1、南京市、盐城市 2017 届高三年级第一次模拟考试数 学 试 题(总分 160 分，考试时间 120 分钟) 注意事项：1本试卷考试时间为 120 分钟，试卷满分 160 分，考试形式闭卷2本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分3答题前，务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上参考公式：锥体体积公式： ，其中 为底面积, 为高；13VShh柱体体积公式： ，其中 为底面积, 为高.样本数据 的方差 ，其中 .12,nx221()niisx1nix一 、 填 空 题 （ 本 大 题 共 14 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 计 70 分
2、. 不 需 写 出 解 答 过 程 ， 请 把 答 案 写 在 答题 纸 的 指 定 位 置 上 ）1已知集合 ， ，则 .,0A(,)BABI2设复数 满足 ，其中 为虚数单位，z(i)2i则 的虚部为 .3已知样本数据 的方差 ，则样本1345,xx23s数据 的方差为 .2,4如图是一个算法流程图，则输出的 x 的值是 .5在数字 1、2、3、4 中随机选两个数字，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为 .6已知实数 满足 ，则 的最小值,xy072yx是 .7设双曲线 的一条渐近线的倾斜角21(0)ya为 ，则该双曲线的离心率为 .308设 是等差数列，若 ，则na45621 .9S
3、开始 结束x 1y 9xyxx +4yy-2否 是 输出x第 4题图9将函数 的图象向右平移 （ ）个单位后，所得函数为偶函3sin(2)yx02数，则 .10将矩形 绕边 旋转一周得到一个圆柱， ， ，圆柱上底面圆心ABCD3ABC为 ， 为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥 体积的最大值OEFG OEFG是 .11在 中，已知 ， ，则 的最大值为 .3Cur12如图，在平面直角坐标系中，分别在 轴与直线x上从左向右依次取点 、 ，31yxkAB，其中 是坐标原点，使,2kA1k都是等边三角形，则 的边长10是 .13在平面直角坐标系 中，已知点 为函数xOyP的图象与圆 的公共点，且
4、它们在点 处有公切线，若2lny22:(3)MyrP二次函数 的图象经过点 ，则 的最大值为 .()f,()fx14在 中， 所对的边分别为 ，若 ，则 面积的ABC, ,abc228cABC最大值为 二、解答题（本大题共 6 小题，计 90 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15(本小题满分 14 分)如图，在直三棱柱 中， ， , 分别是 , 的中点1ABCBACDEABC（1）求证： 平面 ；1DE（2）求证：平面 平面 116(本小题满分 14 分)在 中， , , 分别为内角 , , 的对边，且 ABCabcABCsin2ibCcB（1
5、）求角 ；（2）若 ，求 的值.3sin()5sinA B CA1 B1 C1D E第 15 题图A1 A2 A3 A4B1B2B3xy第 12 题图17. (本小题满分 14 分)在平面直角坐标系 中，已知圆 经过椭圆xOy22:xyb2:14xyEb的焦点.(02)b（1）求椭圆 的标准方程；E（2）设直线 交椭圆 于 两点， 为弦 的中点，:lykxmE,PQTP，记直线 的斜率分别为 ，当 时，求(,)(1,0MNTMN12,k21mk的值.12k18(本小题满分 16 分)如图所示，某街道居委会拟在 地段的居民楼正南方向的空白地段 上建一个活动EFAE中心，其中 米活动中心东西走向，
6、与居民楼平行. 从东向西看活动中心的截30A面图的下部分是长方形 ，上部分是以 为直径的半圆. 为了保证居民楼住户BCDC的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长 不超过G米，其中该太阳光线与水平线的夹角 满足 .2.53tan4（1）若设计 米， 米，问能否保证上述采光要求？186（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计 与 的长度，可使得活动中心的ABD截面面积最大？（注：计算中 取 3）lTPOyxQ第 17 题图F第 18 题图A B EDGC南 居民楼活动中心19(本小题满分 16 分)设函数 ， （ ）.(lnfx1()3agxR（1）当 时，解关于 的
7、方程 （其中 为自然对数的底数） ；2a()0xee（2）求函数 的单调增区间；()f（3）当 时，记 ，是否存在整数 ，使得关于 的不等式hx x有解？若存在，请求出 的最小值；若不存在，请说明理由.（参考数据： ， ）ln20.6931ln098620(本小题满分 16 分)若存在常数 、 、 ，使得无穷数列 满足*(,2)kNqdna则称数列 为“段比差数列” ，其中常数 、 、 分别叫1,nadqknakqd做段长、段比、段差. 设数列 为“段比差数列”.nb（1）若 的首项、段长、段比、段差分别为 1、3、 、3.nb q当 时，求 ；0q2016当 时，设 的前 项和为 ，若不等式
8、 对 恒成n33nS13nSN立，求实数 的取值范围；（2）设 为等比数列，且首项为 ，试写出所有满足条件的 ，并说明理由.nbbnb南京市、盐城市 2017 届高三年级第一次模拟考试数学附加题部分（本部分满分 40 分，考试时间 30 分钟）21选做题 （在 A、B、C、 D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,计 20 分.请把答案写在答题纸的指定区域内）A.（选修 4-1：几何证明选讲）如图， 是半圆 的直径，点 为半圆 外一点， 分别交半圆 于点 .OPO,PABO,DC若 ， ， ，求 的长.2D4P3BB.（选修 4-2：矩阵与变换）设矩阵 的一个特征值 对应的特征向量为
9、，求 与 的值. 3mM12mC （选修 4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系 中，已知直线 为参数). 现以坐标原点 为极点，xOy35:(4xtlyO以 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆 的极坐标方程为 ，直线 与圆x C2cosl交于 两点，求弦 的长.C,ABD(选修 4-5：不等式选讲）若实数 满足 ，求 的最小值.,xyz21yz22xyzA BCPDO第 21(A)图必做题 （第 22、23 题,每小题 10 分,计 20 分.请把答案写在答题纸的指定区域内）22 （本小题满分 10 分）某年级星期一至星期五每天下午排 3 节课，每天下午随机选择 1 节作为综合实践课（上
10、午不排该课程） ，张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程.（1）求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；（2）设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为 X，求 X 的概率分布表与数学期望 E(X).23 （本小题满分 10 分）设 ， ， .*nN3*k（1）求值： ；1knC （ ） ；221kknnC2（2）化简： .20131knn nC南京市、盐城市 2017 届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分.1. 2. 3. 12 4. 9 5. 6. 7. 1 5634238. 63 9. 10. 4 11.
11、 12.512 13. 14. 5232985二、解答题：本大题共 6 小题，计 90 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15证明：（1）因为 , 分别是 , 的中点，所以 ， .2 分DEABC/DEBC又因为在三棱柱 中， ，所以 . .4 分11/1又 平面 ， 平面 ，所以 平面 . .6 分1BC1A（2）在直三棱柱 中， 底面 ，1A1又 底面 ，所以 . .8 分又 ， ，所以 ， .10 分/EBCEA又 平面 ，且 ，所以 平面 . .12 分1,11CDE1C又 平面 ，所以平面 平面 .14 分D1D1（注：第（2）小题也可
12、以用面面垂直的性质定理证明 平面 ，类似给分）1A16解：（1）由 ，根据正弦定理，得 ， 2 分sin2ibc2sincosinsBB因为 ，所以 ， 4 分i0,BCos又 ，所以 . 6 分()3（2）因为 ，所以 ，所以 ，32(,)(,)3B又 ，所以 . 8 分sin()5B24cos1sin5又 ，即 ，23AA所以 12 分sii()sin()sico()csin()333BBB. 14 分4125017解：（1）因 ，所以椭圆 的焦点在 轴上，2bEx又圆 经过椭圆 的焦点，所以椭圆的半焦距 ， 3 分:Oxycb所以 ，即 ，所以椭圆 的方程为 . 6 分242 214y（
13、2）方法一：设 ， ， ，1(,)P2(,)Qxy0(,)T联立 ，消去 ，得 ，2xykm2210kxm所以 ，又 ，所以 ，1224kmx21k12xkm所以 ， ， 10 分00y则 . 14 分12 22114()kkmkm方法二：设 ， ， ， 则 ，1(,)Pxy2(,)Q0(,)Txy124xy两式作差，得 ，1212121204又 ， ， ， ，120x120y12xy012yx又 ， 在直线 上， ， ，(,)P(,)Qxykm12kx0k又 在直线 上， ，0Ty0由可得 ， . 10 分21k021k以下同方法一.18解：如图所示，以点 A 为坐标原点，AB 所在直线为
14、x 轴，建立平面直角坐标系（1）因为 ， ，所以半圆的圆心为 ，8B6D(9,6)H半径 设太阳光线所在直线方程为 ，9r34yb即 ， .2 分340xyb则由 ，2|7|解得 或 （舍）.3故太阳光线所在直线方程为 ， .5 分324yx令 ，得 米 米.0x1.5EG所以此时能保证上述采光要求. .7 分（2）设 米， 米，则半圆的圆心为 ，半径为 ADh2Br(,)Hrhr方法一：设太阳光线所在直线方程为 ，34yxb即 ，由 ，340xyb2|hr解得 或 （舍）. .9 分2hrr故太阳光线所在直线方程为 ， 34yx令 ，得 ，由 ，得 . .11 分30x52EGrhEG25h
15、rA B ED H GC第 18 题南 xy所以 222133(5)Srhrhrr.2550(0)0当且仅当 时取等号.r所以当 米且 米时，可使得活动中心的截面面积最大. .16 分ABD方法二：欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长 EG 恰为 米，则此时点 为 ，2.5G(30,2.5)设过点 G 的上述太阳光线为 ，则 所在直线方程为 y (x30)，1l 52 34即 .10 分3410xy由直线 与半圆 H 相切，得 l |340|5rh而点 H(r，h) 在直线 的下方，则 3r4h1000，1l即 ，从而 .13 分34052又 .2()Srrr2255(10)50r当且仅当 时
16、取等号.1所以当 米且 米时，可使得活动中心的截面面积最大. .16 分0ABD19解：（1）当 时，方程 即为 ，去分母，得2a()0xge123xe，解得 或 ， 2 分2()31xxe1故所求方程的根为 或 . 4 分lnx（2）因为 ，()()3(0)afgx所以 （ ） ， 6 分2 21(1)1()aaxxxx0当 时，由 ，解得 ；0a()0当 时，由 ，解得 ；a当 时，由 ，解得 ；1()x0x当 时，由 ，解得 ；a0当 时，由 ，解得 .01a综上所述，当 时， 的增区间为 ；()x(0,)当 时， 的增区间为 ；1a,)时， 的增区间为 . .10 分()x1(a（3）
17、方法一：当 时， ， ，)3gx()3lnhxx所以 单调递增， ， ，()lnhl12023()ln210h所以存在唯一 ，使得 ，即 ， .12 分03(,2)0()0x当 时， ，当 时， ，0(,)x()0hx0(,)x()0hx所以 ，2min 0003)393ln16()x记函数 ，则 在 上单调递增， .14 分9()6()rxx()r,2所以 ，即 ，0322h0)h由 ，且 为整数，得 ，所以存在整数 满足题意，且 的最小值为 . .16 分 方法二：当 时， ，所以 ，1a()3gx()3lnhxx由 得，当 时，不等式 有解， .12 分()0h2下证：当 时， 恒成立，
18、即证 恒成立.h)l2显然当 时，不等式恒成立，,)x只需证明当 时， 恒成立.(13(lnx即证明 .令 ，2ln023mx所以 ，由 ，得 ， .14 分289()(3)()mx()047x当 ， ；当 ， ；1,47x47,m所以 .max 121()ln()ln()ln033所以当 时， 恒成立.(2h综上所述，存在整数 满足题意，且 的最小值为 . .16 分020 （1）方法一： 的首项、段长、段比、段差分别为 1、3、0、3，nb， ， . 3 分2042013b201543b2656b方法二： 的首项、段长、段比、段差分别为 1、3、 0、3，n ， ， ， ， ， ， ，1237435465b760b当 时， 是周期为 3 的周期数列.nb . 3 分2016b方法一： 的首项、段长、段比、段差分别为 1、 3、1、3，n ，321331313126nnnnndqbdqbdbd 是以 为首项、6 为公差的等差数列，n24又 ，31313131nnnnb24562nS， 6 分2531 9n， ，设 ，则 ，3nS31nScmaxnc又 ，2 221 1933nnc
