1、2017 届江西省吉安一中、九江一中等八所重点中学高三 4 月联考数学（理）试题一、选择题1 已知 为虚数单位， ，复数 ，若 为mR228zmmz负实数，则 的取值集合为（ ）A. B. C. D. 082,4,【答案】B【解析】由题设可得 ，解之得 ，应选答案 B。280m8m2 已知集合 ，集合 ，则集合|lgxAxy2|1Byx为（ ）|xB且A. B. C. D. ,1,2,1,21,2【答案】D【解析】由题设可得 ，则20|2,|1xAxBx， ，所以 且|21ABx|A|AB，应选答案 D。,23 在 展开式中， 二项式系数的最大值为 ，含 项的系数为 ，则6x a5xb（ ）a
2、bA. B. C. D. 5335【答案】B【解析】由题设可得 ，则 ，3 16 6420,21aCbC05123ab应选答案 B。4 已知抛物线 的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，直线 过抛物线 的焦lC点，且与抛物线的对称轴垂直， 与 交于 两点，且 ， 为抛l,AB8M物线 准线上一点，则 的面积为（ ）CABMA. 16 B. 18 C. 24 D. 32【答案】A【解析】由题意设抛物线方程为 ，故焦点坐标为2(0)ypx，将点 代入抛物线方程可得,0,4,2pFB,4A，准线方程 ，所以2,xMt，应选答案 A。14162ABMSp5 给出下列四个命题：“若 为 的极值点，则 ”的逆
3、命题为真命题；0x=yf0fx“平面向量 , 的夹角是钝角”的充分不必要条件是ab 0ab若命题 ，则 ；1:px1:px命题“ ，使得 ”的否定是：“ 均有 ”.R20xR21x其中不正确的个数是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C【解析】对于命题，由于 使得 ，但 不是函数0x20fx0x的极值点，故命题不正确；对于命题，由于取3yfx，虽有 ，但 成平角，故不充分，则命题1,2,ab 5ab,ab不正确；对于命题，由于 ，则其否定 显然不正确，故命题也10x10x不正确；故应选答案 C。6 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功
4、，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1 匹=40 尺，一丈=10 尺） ，问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织 5 尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按 31 天算，记该女子一个月中的第 天n所织布的尺数为 ，则 的值为（ ）na1329312480aA. B. C. D. 16569【答案】B【解析】由题意女子每天织布数成等差数列，且 ，由于135,90aS，且13230aa。所以13 23013312430615,aaaa，应选答案 B。1323020655 7 若执行如右
5、图所示的程序框图，输出 的值为 4，则判断框中应填入的条件S是（ ）A. B. C. D. 18k7k16k15k【答案】C【解析】由题设中算法流程图所提供的算法程序可知：当 时， 2,1kS；当 时， 221logl3,Sk23,logS；当 时，则 ；34444l5log,5k当 时，则 ；当5,lk 54l6l,6Sk时，则 ；依次循环计算，当462ogS42og72og7时，此时输出 ，所以判断框内应填答案 。1,l6k ,1k16k所以应选答案 C。8 已知，则（ 2 2 22018017016ln,ln,ln765abc）A. B. bcacC. D. b【答案】A【解析】由题意设
6、 ，则 ，2ln(1)fxx210xfx故函数 是单调递减函数，又2l()f，即 ，所以2 2017,016082701615，应选答案 A。875fff9 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 1364364【答案】D【解析】由题设中提供的三视图中图形信息与数据信息可知该几何体是两个三棱锥的的拼合体，如图，其外接球的球心 在 中点上，由于 都是以 为斜OPC,PACDBPC边的直角三角形，所以 ，而 ，AR2168,4A故 ，所以几何体的外接球的面积 ，应选216834RPC43SR答案 D。10 若一个四位数的各位数字相加和为 ，则称该数为 “
7、完美四位数” ，如数10字“ ”.试问用数字 组成的无重复数字且大于 的“完070,2,5672017美四位数”有（ ）个A. B. C. D. 5396【答案】D【解析】由题设中提供的信息可知：和为 10 四位数字分别是（0,1,2,7） ， （0,1,3,6） ，（0,1,4,5） （0,2,3,5） ， （1,2,3,4）共五组；其中第一组（0,1,2,7）中，7 排首位有种情形，2 排首位，1、7 排在第二位上时，有 种情形，2 排首位，0 排36A 4A第二位，7 排第三位有 1 种情形，共 种情形符合题设；第二、三组中6413,、6 与 4、5 分别排首位各有 种情形，共有 种情形
8、符合322A1题设；第四、五组中 2、3、5 与 2、3、4 分别排首位各有 种情形，共368有 种情形符合题设。依据分类计数原理可符合题设条件的完美四位数共有218种，应选答案 D。1243671n点睛：分类计数原理与分步计数原理是排列组合中的重要数学思想和方法。求解本题时，充分借助题设中的完美四位数的定义，巧妙运用分类计数原理与分步计数原理进行分析求解，从而使得问题巧妙获解。11 已知双曲线 与双曲线 的离心率21:6xyC2:1(0,)xyCab相同，且双曲线 的左、右焦点分别为 ， 是双曲线 一条渐近线上2 12,FM2C的某一点，且 ， ，则双曲线 的实轴长为（ ）OMF283OMS
9、2A. B. C. D. 438【答案】D【解析】由题不妨可设 ，由题意可得 ，则2,0btFca263ca， ，所以 ，13ba211,33OMFttkc11tc即 代入 ，即 中可得 ，所以 ，4tc82t48tc8243a则 ，应选答案 D。83a点睛：解答本题的关键是先设出点 ，从而借助2,0bMtFca求得 ，再依据题设条件求263ca 211,33OMFttkc 出 ，即 ，最后依据面积公式建立方程 求1tc4tc 183t得 ，继而求得 。8c283a12 已知定义在 上的函数 与其导函数 满足,fxfx，若 ，140xfxf1220fyefy则点 所在区域的面积为（ ）,yA.
10、 12 B. 6 C. 18 D. 9【答案】A【解析】由题意设 ，则 ，故原不等xfFe2xxxeffffFe式可化为 ，即121xyxyffy。由于 ，故当 时， ，函2F41xfxf数 单调递减，此时不等式可化为 ，即xfe 2yy；故当 时， ，函数 单调递增，此时234yx1fxfxfFe不等式可化为 ，即 。画出不等式组表示的区域2xyxy234xy如图，结合图形可算得该不等式组表示的区域的面积为，应选答案 A。2 2113S点睛：本题的难度非常大，主要有这样几个难点较难突破，其一是怎样依据题设条件构造函数；其二是构造什么样的函数；第三是如何表示不等式组代表的区域。求解时先从题设中
11、的条件入手构造出函数 ，再借助已知与导数工具判定其单调xfFe性，然后将原不等式进行等价转化为不等式组，最后再画出不等式组表示的区域求出其面积使得问题获解。二、填空题13 已知 ，若 ，则 _.,1,21,5axbc2/abca【答案】 0【解析】因为 ，所以 ，则,x,51,xc，则 ，应填答案 。513x1,90a014 若正实数 满足 ，则 的最小值,mn224xdx2logmn为_.【答案】2【解析】因为 ，所以220 244arcsin|0xxd，即 ，所以22201()x d12mn，故 ，1422nmnmn22loglog4应填答案 。15 已知等差数列 的前 项和为 ，并且 ，
12、数列 满足nanS25,1aSnb，记集合 ，若 的子集2nnbN*| ,nbMNM个数为 16，则实数 的取值范围为_.【答案】 156【解析】由题设可得 ，所以 ，又 ，11573ada12nS2nnb故 则 ，即 ，所以有 1,2,3,4 四个正整2nb2nn数满足该不等式，所以 ；又 ，所以实数 的取值范围为 ，应156156填答案 。15616 已知动点 P 在棱长为 1 的正方体 的表面上运动，且线段1ABCD，记点 P 的轨迹长度为 .给出以下四个命题：(03)Arfr ； ； 312f23f23f函数 在 上是增函数， 在 上是减函数.fr0,fr2,其中为真命题的是_（写出所
13、有真命题的序号）【答案】【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，如图，则 ，所以 的轨0,APxyzPAr迹的几何意义是以 为圆心 为半径的球面。则 是 的函数，当0,Arlfr时，以 为圆心 为半径的圆与正方体的表面的交线是四分之一圆周长1r弧长，相邻三个侧面的面积之和是 ，故答案正确；13324lf 当 时，以 为圆心 为半径的圆过点 ，则 ，2r0,Ar1,BCD23lf故答案不正确；当 时，以 为圆心 为半径的圆过点23r0,Ar，则 ，故答案不正确；由30,1Q123lf于 时，单调递增且当 时， 最大；当 ，单调递减，rrlfr2,3r故答案正确；应填答案。点睛：解答本题的关键是借助
14、题设中提供的新信息，分别逐一验证所给的四个命题的真伪，进而做出正确判断，从而使得问题获解。难点是如何发挥空间想象能力，求解时充分借助图形的直观，借助与发挥空间想象，探求到轨迹的形状（圆弧、线段） ，进而求得其长度，以便做出正确的判断。三、解答题17 已知 分别为锐角 三个内角 的对边，且,abcABC,sinsinabABcbC（）求 的大小；（）求 的取值范围.2sisi【答案】 （）A= ;（） .331,0【解析】 【试题分析】 （1）运用正弦定理及余弦定理进行求解；（2）运用三角变换公式将表达式化为角的函数，再借助函数的定义域求其值域即是取值范围。（）因为 ，sinsinabABcbC
15、由正弦定理有 即有 由余弦定理得22cab，又 A 为锐角， A=221cosbcabAc3（）由题，2 2sinsinos1cos1CBBB i16又在锐角 中，有 ，ABC0022623BB所以 ，所以 ， 2363sin16B 的取值范围是 .2sinsinCB3,0218 继共享单车之后，又一种新型的出行方式-“ 共享汽车”也开始亮相北上广深等十余大中城市，一款叫“一度用车”的共享汽车在广州提供的车型是“奇瑞 eQ”，每次租车收费按行驶里程加用车时间,标准是“1 元/公里+0.1元/分钟” ，李先生家离上班地点 10 公里，每天租用共享汽车上下班，由于堵车因素，每次路上开车花费的时间是
16、一个随机变量，根据一段时间统计 40 次路上开车花费时间在各时间段内的情况如下：时间（分钟） 15,25,35,45,次数 8 14 8 8 2以各时间段发生的频率视为概率，假设每次路上开车花费的时间视为用车时间，范围为 分钟.15,6（）若李先生上、下班时租用一次共享汽车路上开车不超过 45 分钟，便是所有可选择的交通工具中的一次最优选择，设 是 4 次使用共享汽车中最优选择的次数，求 的分布列和期望.（）若李先生每天上下班使用共享汽车 2 次，一个月（以 20 天计算）平均用车费用大约是多少（同一时段，用该区间的中点值作代表）.【答案】 （）见解析;（）542 元. 【解析】 【试题分析】 （1）运用二项分布建立随机变量的概率分布列，再运用数学期望公式进行求解；（2）运用加权平均数的计算公式分析求解。（）李先生一次租用共享汽车，为最优选择的概率 304p依题意 的值可能为 0，1，2，3，434,B0441(56P3142(2454(6P31408(204(56P分布列0 1 2 3 4P 2562565461082561256
