1、2017 届江苏省扬州市扬大附中高三 5 月冲刺模拟（1）数学试题一、填空题1.已知圆 与直线 相交于 ， 两点，则当22:()()1(0)Cxaya3yxPQ面积最大时，此时实数 的值为PQ2.函数 的图像经过四个象限的充要条件是2231)( xxf3.已知 是半径为 3 的圆 的直径， 是圆 上异于 的一点， 是线段 上靠近ABOPBA,QAP的三等分点，且 ，则 的值为4ABQ4.已知函数 （ ）的图象与 轴相切，若直线 与baxf2)(R,xcy分别交 的图象于 四点，且四边形 的面积为 25，则正实数5cy DCABCD的值为5.设等差数列 满足 ，公na 1)sin(sincoco
2、si 546236233232 aa，若当且仅当 时，数列 的前 项和 取得最大值，则首项 的取值范1,0d9nS1围为6.已知函数 f(x) x3x 22ax1，若函数 f(x)在(1 ，2)上有极值，则实数 的取值范围13 a为7.若函数 f(x)x 3x 2ax 4 在区间( 1,1)内恰有一个极值点，则实数 a 的取值范围是 8.已知平行四边形 ABCD 中，AD2，BAD60若 E 为 DC 中点，且 1，AE BD 则 的值为BD BE 9.已知等比数列a n的公比 q1，其前 n 项和为 Sn若 S42S 21，则 S6 的最小值为10.在平面直角坐标系 xOy 中，A，B 为
3、x 轴正半轴上的两个动点，P（异于原点 O）为 y 轴上的一个定点若以 AB 为直径的圆与圆 x2(y2) 21 相外切，且APB 的大小恒为定值，则线段 OP 的长为二、解答题11.如图, 是椭圆 C： 的左、右顶点, 是椭圆上异于 的任意一,AB21(0)xyabM,AB点,已知椭圆的离心率为 ,右准线 的方程为 .elxm（1）若 ， ，求椭圆 C 的方程；2e4m（2）设直线 交 于点 ，以 为直径的圆交 于 ，若直线 恰过原点，求 .AMlPBQPe12.已知椭圆 1(ab0)的离心率 e ，一条准线方程为 x = 2过椭圆的上顶点x2a2 y2b2A 作一条与 x 轴、 y 轴都不
4、垂直的直线交椭圆于另一点 P，P 关于 x 轴的对称点为 Q（1）求椭圆的方程；（2）若直线 AP，AQ 与 x 轴交点的横坐标分别为 m，n，求证：mn 为常数，并求出此常数O BAMQPyxlxyOPQA13.设函数 .xeaf)()(R（1）若函数 有且仅有两个零点 x1，x 2（x 1 1（1）求证：数列a n是等比数列；（2）若 ，数列b n满足 （n = 1，2， 2k） ，求数列b n21k21log()ba的通项公式；（3）对于（2）中数列b n，求和 Tn = 1221233|kkbb16.已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且 2a5a 313， S416（1）求数列
5、a n的前 n 项和 Sn；（2）设 Tn (1) iai，若对一切正整数 n，不等式 Tna n1 ( 1) n1 an2n1 恒成立，求实数 的取值范围；（3）是否存在正整数 m，n(nm2) ，使得 S2，S mS 2，S nS m 成等比数列？若存在，求出所有的 m，n；若不存在，说明理由参考答案1. 2. 3. 244. 5. 256351a423,6. ( ，4) 7. 1,5) 8. 3 9. 2 3 10.32 3 311解：（1）由题意： ，解得 椭圆 的方程为 2214cabc3abC2143xy（2）设 ， 三点共线,2(,),)aMxyPcAMP22(),ayycaxx
6、c22()()1OPBMyackaxx222233()()0bcc,解得 . 210e51e12解： 因为 ， = 2， 所以 a ，c1，所以 b ca a2c 2 a2 c2故椭圆的方程为 y 21 x22设 P 点坐标为(x 1，y 1)，则 Q 点坐标为(x 1， y1)因为 kAP ，所以直线 AP 的方程为 y x1y1 1x1 0 y1 1x1 y1 1x1令 y = 0，解得 m . x1y1 1因为 kAQ ，所以直线 AQ 的方程为 y x1 y1 1x1 0 y1 1x1 y1 1x1令 y0，解得 n 所以 mn x1y1 1 x1y1 1 x1y1 1又因为(x 1，
7、y 1)在椭圆 + y2 = 1 上，所以 + y = 1，即 1y = ，x22 2 1 2 1所以 2，即 mn2 所以 mn 为常数，且常数为 2 13解：（1）显然 a0，x 1，x 2 是直线 y= 与曲线 y=g(x)= 两交点的横坐标a1e由 = =0，得 x=1列表：()gxexx (-，1) 1 (1，+ )()+ 0 -g(x) g(x)max= e此外注意到：当 xb 时，h( x)(xb1)e x0，所以 h(x)在(b，) 上为增函数；当 xb 时，h( x)(xb1)e x，因为 b1xb 时，h(x)( xb1)e x0，所以 h(x)在(b1，b) 上是减函数；
8、因为 xb1 时， h(x)( xb1)e x0，所以 h(x)在(，b1) 上是增函数 当 b0 时，h(x)在(0，1)上为增函数所以 h(x)maxh(1) (1b)e ，h(x) minh(0 )b由 h(x)maxh( x)min1，得 b1，所以 b0 当 0b 时，ee 1因为 bx1 时， h(x)(x b1)e x0，所以 h(x)在(b， 1)上是增函数，因为 0xb 时， h(x)( xb1)e x0，所以 h(x)在(0，b) 上是减函数所以 h(x)maxh(1) (1b)e，h(x) minh( b)0由 h(x) maxh( x) min1，得 b 因为 0b ，
9、所以 0b e 1e ee 1 e 1e当 b1 时，同理可得，h(x) 在(0，b)上是减函数，在( b，1)上是增函数ee 1所以 h(x)maxh(0) b，h(x )minh(b) 0因为 b1，所以 h(x)maxh(x) min1 不成立 综上，b 的取值范围为(， ) e 1e15解：（1）a n1= (p 1)Sn 2（n = 1，2， 2k1） ，a n= (p 1)Sn 1 2（n = 2， 2k） 则当 n = 2， 2k1 时，两式相减，得an1an= (p 1)（S n Sn 1） ，即 an1an= (p 1) ana n1= pan（n = 2， 2k1） 原式中
10、，令 n = 1，得 a2= (p 1)a1 2 = 2(p 1) 2 = 2p = pa1a n1= pan，即 （n = 1，2， 2k1） 则数列a n是等比数列 （2）由（1） ，得 an= a1pn 1 21221log()log()nnbapap 122log()nnap 12212log()logn nappk1k（3） ，313212()nnkbk当 nk 时， ；当 nk 1 时， 0n302nb则 Tn = 1223|kkb= 12333()()()()()2 kbb = 12212kkkb = = 01( )( )2k 216解：(1)设数列a n的公差为 d因为 2a5
11、a 313，S 416，所以 解得 a11，d2， 所以 an2n1，S n n 2 2(a1 4d) (a1 2d) 13，4a1 6d 16 )(2)当 n 为偶数时，设 n2k，kN*，则 T2k(a 2a 1)(a 4a 3)( a2ka 2k1 )2k 代入不等式 Tna n1 (1) n1 an2n1 ，得 2k4 k，从而 4k2k设 f(k) ，则 f(k1)f(k) 4k2k 4k 12(k+1) 4k2k 4k(3k 1)2k(k 1)因为 kN*，所以 f(k1)f(k)0，所以 f(k)是递增的，所以 f(k)min2，所以 2当 n 为奇数时，设 n2k1，kN *，则 T2k1 T 2k(1) 2ka2k2k(4 k1)12k 代入不等式 Tna n1 (1) n1 an2n1 ，得 (12k)(2k1) 4k，从而4 k因为 kN*，所以4 k 的最大值为4，所以 4综上， 的取值范围为42(3)假设存在正整数 m，n(nm2)，使得 S2，S mS 2，S nS m 成等比数列，则(S m S2)2S 2(SnS m)，即 (m24) 24(n 2m 2)，所以 4n2(m 22) 212，即 4n2( m22) 212， 即(2nm 22)(2 nm 22)12
