值范围为 .,2点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.三、解答题15 已知数列 的前 项和为 ，且 ， .nanS28a1nS2a（1）求数列 的通项公式；（2）
13、求数列 的前 项和为 .n123aTn【答案】 （1） （2）nn13【解析】试题分析:（1）先根据当 时， 得数列递推关系2n-1Sna；即得 ，又当 时可得 ，因3na 1nna 213此根据等比数列定义可得数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，3由等比数列通项公式求出 ，即得 .（2）因为n1na，所以可利用裂项相消法求和.nnnn11123233a试题解析：（1）因为 ，故当 时， ；nS2a21a当 时， ，2n1n-12，两式对减可得 ；3na经检验，当 时也满足 ；1na故 ，故数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，故1nn（ ） 3，3a即 .n（2）由（1）可知， ，nn
14、nn11123233a故 .n123nn1n1T-3 2点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中 是各项均不为零的1ncana等差数列，c 为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如 或 .13n12n16 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点2:1(0)xyCab12F、是椭圆 上的点，离心率 .1,2 2e（1）求椭圆 的方程；（2）点 在椭圆 上，若点 与点 关于原点对称，连接0,AxyCNA并延长与椭圆 的另一个交点为 ，连接 ，求 面积的最大值.F
15、MM【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：（1）根据条件列出关于 两个方程，解方程组可得 值，a,ba,b即得椭圆 的方程；（2）联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式C可得底边长 （用直线斜率表示） ，根据点到直线距离公式可得三角形的高（用直MN线斜率表示） ，根据三角形面积公式可得 面积，关于直线斜率的函数关系式，AMN最后根据分式函数求值域方法求函数最值，注意讨论斜率不存在的情形.试题解析：（1）依题意， ， ， ，解得。故椭圆 的方程为 .(2)当直线 的斜率不存在时，不妨取 ，故 .当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，联立方程 化简得 ，设 ，则 ，点 到直线 的距
16、离 ，因为 是线段 的中点，所以点 到直线 的距离为 ，.综上， 面积的最大值为 .17 已知函数 与 的图象关于直线 对称.Fxlnfxyx（1）不等式 对任意 恒成立，求实数 的最大值；1fa0,a（2）设 在 内的实根为 ， ，若fx,0x0,1mxfx在区间 上存在 ，证明： .1,1212()mx120x【答案】 （1）1（2）见解析【解析】试题分析:（1）不等式恒成立问题，一般利用变量分离，转化为对应函数最值问题，即 的最小值，再利用导数求出函数 的lnax1lngx最小值 ，即得 ，因此实数 的最大值为 .（2）先根据函数g1a1与 的图象关于直线 对称，求出 ，再由FxlfxyxexF在 内的实根为 ，得等量关系 ，利用导数研究f,0 0lnx函数 单调性：在 上单调递增；在 上单调递增减，因此mx01x0,x， ， 为其极大值点，根据极点偏移方法证明10,2,：要证： ，即证： ，只要证2x120x2010xx，即证 ，构造函数201m11m，其中 .利用导数可得 在002ln,xhxxe0hxhx上单调递增，即得01, h
