1、河北武邑中学 2016-2017学年高三年级第三次模拟考试数学试题（理科）第卷 选择题（共 60分）一、选择题：本大题共 12个小题,每小题 5分,共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集 ，集合 ，则下列关系中正确的是（ ）UR2|1,|1MxpxA B C DPPUCMP2.已知函数 ，则“ ”是“函数 在 上为增函数”的（ ）2afx02fx,A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件3.运行如图所示框图的相应程序，若输入 的值分别为 和 ，则输出 的值是 （ ）,ab4log3lMA 0 B 1 C -1 D 34.已知
2、正项等比数列 中， 为其前项和，且 则 （ ）nanS2431,7aS5A B C. D523445.函数 在区间 上的简图是（ ）sinyx,2A B C. D6. 定义在 上的奇函数 满足 ，且在区间 上是增函数，则 （ ）Rfx4ffx0,2A B 258ff 825C. Df5fff7. 设 分别为 的三边 的中点，则 （ ）,DEFAC,AEBFCA B C. D1212B8.设 为不等式组 ，表示的平面区域，点 为第一象限内一点，若对于区域 内的任1xy,abD一点 都有 成立，则 的最大值等于 （ ）,AxyOBAabA 0 B 1 C. 2 D39. 已知双曲线 的两条渐近线与
3、抛物线 的准线分别交于20,ab20ypx两点， 为坐标原点.若双曲线的离心率为 2， 的面积为 ，则 （ ）、 OAOB3A 1 B C. 2 D32310.下列有关结论正确的个数为（ ）小赵、小钱、小孙、小李到 4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件 =“4个人去的景点不相同” ，A事件 “小赵独自去一个景点” ，则 ；2|9PAB设函数 存在导数且满足 ，则曲线 在点 处的切线fx 3lim1xffxyfx2,f斜率为-1；设随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 与 的值分别为 ；,7N24PD3,7DA0 B 1 C. 2 D311.如图，平面 平面 ， 直线 ， 是 内不同的两点， 是
4、 内不同的两点，且l,AC,BD直线 上 分别是线段 的中点，下列判断正确的是（ ）,ABCDl,MNBDA当 时， 两点不可能重合 2CDB,MNB 两点可能重合，但此时直线 与 不可能相交 ,NAClC. 当 与 相交，直线 平行于 时，直线 可以与 相交 BDlD当 是异面直线时，直线 可能与 平行,ACNl12. 设函数 ，若方程 恰有两个不相等的实根 ，则 的最2,0xef0fxa12,x12xe大值为（ ）A B C. D21eln124eln21第卷 非选择题（共 90分）二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，满分 20分，将答案填在答题纸上13. 设 ，则 1ziz14.
5、二项式 的展开式的第二项的系数为 ，则 的值为 306ax 322axd15.北宋数学家沈括的主要数学成就之一为隙积术，所谓隙积，即“积之有隙”者，如累棋、层坛之类，这种长方台形状的物体垛积.设隙积共 层，上底由长为 个物体，宽为 个物体组成，以下各层的长、宽nab依次各增加一个物体，最下层成为长为 个物体，宽为 个物体组成，沈括给出求隙积中物体总数的公式cd为 .已知由若干个相同小球粘黏组成的几何体垛积的三视图如图2266nSbda所示，则该垛积中所有小球的个数为 16.数列 中， ，若不等式 恒成立，则实数na*11,21nnaaN2310nta的取值范围是 t三、解答题 ：本大题共 6小
6、题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.如图，在 中， ，角 的平分线 交 于点 ，设 .（1）求ABC4ADBC5,sinBAD；（2）若 ，求 的长.sin28C18.某电视台举行一个比赛类型的娱乐节目， 两队各有六名选手参赛，将他们首轮的比赛成绩作为样AB、本数据，绘制成茎叶图如图所示，为了增加节目的趣味性，主持人故意将 队第六位选手的成绩没有给出，A并且告知大家 队的平均分比 队的平均分多 4分，同时规定如果某位选手的成绩不少于 21分，则获得B“晋级”.（1）根据茎叶图中的数据，求出 队第六位选手的成绩；A（2）主持人从 队所有选手成绩中随机抽 2个，求至少有
7、一个为“晋级”的概率；A（3）主持人从 两队所有选手成绩分别随机抽取 2个，记抽取到“晋级”选手的总人数为 ，求 的B、 分布列及数学期望.19. 如图，斜三棱柱 中，侧面 为菱形，底面 是等腰直角三角形，1AC1ABABC.019,BACB（1）求证：直线 直线 ；AC1B（2）若直线 与底面 成的角为 60，求二面角 的余弦值1 1ABC20. 已知 为椭圆 上的一个动点，弦 分别过左右焦点 ，且当线段20xyab, 12,F的中点在 轴上时， 1AF12cos3FA（1）求该椭圆的离心率；（2）设 ，试判断 是否为定值？若是定值，求12,BFC12出该定值，并给出证明；若不是定值，请说明
8、理由21. 已知函数 ，其中常数 2lnfxax0a（1）当 时，求函数 的单调递增区间；af（2）设定义在 上的函数 在点 处的切线方程为 ，若Dyhx0,Phx:lygx，在 内恒成立，则称 为函数 的“类对称点” 当 时，试问0hxgy4a是否存在“类对称点” ，若存在，请至少求出一个“类对称点”的横坐标；若不存在，请说明理yf由请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，已知圆 的参数方程为 （ 为参数） ，以坐标原点为极点， 轴的xOy1C1cos2inxy x正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标
9、方程为 2 0（1）求 的极坐标方程与 的直角坐标方程；（2）若直线 的极坐标方程为 ，设 与1C3C4R3C的交点为 为 上的一点，且 的面积等于 1，求 点的直角坐标,MNPPMNP23. （本小题满分 10分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 21,fxxR（1）解不等式 ；（2）若对于 ，有 ， ，求证：,xyR13xy126yfx试卷答案一、选择题1-5: CACBA 6-10: DACCD 11、12：BC二、填空题13. 14. 3 15. 85 16. 2 152t三、解答题17.解：（1） ， ，0,251sin ，cosin则 ，124ii2sico5BAC ，43cosc
10、o15 223472ini2sincosin510（2）由正弦定理，得 ，即 ， ，siiABC472510ABC78BC又 ， ，由上两式解得 ，8BAC282又由 得 ， sini452ACB518.解：（1）设 队第六位选手的成绩为 ，x由题意得： ，1913425736466解得 ，20x 队第六位选手的成绩为 A20（2）由（1）知 队 6 位选手中成绩不少于 21 分的有 2 位，即 队 6 位选手中有 2 人获得“晋级” ，主持A人从 队所有选手成绩中随机抽 2 个，基本事件总数 ，615nC至少有一个为“晋级”的概率 42615Cp（3）由题意 队 6 位选手中有 2 人获得“
11、晋级” ， 队 6 位选手中有 4 人获得“晋级” ，主持人从AB两队所有选手成绩分别随机抽取 2 个，记抽取到“晋级”选手的总人数为 ，则 的可能取值为B、 0，1，2，3，4，24605CP，1214426665C，211242466610CP，2112446653C，246CP 的分布列为：0 1 2 3 4P625562105562625001342E19.解：（1）证明：连接 ，因为，侧面 为菱形，1AB1AB所以 ，1又 与 相互垂直， ，C11C 平面 ，1AB1 ，又 ，1,AB 平面 ，AC1B 平面 ，所以直线 直线 1AC1B（2）由（1）知，平面 平面 ，由 作 的垂线
12、，垂足为 ，则 平面 ，1ADBAC ，06BA 为 的中点，D过 作 的平行线，交 于 点，则 平面 ，11ABEABC建立如图所示的空间直角坐标系，设 ，2则 为平面 的一个法向量，0,2AC1则 ， ，,B1,0,3BCB设平面 的法向量 ，1,nxyz， ，20CnxyA13A取 ，3,，2cos, 7n二面角 的余弦值为 1ABC20.解：（1）当线段 的中点在 轴上时， 垂直于 轴， 为直角三角形，1FyACx12AF因为 ，所以 ，12cos3123AF易知 ，2bAa由椭圆的定义可得 ，12Fa则 ，即 ；即 ，即有 ；24baA22bc2c2cea（2）由（1）得椭圆方程为
13、，焦点坐标为 ，22xyb12,0,Fb当 的斜率都存在时，设 ，,BC012,ABxyC则直线 的方程为 ，代入椭圆方程得：AC0yxb，2220003bxyb可得 ，又 ，0120x 0223AFybxC同理 ，可得 ；13b126（2）若 轴，则 ， ，这时 ；ACx35b126若 轴，则 ，这时也有 ；B12,512综上所述， 是定值 6221.解：（1）函数 的定义域为 ， ，fx0,2lnfxax ，2 12afxaxxx ， ，a1令 ，即 ， ， 或 ，0fx210axx01x2a所以函数 的单调递增区间是 ；f ,2a（2）当 时， ，4a264xf所以在点 处的切线方程 ，P22000064lngxx若函数 存在“类对称点” ，264lnfxx0,Pf则等价于当 时， ，当 时， 恒成立，0fgxxg当 时， 恒成立，0xx等价于 恒成立，22 200006464ln64lnxx
