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2017年河南省郑州市第一中学高三4月模拟调研数学(理)试题.doc

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1、河南省郑州市第一中学 2017 届高三 4 月模拟调研数学(理)试题第卷(共 60 分)一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 |4Ax, |3BxRzxi,且 |5z( i为虚数单位) ,则 AB( )A 4, B , C 4或 D 4,2.“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法,甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干,子、丑、寅、卯、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个符号叫地支.把干支顺序相配正好六十为一周,周而复始,循环记录,这就是俗称的“干支表”.2016 年是“干支

2、纪年法”中的丙申年,那么 2017 年是“干支纪年法”中的( )A丁酉年 B戊未年 C乙未年 D丁未年3.点 3,4在直线 :10laxy上,则直线 l的倾斜角为( )A 0 B 5 C 6 D 120 4.已知函数 ,max,fxgxyfg则 maxsin,coy的最小值为( )A 2 B 2 C. 2 D 25.已知数列 na的通项公式为 3naN,数列 nb的前 项和为 237nSnN,则两个数列的公共项顺次构成一个新数列 c,则满足 201mc的最大整数 m的值为( )A 35 B 36 C. 37 D 386.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A 136 B 3 C.

3、 53 D 437.如图,给出抛物线和其对称轴上的四个点 P、 Q、 R和 S,则抛物线的焦点是( )A点 P B点 Q C. 点 R D点 S8.点 ,Mxy在圆 221y上运动,则 24xy的取值范围是( )A 1,4 B 1,0 C. ,0, D ,49.已知 B、 C为单位圆上不重合的两个定点, A为此单位圆上的动点,若点 P满足 ABPC,则点P的轨迹为( )A椭圆 B双曲线 C. 抛物线 D圆10.点 1F、 2分别是双曲线213yx的左、右焦点,点 P在该双曲线上, 12PF的内切圆半径 r的取值范围是( )A 0,3 B 0,2 C. 0,2 D 0,111.底面直径为 4cm

4、的圆柱形容器内放入 8个半径为 1cm的小球,则该圆柱形容器的最小高度为( )A 8c B 6 C. D 23cm12.已知函数 22sin1xfx,下面是关于此函数的有关命题,其中正确的为( )函数 f是周期函数;函数 fx既有最大值又有最小值;函数 f的定义域为 R,且其图象有对称轴;对于任意的 1,0x, 0fxf是函数 fx的导函数).A B C. D第卷(共 90 分)二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)13. 220xd14.已知向量 4,3OA,将其绕原点 O逆时针旋转 120后又伸长到原来的 2倍得到向量 OA,则 15.点 P是正方体 1BCD体对角

5、线 1BD上靠近 的四等分点,在正方体内随机取一点 M,则其满足 12M的概率为 16.若对于任意一组实数 ,xy都有唯一一个实数 z与之对应,我们把 z称为变量 ,xy的函数,即,zfxy,其中 ,均为自变量,为了与所学过的函数加以区别,称该类函数为二元函数,现给出二元函数 ,fmn2294n,则此函数的最小值为 三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.已知函数 sifxx.()求 f的单调递增区间;()在锐角 ABC中,内角 、 B、 C所对的边分别是 a、 b、 c,且 34fA, 2a,求 ABC面积的最大值.18.有一个“乱点

6、鸳鸯谱”节目:每次邀请四对青年夫妻,先由每人随机抽签获得顺序展示才艺,再由观众通过投票的方式实施男女配对(观众不知道他们的真实配对情况).()求正确配对家庭数的期望;()设有 n对夫妻,记他们完全错位的配对种类总数为 fn.求 2f, 3f, 4f;推导 fn, 1f, 24fn所满足的关系式.19.已知四边形 ABCD是边长为 的正方形, 1A平面 BCD, 11/DAC,且 1A,12B, 13, 14,建立空间直角坐标系,如图所示.()在平面 ABCD内求一点 P,使 1A平面 1BD;()求二面角 11的余弦值.20.已知椭圆 2:0xyab,过 C上一点 2,的切线 l的方程为 24

7、0xy.()求椭圆 C的方程;()设过点 0,1M且斜率不为 的直线交椭圆于 ,AB两点,试问 y轴上是否存在点 P,使得PAB?若存在,求出点 P的坐标;若不存在,说明理由.21.已知函数 2ln1fxxa.()若 f在区间 1,上单调递增,求实数 a的取值范围;()若存在唯一整数 0x,使得 0fx成立,求实数 的取值范围.请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.选修 4-4:坐标系与参数方程已知曲线 C的极坐标方程为 2cos4inp,以极点为原点,极轴为 x轴的正半轴建立平面角坐标系,直线 l的参数方程为 1,sixtay( t为参数).()判断

8、直线 l与曲线 的位置关系,并说明理由;()若直线 与曲线 C相交于两点,且 32AB,求直线 l的斜率.23.选修 4-5:不等式选讲已知 xR,使不等式 12xt成立.()求满足条件的实数 t的集合 T;()若 1m, n, ,不等式 3loglmnt恒成立,求 mn的最小值.试卷答案一、选择题1-5: DAC 6-10: BDA 11、12: CA二、填空题13. 2 14. 43, 15. 316 16. 21三、解答题17.解析() 31sinsincos62fxxxx2311co231sini i,3ixcossin444xx.令 22kkZ,得 511x,其中 , f的单调递增区

9、间为 5,21k, kZ.()由 34fA得 3sin4A, sin20 3AkZ. ,62. 0, 6由余弦定理 22cosabA,得 4sc,又 2 3o2236bbcbc, 43c,当且仅当 时取“ ”. max123sin236ABCS.18.解析()设正确配对的家庭数为 ,则 的所有可能取值为 0,124.142P, 241PC , 48PC, 6890. 的分布列为0124P9248246241246101E.()由题意可知, f, 3f, 9f.对于 n个的元素 ,abc,及其对应元素 ,ABC,由于 a不能对应 ,则 a与除去 A以外的 1n个元素之一对应,不妨设 a与 B对应

10、,则 b的对应分两类:其(一): b与 对应,即 bB 其余 2n个元素的错位排列总数为 2fn;其(二): b不与 A对应,即 aB其余 1n个元素的错位排列总数为 1fn,于是, 2ffn.19.解析()由题意可知 10,4D, 10,A, 14,2B, 104,3C,则 14,03DA,14,2DB,设 ,0Pxy,则 14,y1APx. 1平面 , 1DB, 1, 420,3xy解得3x,4.y 1,4P.()由()可知 1AP平面 1BD,所以不妨取平面 1ABD的一个法向量为 13,4n.设平面 1BCD的法向量为 2,yznx, 则 210,n 14,2DB, 10,4DC, ,

11、0,xyz令 4z,则 1, y, 21,4n. 121283cos,6n,易知二面角 11ABDC是钝角,二面角 的余弦值为 31.20.解析()由2,40xyab消去 x并整理得22224163byya.椭圆 C与直线 l相切, 22240bb,化简得 30ba,又点 2,在椭圆 C上, 281ab.由得 16, 24.椭圆 的方程为 1xy.()存在.理由如下:设直线 AB的方程为 0ykx,联立 21,64ykx消去 并整理得 241820kxk.22281560k.设 1,Axy, 2,Bxy,则 12841kx, 2214xk.假设存在点 0,Pt满足条件, 由于 MAB,所以 P

12、M平分 AB.易知直线 PA与直线 B的倾斜角互补, 0PABk,即 120yttx,即 2112xytxt.( )将 1k, 2yk代入( )并整理得210xtx, 2284tkk,整理得 310t,即 40t,当 t时,无论 k取何值均成立.存在点 0,4P使得 PABM.21.解析()函数 fx的定义域为 0,, 2ln1fxax,要使 fx在区间 0,上单调递增,则需 0fx,即 2ln1a,设 lr,则 2rx,令 0rx,则 2,所以 rx在 1,上单调递增,所以1x,所以 1a,所以实数 a的取值范围是 ,.()不等式 0002ln1fxxa,令 2lngx, h,则 l1x,因

13、为 gx在 0,上单调递增,而 0g, 2ln,所以存在实数 1,m,使得 0gm,所以 ing,易知 2,画出函数 gx和 h的大致图象如下:又 hx的图象是过定点 0,1C的直线,所以要使存在唯一整数 0x使得 0f成立,则需ma,kBCADk,而 ln312lADCk,即 ACDk.所以实数 的取值范围是 ln3,2.22.解析()直线 l和曲线 相交.理由如下:因为 2cos4inp,所以 2cos4inpp,所以曲线 C的直角坐标方程为 24xy,即 215xy,由直线 l的参数方程可知其过点1,,所以该点到圆心的距离为 221,所以直线 l与曲线 C相交.()当直线 l的斜率不存在时,直线 l过圆心,则 532AB,所以直线 l的斜率一定存在,设其方程为 1ykx,即 10kxy,所以圆心到直线 l的距离222235dk,解得 1k,所以直线 l的斜率为 1.23.解析()令,1232,xfxx则 1f,由于 xR,使不等式 12xt成立,所以 1t,所以 |Tt.()由()知 3logl1mn恒成立,根据基本不等式得 33ll2logl2mn,从而 23mn,当且仅当 n时取等号.再根据基本不等式得 26,当且仅当 时取等号,所以 n的最小值为 6.

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