1、基础实验三 数据拟合与曲线拟合1、实验目的对于某个变化过程中的相互依赖的变量，可建立适当的数学模型，用于分析、预报、决策或控制该过程。对于两个变量可通过用一个一元函数去模拟这两个变量的取值，但用不同的方法可得到不同的模拟函数。使用最小二乘法来进行数据拟合，用基本函数曲线及其变化模拟给定的曲线，理解拟合方法。 2、实验解读1、 数据拟合，是使用最小二乘法产生基函数的线性组合，以构造出拟合函数。根据一组二维数据，即：平面上的若干点，要求：确定一个一元函数 y=f(x) ，即： 曲线使这些点与曲线，总体来说，尽量接近。这就是数据拟合成曲线的思想，简称为曲线拟合（fitting a curve） 。曲
2、线拟合的目的是：根据实验获得的数据，去建立因变量与自变量之间有效的经验函数关系，为进一步的深入研究，提供线索。而其实际含义，是寻求一个函数 y=f(x) ，使 f(x) 在某种准则下，与所有数据点最为接近，即： 曲线拟合得最好。最小二乘准则，就是使所有散点到曲线的距离平方和最小。拟合时选用一定的拟合函数 f(x) 形式，设拟合函数可由一些简单的“基函数” （例如：幂函数，三角函数）来线性表示。2、两个变量之间的函数关系，主要有两种：* 是线性关系（一次关系） ；* 是非线性关系（非一次的其它一元函数） 。下面根据本实验，具体分析：一、对于实验一（练习 1）线性拟合，主要从形（大多数散点，是否在
3、拟合曲线上，或附近）与 量（残差，是否小）来观察拟合效果。二、对于实验二（练习 2、3）非线性拟合，使用各种函数（多项式函数、对数函数、双曲线函数、指数函数、三角函数、分式有理多项式函数等初等函数）将其拟合，直到拟合曲线与散点图基本吻合（残差接近 0 时） ，再用 Mathematica 画出所得到的拟合曲线，观察所得曲线与散点的接近程度，从而得出：最接近的拟合曲线方程。3、实验思路2.3 线性拟合（练习 1）对练习 1 采用线性拟合，先对表中的十组数据，进行线性组合，并从形与量看拟合效果；去掉一组数据，对剩余的九组数据进行线性拟合；逐步增加去掉的数据，对剩余的数据进行拟合，并从形与量看拟合效
4、果。增加一组数据，对十一组数据进行线性拟合，并从形与量看拟合效果；比较每一组的拟合情况，以及残差的大小。（一）修改、补充程序要说明拟合效果，主要从形（大多数散点是否在拟合曲线上或附近）与量（残差是否小）！计算残差的程序：假设对两个变量的多组记录数据已有程序biao=x1,y1,x2,y2,xn,yn并且通过 Fit 得到线性拟合函数 y=ax+b我们可以先定义函数（程序）fx_:=a*x+b再给出计算残差的程序dareta=Sum(biaoi ,2-fbiaoi ,1)2,i ,1, n程序说明：biaoi是提取表 biao 的第 i 行，即xi,yibiaoi ,1 是提取表 biao 的第
5、 i 行的第一个数, 即 xibiaoi ,2 是提取表 biao 的第 i 行的第一个数, 即 yibiaoi ,2-fbiaoi ,1 即 yi-(a*xi+b)（二）实验思路1、先对练习 1 的十组数据线性拟合，并从形与量看拟合效果；2、对练习 1 的十组数据中的九组数据线性拟合，并从形与量看拟合效果；3、对练习 1 的十组数据中的八组数据线性拟合，并从形与量看拟合效果；4、对练习 1 的十组数据中的七组数据线性拟合，并从形与量看拟合效果；5、对练习 1 的十组数据中的六组数据线性拟合，并从形与量看拟合效果。6、对练习 1 的十组数据增加数据线性拟合，并从形与量看拟合效果。7、对练习 1
6、 的数据增加与减少对拟合效果的影响！2.4 非线性拟合（练习 2）对于练习 2 非线性拟合，通过改变 i 的范围，假设函数的一般方程，即： 可求得： 拟合曲线。对练习 2 中的数据用二次、三次、 、十五次多项式函数，分别进行非线性拟合，并从形与量看拟合效果。减少或增加数据，查看拟合效果。对练习 2 的数据用指数函数、对数函数、双曲函数、三角函数、分式有理多项式函数等初等函数，分别非线性拟合，并从形与量看拟合效果；思考用初等函数非线性拟合的优点与缺点，同时，思考有没有其它更好的非线性拟合。（一）修改、补充程序要说明拟合效果，主要从形（大多数散点是否在拟合曲线上或附近）与量（残差是否小）！计算残差
7、的程序：假设对两个变量的多组记录数据已有程序biao=x1,y1,x2,y2,xn,yn并且通过 Fit 得到非线性拟合函数 y=f(x)我们可以先定义函数（程序）fx_:=再给出计算残差的程序dareta=Sum(biaoi ,2-fbiaoi ,1)2,i ,1, n程序说明：biaoi是提取表 biao 的第 i 行，即xi,yibiaoi ,1 是提取表 biao 的第 i 行的第一个数, 即 xibiaoi ,2 是提取表 biao 的第 i 行的第一个数, 即 yibiaoi ,2-fbiaoi ,1 即 yi-f(xi)（二）实验思路先对练习 2 的数据用二次、三次、十五次、k
8、次多项式函数分别非线性拟合，并从形与量看拟合效果；思考用多项式函数非线性拟合的优点与缺点。考虑对练习 2的数据增加或减少；先对练习 2 的数据用指数函数、双曲函数等初等函数分别非线性拟合，并从形与量看拟合效果；思考用初等函数非线性拟合的优点与缺点，同时思考有没有其它更好的非线性拟合。考虑对练习 2 的数据增加或减少先对练习 2 的数据用分段函数（非初等函数）非线性拟合，并从形与量看拟合效果；思考用分段函数非线性拟合的优点与缺点，同时思考有没有其它更好的非线性拟合；对练习 2 的数据增加或减少。4、实验材料2.1 曲线拟合（1）初等函数包括基本初等函数与它们经过加减乘除复合等运算后所得到的函数的
9、图形及其变换。拟合函数为多项式情形理论上已经解决，称为拉格朗日插值多项式。（2）光滑曲线的有关内容，包括分段函数的连续性、一阶可导性与高阶可导性。（3）方程或方程组的求解，包括超越方程或方程组的近似解法，线性方程组的精确解。2.2 最小二乘法给定平面上一组点( ， )( )作曲线拟合有多种方法，其中最小ixiyn,2,1二乘法是常用的一种。最小二乘法的原理是：求 ,使 达到最(xfnkkkyxf12)(小。拟合时，选取一定的拟合函数形式，设拟合函数的基底函数为,)(,)(,10 xxm拟合函数为 ,)()()()(10 xcccf m确定 使方差 达到极小，此时得到的 即为所求。为使 取到mc
10、c,10 )(xf 极值，将 的表达式代入，对 求 的偏导数，令其等于零，得到 方程)(xf ic 1m组成的方程组，从中求解 。当 =1 时，取拟合函数 ，此做法称ic bxaxf)(为线性拟合，统计学上叫做线性回归。此时，临界方程组为niiniinii niinii yxbxa1121 11,从中解出 与 ，有 ，其中 ，ablfxy)()( niixx1, 。niiyy1 21)(lniix )(1yl iniixy Mathematica 提供了最基本的数据拟合函数 Fit，这个函数使用最小二乘法产生基函数的线性组合以构造出拟合函数。函数的参数表中包括三项：第一个参数是被拟合的数据；第
11、二个参数是一个表，用于说明拟合用的基函数；第三个参数是拟合变量。2.3 线性拟合练习 1 为研究某一化学反应过程中温度 对产品得率 (%)的影响,测得数据如下：)(0Cxy)(0Cx100 110 120 130 140 150 160 170 180 190%y45 51 54 61 66 70 74 78 85 89试求其线性拟合曲线。Mathematica 程序:b1=100,45,110,51,120,54,130,61,140,66,150,70,160,74,170,78, 180,85,190,89 （将数据以表的形式输入）ft1=Fitb1,1,x,x （用 Fit 拟合，这里
12、是线性拟合）gp=Plotft1,x,100,190,PlotStyle-RGBColor1,0,0 （作拟合曲线的图形）fp=ListPlotb1,PlotStyle-PointSize0.05,RGBColor0,0,1 （作散点图）Showfp,gp （显示点组与拟合曲线，作图。下面为计算残差的程序）a= ;b= ; （a，b 的值由上面的结果确定）fx_=a*x+b; （拟合函数）darata=Sum(b1i,2-fb1i,1)2,i,1,10(计算残差)2.4 非线性拟合练习 2 在某一化学反应里，由实验得到生物的浓度与时间（分）的关系如下t1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
13、11 12 13 14 15 16y4.0 6.4 8.0 8.4 9.28 9.5 9.7 9.9 10.0 10.2 10.32 10.42 10.5 10.55 10.58 10.6求浓度与时间关系的拟合曲线。提示：先用 ListPlot 语句描点，观察点的分布情况，以确定拟合函数。(1)用多项式函数拟合的 Mathematica 程序:Cleargp,fp; b2=1,4,2,6.4,3,8.0,4,8.4,5,9.28,6,9.5,7,9.7,8,9.86,9,10.0,10,10.2,11,10.32,12,10.42,13,10.5,14,10.55,15,10.58,16,10
14、.6gp=ListPlotb2,PlotStyle-RGBColor0,1,0,PointSize0.04 ft2=Fitb2,Tablexi,i,0,4,x （用四次曲线拟合）fp=Plotft2,x,0,17,PlotStyle-RGBColor1,0,0Showgp,fpfx_=expr; （用拟合的多项式函数来定义 f(x)）darata=Sum(b2i,2-fb2i,1)2,i,1,16(计算残差)(2)用函数 作拟合，求拟合曲线。作变换 ， ，拟合函数变形xbaey x1yln为 。lnMathematica 程序为:fxx_:=1/xfyy_:=Logynb=Tablefxb2i
15、,1,fyb2i,2,i,1,16ft3=Fitnb,1,x,x （拟合）f4=a*Expb/x （a，b 的值由上面的结果确定）t1=Plotf4,x,1,18,PlotStyle-RGBColor1,0,0t2=ListPlotb2,PlotStyle-RGBColor0,1,0,PointSize0.05Show%,%(3)用 作拟合。xbay1Mathematica 程序为:gy_:=1/ysb=Tableb2i,1,gb2i,2,i,1,16ft5=Fitsb,1,1/x,xf5=1/ft5t3=Plotf5,x,1,16,PlotStyle-RGBColor0,0,1 Showt1
16、,t2,t3 （在一张图上比较一下用两种方法得到的函数曲线）(4)用分段函数作拟合。5、实验过程与结果2.3 线性拟合* 对十组数据 100,45,110,51,120,54,130,61,140,66,150,70,160,74,170,78,180,85,190,89Mathematica 程序为: lianxi1biao=100,45,110,51,120,54,130,61,140,66,150,70,160,74,170,78, 180,85,190,89ft1=Fitlianxi1biao,1,x,x gp=Plotft1,x,100,190,PlotStyle-RGBColor1
17、,0,0 fp=ListPlotlianxi1biao,PlotStyle-PointSize0.03,RGBColor0,0,1 Showfp,gpa=0.48303030303030314;b=-2.73939393939394;fx_=a*x+b;dareta=Sum(lianxi1biaoi,2-flianxi1biaoi,1)2,i,1,10 线性方程： y = -2.73939+0.48303 x残差： 7.22424图像：120 140 160 18060708090* 对九组数据 100,45,110,51,120,54,140,66,150,70,160,74,170,78,
18、180,85,190,89Mathematica程序为: lianxi1biao=100,45,110,51,120,54,140,66,150,70,160,74,170,78, 180,85,190,89ft1=Fitlianxi1biao,1,x,x gp=Plotft1,x,100,190,PlotStyle-RGBColor1,0,0 fp=ListPlotlianxi1biao,PlotStyle-PointSize0.03,RGBColor0,0,1 Showfp,gp a=0.4850000000000001 ;b=-3.1333333333333084;fx_=a*x+b;d
19、areta=Sum(lianxi1biaoi,2-flianxi1biaoi,1)2,i,1,9 线性方程：y = -3.13333+0.485 x残差：6.2图像：120 140 160 18060708090* 对八组数据 100,45,120,54,140,66,150,70,160,74,170,78,180,85,190,89 线性方程：y = -3.98459+0.489981 x残差：5.34875图像：120 140 160 18060708090* 对七组数据 100,45,120,54,150,70,160,74,170,78,180,85,190,89 线性方程：y =
20、-4.61261+0.492793 x残差：3.0991图像：120 140 160 18060708090* 对六组数据 100,45,120,54,150,70,160,74,180,85,190,89 线性方程：y = -5.+0.496667 x残差：1.43333图像：120 140 160 18060708090* 对五组数据 100,45,120,54,150,70,160,74,190,89线性方程：y = -4.4878+0.492276 x残差：0.906504图像：120 140 160 18060708090* 对十一组数据 100,45,110,51,120,54,1
21、30,61,140,66,145,67,150,70,160,74,170,78,180,85,190,89线性方程：y = -2.76667+0.48303 x残差：7.30606图像：120 140 160 18060708090结果分析：残差越小，拟合越优；拟合最优的线性方程为： y = -4.4878+0.492276 x残差为：0.9065042.4 非线性拟合2.4.1.对 k = 2 , n = 16 的拟合： Mathematica程序为: Cleargp,fp;k= 2; lianxi2biao=1,4,2,6.4,3,8.0,4,8.4,5,9.28,6,9.5,7,9.7
22、,8,9.86,9,10.0,10,10.2,11,10.32,12,10.42,13,10.5,14,10.55,15,10.58,16,10.6gp=ListPlotlianxi2biao,PlotStyle-RGBColor0,0,1,PointSize0.04 ft2=Fitlianxi2biao,Tablexi,i,0,k,xfp=Plotft2,x,0,17,PlotStyle-RGBColor1,0,0Showgp,fpn 16;fx_ 4.3252321428571445 1.0710598739495796x 0.04449054621848736x2;dareta Suml
23、ianxi2biaoi,2flianxi2biaoi,12,i,1,n非线性方程：y = 4.32523 1.07106x 0.0444905x2残差： 4.44163图像：2.5 5 7.5 10 12.5 158910对 k = 3 , n = 16 的拟合： 非线性方程：y = 2.59516 2.13457x 0.196251x2 0.00595138x3残差： 1.22919图像：2.5 5 7.5 10 12.5 159.259.59.7510.2510.510.75对 k = 4 , n = 16 的拟合： 非线性方程：y = 1.21255 3.41612x 0.512179x
24、2 0.0342506x3 0.000832329x4残差： 0.271732图像：2.5 5 7.5 10 12.5 157.588.599.51010.5对 k = 5 , n = 16 的拟合： 非线性方程：y = 0.389904 4.43705x 0.883812x2 0.0897161x3 0.00444042x4 0.0000848962x5残差： 0.126466图像：2.5 5 7.5 10 12.5 15678910对 k = 6 , n = 16 的拟合： 非线性方程：y = 0.0497788 4.96037x 1.13946x2 0.144912x3 0.010290
25、5x4 0.000383251x5 5.8501 106x6残差： 0.116915图像：2.5 5 7.5 10 12.5 15678910对 k = 7 , n = 16 的拟合： 非线性方程：y = 0.365077 5.71166x1.60071x2 0.277255x3 0.0302791x4 0.00201913x5 0.0000744126x6 1.15231106x7残差： 0.112097图像：2.5 5 7.5 10 12.5 157.58.599.51010.511对 k = 8 , n = 16 的拟合： 非线性方程：y = 0.930817 6.87517x2.456
26、67x2 0.585109x3 0.0914885x4 0.0090783x5 0.00054397x6 0.0000178485x7 2.45533107x8残差： 0.109461图像：2.5 5 7.5 10 12.5 15678910对 k = 9 , n = 16 的拟合： 非线性方程：y = 0.111964285708156924.50014758549252x0.43588370454041075x20.2875272925382737x30.1248805383776795x40.02351339251056387x50.00248488267304237x60.000151
27、64196129170094x74.986177108156711*-6x86.838836581348007*-8x9残差： 0.107218图像：2.5 5 7.5 10 12.5 157.58.599.51010.5对 k = 10 , n = 16 的拟合： 非线性方程：y = 7.70259 14.304x 17.5821x2 9.32782x3 2.8109x4 0.525482x50.0630221x6 0.00485242x7 0.000231817x8 6.25276 106x9 7.27573 108x10残差： 0.0823993图像：2.5 5 7.5 10 12.5
28、156810121416对 k = 11 , n = 16 的拟合： 非线性方程：y = 29.622 72.5885x 79.2212x2 44.3595x3 14.9071x4 3.22631x50.465273x6 0.0451704x7 0.00291656x8 0.000120057x9 2.85076 106x10 2.97112 108x11残差： 0.0474068图像：2.5 5 7.5 10 12.5 15-551015对 k = 12 , n = 16 的拟合： 非线性方程：y = 80.82512383994997217.27282728776885x245.52243
29、503814242x2149.31809575048666x356.026387015757116x413.882296127084322x52.355629286849384x60.2782204099997584x70.022858070799982314x80.0012811844296232414x90.00004671737390714193x109.98897266459675*-7x119.50182374735851*-9x12残差：0.0223111图像：2.5 5 7.5 10 12.5 1568101214对 k = 13 , n = 16 的拟合： 非线性方程：y =
30、216.16374387730175620.5194754030069x743.3138763668405x2492.82161193214307x3205.83390433759956x457.92523438349033x511.40759501154008x61.6036153201269636x70.16186372516701325x80.011642093882387999x90.0005822797499122887x100.000019241008705197117x113.775656941226728*-7x123.3308947566738923*-9x13残差： 0.0
31、0551721图像：2.5 5 7.5 10 12.5 152.557.51012.515对 k = 14 , n = 16 的拟合： 非线性方程：y = 527.098 1591.38x 2018.5x2 1443.14x3 660.249x4 206.75x5 46.0789x67.47382x70.891137x8 0.0780619x9 0.0049627x10 0.000222695x11 6.68482106x12 1.20415107x13 9.839031010x14残差： 0.0000152337图像：2.5 5 7.5 10 12.5 1568101214对 k = 15
32、, n = 16 的拟合： 非线性方程：y = 621.2771898.x2443.82x21782.1x3835.801x4269.865x562.4562x610.6133x71.34128x80.126509x90.00885629x100.000452758x110.0000163813x123.96163107x135.72331109x143.717191011x15残差：9.50846 108图像：2.5 5 7.5 10 12.5 1568101214结果分析：k 越大，残差越小，拟合越优；拟合最优的线性方程为：y = 621.2771898.x2443.82x21782.1x
33、3835.801x4269.865x562.4562x610.6133x71.34128x80.126509x90.00885629x100.000452758x110.0000163813x123.96163107x135.72331109x143.717191011x15残差为：9.50846 1082.4.2.当 k = 4 时，对前十五组数据进行增减实验：2.4.3.对指数函数拟合：Mathematica程序为: fxx_:=1/xfyy_:=Logylianxi2biao=1,4,2,6.4,3,8.0,4,8.4,5,9.28,6,9.5,7,9.7,8,9.86,9,10.0,1
34、0,10.2,11,10.32,12,10.42,13,10.5,14,10.55,15,10.58,16,10.6;nb=Tablefxlianxi2biaoi,1,fylianxi2biaoi,2,i,1,15;ft3=Fitnb,1,x,xf4=Exp2.46274-1.155 /xt1=Plotf4,x,1,18,PlotStyle-RGBColor1,0,0t2=ListPlotlianxi2biao,PlotStyle-RGBColor0,0,1,PointSize0.03Show%,%非线性方程：y = 2.42476 1.05845x残差： 1.065622.4.4.对反三角函
35、数拟合：Mathematica程序为: fxx_:=ArcTanx+0.865fyy_:=ylianxi2biao=1,4,2,6.4,3,8.0,4,8.4,5,9.28,6,9.5,7,9.7,8,9.86,9,10.0,10,10.2,11,10.32,12,10.42,13,10.5,14,10.55,15,10.58,16,10.6;nb=Tablefxlianxi2biaoi,1,fylianxi2biaoi,2,i,1,15;ft3=Fitnb,1,x,xf4=15.3139ArcTanx+0.865-12.4315t1=Plotf4,x,1,18,PlotStyle-RGBCo
36、lor1,0,0t2=ListPlotlianxi2biao,PlotStyle-RGBColor0,0,1,PointSize0.03Show%,%n= 16 ;fx_=-12.4315+15.3139 ArcTan0.865 +x;dareta=Sum(lianxi2biaoi,2-flianxi2biaoi,1)2,i,1,n非线性方程：y = -12.4315+15.3139 ArcTan0.865 +x残差：0.1908432.4.5.对 拟合：xbay1Mathematica程序为: Clearb;gy_:=1/yb=Tablelianxi2biaoi,1,glianxi2biao
37、i,2,i,1,16t5=Fitb,1,1/x,xf5=1/t5t3=Plotf5,x,1,16,PlotStyle-RGBColor0,0,1Showt1,t2,t3非线性方程：y = 10.080416 0.162972x图像：2.5 5 7.5 10 12.5 152468102.4.6.对分段函数拟合：(前四个点分为第一段；第五点到第十六点为第二段。分段，可以保证数据的连续性，然后再对这两段进行分段拟合。前一段选用的是：指数拟合；后一段选用的是：五次多项式函数拟合。)Mathematica程序为: (前一段函数)ft2=Fitlianxi2biao,Tablexi,i,0,5,xfp=
38、Plotft2,x,4,17,PlotStyle-RGBColor0,0,1Showgp,fp,t1fxx_:=1/xfyy_:=Logylianxi2biao=1,4,2,6.4,3,8.0,4,8.4,5,9.28,6,9.5,7,9.7,8,9.86,9,10.0,10,10.2,11,10.32,12,10.42,13,10.5,14,10.55,15,10.58,16,10.6;nb=Tablefxlianxi2biaoi,1,fylianxi2biaoi,2,i,1,4;ft3=Fitnb,1,x,xf4=Exp2.386712-1.00637/xt1=Plotf4,x,0,4,P
39、lotStyle-RGBColor1,0,0t2=ListPlotlianxi2biao,PlotStyle-RGBColor0,0,1,PointSize0.06Show%,%fx_ 2.386712 1.00637xdareta1Sumlianxi2biaoi,2 flianxi2biaoi,12,i,1,4前四个点按指数函数拟合输出： 1, log4,12 , 1.8563,13 , 2.07944,14 , 2.12823转化为线性函数拟合结果：y = 2.38672 -1.00637 x非线性拟合方程： y = 2.38671 1.00637x残差： 0.0845786图像：2 4
40、6 8 10246810Mathematica程序为: （后一段函数）Cleargp,fp;lianxi2biao=1,4,2,6.4,3,8.0,4,8.4,5,9.28,6,9.5,7,9.7,8,9.86,9,10.0,10,10.2,11,10.32,12,10.42,13,10.5,14,10.55,15,10.58,16,10.6;gp=ListPlotlianxi2biao,PlotStyle-RGBColor0,0,1,PointSize0.03ft2=Fitlianxi2biao,Tablexi,i,0,5,xfp=Plotft2,x,4,17,PlotStyle-RGBCo
41、lor1,0,0Showgp,fp,t1fx_ 0.38990384615392054 4.437053931491619x0.8838121427720927x2 0.08971607823291348x30.004440417361276547x4 0.00008489620544574236x5dareta2dareta1Sumlianxi2biaoi,2 flianxi2biaoi,12,i,5,16非线性拟合方程： y = 0.389904 4.43705x 0.883812x20.0897161x3 0.00444042x4 0.0000848962x5图像：2.5 5 7.5 1
42、0 12.5 15246810总体残差： 0.0972686结果分析：指数函数、三角函数和分段函数的残差分别为：1.06562，0.190843， 0.0972686可以看出：分段函数的残差最小，拟合程度最好。6、实验分析1、线性拟合：实验发现，从拟合效果图来看，增减数据对拟合效果影响不大，但是通过残差比较看来，一般减少数据会使拟合效果越来越好（只能是大致上，并不能形成规律性的结论） ，增加数据会使拟合效果变差。在实验时，为了更好地提高精度，准确度或者拟合效果，我们应该多做尝试和分析，例如：练习1 在后面选择想要减少的数据组时，应该注意分析、观察上一数据实验误差，会使图像的拟合效果越来越好。2
43、、线性拟合：对于多项式拟合函数，从本实验中3到15次的拟合效果来看，三次拟合效果最差，数据随着拟合次数的增加，残差逐渐减少，基本上可以说，次数越高，多项式曲线的整体拟合效果越好，并且对于同一次数而言，减少数据会使拟合效果变好。 再分析指数函数，双曲线函数和分段函数，从拟合的效果图来看，指数函数和分段函数，都能通过给定的所有数据点，也就是说：拟合效果比较好，而双曲线函数不能通过所有的点；再从残差比较，发现分段函数残差相对要小很多。所以，三者之间选择分段函数拟合，比较好。选择不同的模型来做模拟函数，会得到不同的函数关系，实验操作时，应积极思考，大胆假设，选取不同的函数建立数学模型，并对实验结果进行分析、比较，选取数据点与曲线比较接近，偏离点比较少，或者说是残差比较少的函数模型。实验报告评语等级项目 优秀 良好 中等 及格 不及格实验解读(占 10%)准确 较准确 到位 基本到位 不到位实验思路(占 30%)清晰 较清晰 清楚 较清楚 不清楚实验过程(占 25%)完整 较完整 基本完整 不太完整 无过程实验结果(占 15%)丰富 较丰富 有部分结果 有少量结果 无结果结果分析(占 20%)细致 较细致 有一定分析 有少量分析 无分析实验成绩：_2012 年 月 日
