第十八章平行四边形教案.doc

1、1第十八章 平行四边形18.1.1 平行四边形及其性质(一)一、教学目标：1 理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质2 会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证3 培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力二、重点、难点1 重点：平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质，以及性质的应用2 难点：运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算三、课堂引入1我们一起来观察下图中的竹篱笆格子和汽车的防护链，想一想它们是什么几何图形的形象？平行四边形是我们常见的图形，你还能举出平行四边形在生活中应用的例子吗？你能总结出平行四边形的定义吗？(1)定

2、义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形(2)表示：平行四边形用符号“ ”来表示如图，在四边形 ABCD 中，ABDC，ADBC，那么 四边形 ABCD 是平行四边形平行四边形 ABCD 记作“ ABCD”，读作 “平行四边形ABCD”AB/DC ,AD/BC ， 四边形 ABCD 是平行四边形（判定） ； 四边形 ABCD 是平行四边形AB/DC ， AD/BC（性质） 注意：平行四边形中对边是指无公共点的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共端点的边，邻角是指有一条公共边的两个角而三角形对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角2 【探究】平行四边形是一种特殊的四边形，它除具有四边形的性质

3、和两组对边分别平行外，还有什么特殊的性质呢？我们一起来探究一下让学生根据平行四边形的定义画一个一个平行四边形，观察这个四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外以，它的边和角之间有什么关系？度量一下，是不是和你猜想的一致？ （1）由定义知道，平行四边形的对边平行根据平行线的性质可知，在平行四边形中，相邻的角互为补角 （2）猜想 平行四边形的对边相等、对角相等下面证明这个结论的正确性已知：如图 ABCD，求证：ABCD，CBAD，BD，BADBCD证明：连接 AC， ABCD ，ADBC， 13，242又 ACCA ， ABCCDA （ASA） ABCD ，CBAD，BD又 1423， B

4、ADBCD由此得到：平行四边形性质 1 平行四边形的对边相等平行四边形性质 2 平行四边形的对角相等五、例习题分析例 1（教材 P93 例 1）例 2（补充）如图，在平行四边形 ABCD 中，AE=CF ，求证：AF=CE18.1.1 平行四边形的性质(二 )一、教学目标：1 理解平行四边形中心对称的特征，掌握平行四边形对角线互相平分的性质2 能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题，和简单的证明题3 培养学生的推理论证能力和逻辑思维能力二、重点、难点1 重点：平行四边形对角线互相平分的性质，以及性质的应用2 难点：综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算四、课堂引入1复习提

5、问：（1）什么样的四边形是平行四边形？四边形与平行四边形的关系是：（2）平行四边形的性质：具有一般四边形的性质（内角和是 ） 360角：平行四边形的对角相等，邻角互补 边：平行四边形的对边相等 2 【探究】：请学生在纸上画两个全等的 ABCD 和 EFGH，并连接对角线 AC、BD 和 EG、HF，设它们分别交于点 O把这两个平行四边形落在一起，在点 O 处钉一个图钉，将 ABCD 绕点 O 旋转 ，观察它还180和 EFGH 重合吗？你能从子中看出前面所得到的平行四边形的边、角关系吗？进一步，你还能发现平行四边形的什么性质吗？结论：（1）平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心；

6、（2）平行四边形的对角线互相平分五、例习题分析3例 1（补充） 已知：如图 421， ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，EF 过点 O 与AB、CD 分别相交于点 E、F求证：OEOF，AE=CF，BE=DF 证明：在 ABCD 中，AB CD， 1234又 OAOC(平行四边形的对角线互相平分) ， AOE COF（ASA ） OEOF ，AE=CF（全等三角形对应边相等） ABCD， AB=CD（平行四边形对边相等） ABAE=CDCF 即 BE=FD【引申】若例 1 中的条件都不变，将 EF 转动到图 b 的位置，那么例 1 的结论是否成立？若将 EF向两方延长与平行四边形的

7、两对边的延长线分别相交（图 c 和图 d） ，例 1 的结论是否成立，说明你的理由例 2（教材 P94 的例 2）已知四边形 ABCD 是平行四边形，AB10cm ，AD8cm ，AC BC，求 BC、CD、AC、OA 的长以及ABCD 的面积18.1.2（一） 平行四边形的判定一、教学目标：1在探索平行四边形的判别条件中，理解并掌握用边、对角线来判定平行四边形的方法2会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题3培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题二、重点、难点3 重点：平行四边形的判定方法及应用4 难点：平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用四、课堂引入1欣赏图片、提出问题展

8、示图片，提出问题，在刚才演示的图片中，有哪些是平行四边形？你是怎样判断的？2 【探究】：小明的父亲手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制一个平行四边形框架，你能帮他想出一些办法来吗？让学生利用手中的学具硬纸板条通过观察、测量、猜想、验证、探索构成平行四边形的条件，4思考并探讨：（1）你能适当选择手中的硬纸板条搭建一个平行四边形吗？（2）你怎样验证你搭建的四边形一定是平行四边形？（3）你能说出你的做法及其道理吗？（4）能否将你的探索结论作为平行四边形的一种判别方法？你能用文字语言表述出来吗？（5）你还能找出其他方法吗？从探究中得到：平行四边形判定方法 1 两组对边分别相等的四边形是平行四

9、边形。平行四边形判定方法 2 对角线互相平分的四边形是平行四边形。五 、 例 习 题 分 析例 1（教材 P96 例 3）已知：如图 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，E 、F 是 AC 上的两点，并且 AE=CF求证：四边形 BFDE 是平行四边形分析：欲证四边形 BFDE 是平行四边形可以根据判定方法 2 来证明（证明过程参看教材）问；你还有其它的证明方法吗？比较一下，哪种证明方法简 单例 2（补充） 已知：如图，ABBA，BC CB， CAAC求证：(1) ABC B， CAB A， BCAC；(2) ABC 的顶点分别是BCA各边的中点证明：(1) ABBA，CBBC， 四边

10、形 ABCB是平行四边形 ABCB(平行四边形的对角相等) 同理CABA ，BCAC(2) 由(1)证得四边形 ABCB是平行四边形同理，四边形 ABAC是平行四边形 ABBC， ABAC( 平行四边形的对边相等) BCAC同理 BACA， ABCB ABC 的顶点 A、B 、C 分别是BCA的边BC、CA 、AB的中点例3（补充）小明用手中六个全等的正三角形做拼图游戏时， 拼成一个六边形你能在图中找出所有的平行四边形吗？并说说你的理由解：有 6 个平行四边形，分别是 ABOF， ABCO， BCDO， CDEO， DEFO， EFAO理由是：因为正ABO正AOF ，所以 AB=BO，OF=F

11、A根据 “两组对边分别相等的四边形是平行四边形” ，可知四边形 ABCD 是平行四边形其它五个同理18.1.2（二） 平行四边形的判定5一、教学目标：1掌握用一组对边平行且相等来判定平行四边形的方法2会综合运用平行四边形的四种判定方法和性质来证明问题3通过平行四边形的性质与判定的应用，启迪学生的思维，提高分析问题的能力二、重点、难点1重点：平行四边形各种判定方法及其应用，尤其是根据不同条件能正确地选择判定方法2难点：平行四边形的判定定理与性质定理的综合应用四、课堂引入1平行四边形的性质；2平行四边形的判定方法；3【探究】 取两根等长的木条AB、CD，将它们平行放置， 再用两根木条BC、AD加固

12、，得到的四边形ABCD是平行四边形吗？结论：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形五 、 例 习 题 分 析例1（补充）已知：如图， ABCD中，E、F 分别是 AD、BC的中点，求证： BE=DF分析：证明BE=DF，可以证明两个三角形全等，也可以证明四边形BEDF是平行四边形，比较方法，可以看出第二种方法简 单证明： 四边形ABCD是平行四边形， ADCB ，AD=CD E、F分别是AD、BC的中点， DEBF ，且DE= AD，BF= BC21 DE=BF 四边形BEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形平行四边形） BE=DF此题综合运用了平行四边形的性质和判定，先运用平行四边形

13、的性质得到判定另一个四边形是平行四边形的条件，再应用平行四边形的性质得出结论；题目虽不复杂，但层次有三，且利用知识较多，因此应使学生获得清晰的证明思路例2（补充）已知：如图， ABCD中，E、F分别是AC上 两点，且BEAC 于E，DF AC 于F求证：四边形BEDF是平行四边 形分析：因为BEAC于E，DFAC于F，所以BEDF需 再证明BE=DF，这需要证明ABE与CDF全等，由角角边即可证明： 四边形ABCD是平行四边形， AB=CD，且ABCD6 BAE=DCF BEAC于E，DFAC 于F， BEDF，且BEA=DFC=90 ABECDF （AAS） BE=DF 四边形BEDF是平行

14、四边形（一组对边平行且相等的四边形平行四边形） 18.1.2（三） 平行四边形的判定三角形的中位线一、教学目标：1 理解三角形中位线的概念，掌握它的性质2 能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算3经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力4能运用综合法证明有关三角形中位线性质的结论理解在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法二、重点、难点1重点：掌握和运用三角形中位线的性质2难点：三角形中位线性质的证明（辅助线的添加方法） 四、课堂引入1 平行四边形的性质；平行四边形的判定；它们之间有什么联系？2 你能说说平行四边形性质与判定的用途吗？（答：平行四边形知识的运用包括

15、三个方面：一是直接运用平行四边形的性质去解决某些问题例如求角的度数，线段的长度，证明角相等或线段相等等；二是判定一个四边形是平行四边形，从而判定直线平行等；三是先判定一个四边形是平行四边形，然后再眼再用平行四边形的性质去解决某些问题）3创设情境实验：请同学们思考：将任意一个三角形分成四个全等的三角形，你是如何切割的？（答案如图）图中有几个平行四边形？你是如何判断的？五 、 例 习 题 分 析例 1（ 教 材 P98 例 4） 如 图 ， 点 D、E、分别为ABC 边 AB、AC 的中点，求证：DEBC 且 DE= BC21分 析 ： 所证明的结论既有平行关系，又有数量关系，联想已学过的知识，可

16、以把要证明的内容转化到一个平行四边形中，利用平行四边形的对边平行且相等的性质来证明结论成立，从而使问题得到解决，这就需要添加适当的辅助线来构造平行四边形方法 1：如图（1） ，延长 DE 到 F，使 EF=DE，连接 CF，由ADECFE，可得 ADFC，且 AD=FC，因此有 BDFC，BD=FC，所以四边形7BCFD 是平行四边形所以 DFBC，DF=BC，因为 DE= DF，所以 DEBC 且 DE= BC2121（也可以过点 C 作 CFAB 交 DE 的延长线于 F 点，证明方法与上面大体相同）方 法 2： 如 图 （ 2） ， 延长 DE 到 F，使 EF=DE，连接 CF、CD

17、和 AF，又 AE=EC，所以四边形 ADCF 是平行四边形所以 ADFC，且 AD=FC因为 AD=BD，所以 BDFC，且 BD=FC所以四边形 ADCF是平行四边形所以 DFBC，且 DF=BC，因为 DE= DF，所以 DEBC 且 DE= BC2121定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线【思考】：（1）想一想：一个三角形的中位线共有几条？三角形的中位线与中线有什么区别？ （2）三角形的中位线与第三边有怎样的关系？ （答：（1）一个三角形的中位线共有三条；三角形的中位线与中线的区别主要是线段的端点不同中位线是中点与中点的连线；中线是顶点与对边中点的连线 （2）三角形的中位线

18、与第三边的关系：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半 ）三角形中位线的性质：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半拓展利用这一定理，你能证明出在设情境中分割出来的四个小三角形全等吗？（让学生口述理由）例 2（补充）已知：如图（1） ，在四边形 ABCD 中， E、F、G、H 分别是 AB、BC 、CD、DA 的中点求证：四边形 EFGH 是平行四边形分析：因为已知点 E、F、G、H 分别是线段的中点，可以 设法应用三角形中位线性质找到四边形 EFGH 的边之间的关系由于四边 形的对角线可以把四边形分成两个三角形，所以添加辅助线，连接 AC 或 BD，构造“三角形中位线”的基本

19、图形后，此题便可得证证明：连结 AC（图（2） ） ，DAG 中， AH=HD，CG=GD ， HGAC，HG= AC（三角形中位线性质） 1同理 EFAC ， EF= AC2 HGEF，且 HG=EF 四边形 EFGH 是平行四边形此题可得结论：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形18.2.1 矩形(一)一、教学目标：1掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系2会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题3渗透运动联系、从量变到质变的观点二、重点、难点1重点：矩形的性质2难点：矩形的性质的灵活应用8四、课堂引入1展示生活中一些平行四边形的实际应用图片（推拉门，活动衣

20、架，篱笆、井架等） ，想一想：这里面应用了平行四边形的什么性质？2思考：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，观察不管怎么拉，它还是一个平行四边形吗？为什么？（动画演示拉动过程如图）3再次演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图形？（小学学过的长方形）引出本课题及矩形定义矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形) 矩形是我们最常见的图形之一，例如书桌面、教科书的封面等都有矩形形象【探究】在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上（作出对角线） ，拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状 随着 的变化，两条对角线

21、的长度分别是怎样变化的？ 当 是直角时，平行四边形变成矩形，此时它的其他内角是什么样的角？它的两条对角线的长度有什么关系？操作，思考、交流、归纳后得到矩形的性质矩形性质 1 矩形的四个角都是直角矩形性质 2 矩形的对角线相等如图，在矩形 ABCD 中，AC、BD 相交于点 O，由性质 2 有AO=BO=CO=DO= AC= BD因此可以得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜21边的一半五 、 例 习 题 分 析例 1 （教材 P104 例 1）已知：如图，矩形 ABCD 的两条对角线相交于点O，AOB=60，AB=4cm，求矩形对角线的长分析：因为矩形是特殊的平行四边形，所以它

22、具有对角线相等且互相平分的特殊性质，根据矩形的这个特性和已知，可得OAB 是等边三角形，因此对角线的长度可求解： 四边形 ABCD 是矩形， AC 与 BD 相等且互相平分 OA=OB又 AOB=60， OAB 是等边三角形 矩形的对角线长 AC=BD = 2OA=24=8（cm） 例 2（补充）已知：如图 ，矩形 ABCD，AB 长 8 cm ，对角线比 AD 边长 4 cm求 AD 的长及点A 到 BD 的距离 AE 的长9分析：（1）因为矩形四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质，而此题利用方程的思想，解决直角三角形中的计算，这是几何计算题中常用的方法略解：设 AD=

23、xcm，则对角线长（ x+4）cm ，在 RtABD 中，由勾股定理： ，解22)4(8x得 x=6 则 AD=6cm（2） “直角三角形斜边上的高”是一个基本图形，利用面积公式，可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式： AEDB ADAB，解得 AE 4.8cm例 3（补充） 已知：如图，矩形 ABCD 中，E 是 BC 上一点，DF AE 于 F，若 AE=BC 求证：CEEF分析：CE、EF 分别是 BC，AE 等线段上的一部分，若 AFBE，则问题解决，而证明 AFBE，只要证明ABEDFA 即可，在矩形中容易构造全等的直角三角形证明： 四边形 ABCD 是矩形， B=90，

24、且 ADBC 1=2 DFAE， AFD=90 B=AFD又 AD=AE， ABEDFA（AAS ） AF=BE EF=EC此题还可以连接 DE，证明 DEFDEC，得到 EFEC18.2.1 矩形(二)一、教学目标：1理解并掌握矩形的判定方法2使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力二、重点、难点1重点：矩形的判定2难点：矩形的判定及性质的综合应用四、课堂引入 1什么叫做平行四边形？什么叫做矩形？2矩形有哪些性质？3矩形与平行四边形有什么共同之处？有什么不同之处？4事例引入：小华想要做一个矩形像框送给妈妈做生日礼物，于是找来两根长度相等的短木条和两

25、根长度相等的长木条制作，你有什么办法可以检测他做的是矩形像框吗？看看谁的方法可行？通过讨论得到矩形的判定方法矩形判定方法 1：对角钱相等的平行四边形是矩形矩形判定方法 2：有三个角是直角的四边形是矩形（指出：判定一个四边形是矩形，知道三个角是直角，条件就够了因为由四边形内角和可知，这时第四个角一定是直角 ）五、例习题分析例 1（补充）下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？（1）有一个角是直角的四边形是矩形； （）（2）有四个角是直角的四边形是矩形； （）（3）四个角都相等的四边形是矩形； （）10（4）对角线相等的四边形是矩形； （）（5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形； （）（6）对角

26、线互相平分且相等的四边形是矩形； （）（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形； （）（8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（）（9）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形 ()指出：（l）所给四边形添加的条件不满足三个的肯定不是矩形；（2）所给四边形添加的条件是三个独立条件，但若与判定方法不同，则需要利用定义和判定方法证明或举反例，才能下结论例 2 （补充）已知 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，AOB 是等边三角形，AB=4 cm，求这个平行四边形的面积分析：首先根据AOB 是等边三角形及平行四边形对角线 互相平分的性质判定出 ABCD 是矩形，再

27、利用勾股定理计算边长，从而得到面 积值解： 四边形 ABCD 是平行四边形， AO= AC，BO= BD21 AO=BO， AC=BD ABCD 是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形） 在 RtABC 中， AB=4cm， AC=2AO=8cm， BC= （cm） 3482例 3 （ 补 充 ） 已知：如图（1） ， ABCD 的四个内 角的平分线分别相交于点 E，F，G，H求证：四边形 EFGH 是矩 形分析：要证四边形 EFGH 是矩形，由于此题目可分 解出基本图形，如图（2） ，因此，可选用“三个角是直角的四边形是 矩形”来证明证 明 ： 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC DA

28、BABC=180又 AE 平 分 DAB，BG 平分ABC ， EABABG= 180=9021 AFB=90 同理可证 AED=BGC=CHD=90 四边形 EFGH 是平行四边形（有三个角是直角的四边形是矩形） 18.2.2 菱形（一）一、教学目的：1掌握菱形概念，知道菱形与平行四边形的关系112理解并掌握菱形的定义及性质 1、2；会用这些性质进行有关的论证和计算，会计算菱形的面积3通过运用菱形知识解决具体问题，提高分析能力和观察能力4根据平行四边形与矩形、菱形的从属关系，通过画图向学生渗透集合思想二、重点、难点1教学重点：菱形的性质 1、22教学难点：菱形的性质及菱形知识的综合应用 四、

29、课堂引入1（复习）什么叫做平行四边形？什么叫矩形？平行四边形和矩形之间的关系是什么？2 （引入）我们已经学习了一种特殊的平行四边形矩形，其实还有另外的特殊平行四边形，请看演示：（可将事先按如图做成的一组对边可以活动的教具进行演示）如图，改变平行四边形的边，使之一组邻边相等，从而引出菱形概念菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形【强调】 菱形（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等让学生举一些日常生活中所见到过的菱形的例子五、例习题分析例 1 （补充） 已知：如图，四边形 ABCD 是菱形，F 是 AB 上一点，DF 交 AC 于 E 求证：AFD=CBE 证明： 四边形 ABCD 是菱形，

30、 CB=CD， CA 平分BCD BCE=DCE又 CE=CE，12 BCECOB（SAS） CBE=CDE 在菱形 ABCD 中，ABCD， AFD=FDC AFD=CBE例 2 （教材 P108 例 2）略18.2.2 菱形（二）一、教学目的：1理解并掌握菱形的定义及两个判定方法；会用这些判定方法进行有关的论证和计算；2在菱形的判定方法的探索与综合应用中，培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力二、重点、难点1教学重点：菱形的两个判定方法2教学难点：判定方法的证明方法及运用四、课堂引入1复习（1）菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形； （2）菱形的性质 1 菱形的四条边都相等；性质 2

31、菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；（3）运用菱形的定义进行菱形的判定，应具备几个条件？（判定：2 个条件）2【问题】要判定一个四边形是菱形，除根据定义判定外，还有其它的判定方法吗？3 【探究】 （教材 P109 的探究）用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形转动木条，这个四边形什么时候变成菱形？通过演示，容易得到：菱形判定方法 1 对角线互相垂直的平行四边形是菱形注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直通过教材 P109 下面菱形的作图，可以得到从一般四边形直接判定菱形的方法：菱形

32、判定方法 2 四边都相等的四边形是菱形五、例习题分析例 1 （教材 P109 的例 3）略13例 2（补充）已知：如图 ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD、BC 分别交于 E、F求证：四边形 AFCE 是菱形证明： 四边形 ABCD 是平行四边形， AEFC 1=2又 AOE=COF，AO=CO， AOECOF EO=FO 四边形 AFCE 是平行四边形又 EFAC， AFCE 是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形 )例 3（选讲） 已知：如图，ABC 中， ACB=90，BE 平分ABC，CDAB与 D，EHAB 于 H，CD 交 BE 于 F求证：四边形 CEHF 为菱形

33、略证：易证 CFEH，CE=EH ，在 RtBCE 中， CBE+CEB=90，在 RtBDF 中，DBF+DFB=90，因为CBE=DBF， CFE=DFB，所以 CEB=CFE，所以 CE=CF所以，CF=CE=EH，CFEH，所以四边形 CEHF 为菱形18.2.3 正方形一、教学目的1掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算2理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别，通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育，提高学生的逻辑思维能力 二、重点、难点1教学重点：正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系 2教学难点：正方形与

34、矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用 四、课堂引入1做一做：用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正方形学生在动手做中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形 的关系问题：什么样的四边形是正方形？正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边 形叫做正方形指出：正方形是在平行四边形这个大前提下定义的，其定义包括了两层意： （1）有一组邻边相等的平行四边形 （菱形）（2）有一个角是直角的平行四边形 （矩形）142【问题】正方形有什么性质？由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质五、例习题分析例

35、 1（教材 P111 的例 4） 求证：正方形的两条对角线把正方形分成 四个全等的等腰直角三角形已知：四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC、BD 相交于点 O（如图） 求证：ABO、BCO、CDO、DAO 是全等的等腰直角三角形证明： 四边形 ABCD 是正方形， AC=BD， ACBD，AO=CO=BO=DO（正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分） ABO、BCO、CDO、DAO 都是等腰直角三角形，并且 ABO BCOCDODAO例 2 （补充）已知：如图，正方形 ABCD 中，对角线的交点 为 O，E 是OB 上的一点，DGAE 于 G，DG 交 OA 于 F求证：OE=OF分析

36、：要证明 OE=OF，只需证明AEODFO，由于正 方形的对角线垂直平分且相等，可以得到AOE=DOF=90 ，AO=DO，再 由同角或等角的余角相等可以得到EAO=FDO ，根据 ASA 可以得到这两 个三角形全等，故结论可得证明： 四边形 ABCD 是正方形， AOE=DOF=90，AO=DO （正方形的对角线垂直平分且相等） 又 DGAE， EAO+AEO=EDG+AEO=90 EAO=FDO AEO DFO OE=OF例 3 （补充）已知：如图，四边形 ABCD 是正方形，分别过点 A、C 两点15作 l1 l2，作 BM l1于 M，DN l1于 N，直线 MB、DN 分别交 l2于 Q、P 点求证：四边形 PQMN 是正方形分析：由已知可以证出四边形 PQMN 是矩形，再证ABMDAN，证出 AM=DN，用同样的方法证AN=DP即可证出 MN=NP从而得出结论证明： PN l1，QM l1， PNQM，PNM=90 PQNM， 四边形 PQMN 是矩形 四边形 ABCD 是正方形 BAD=ADC=90，AB=AD=DC（正方形的四条边都相等，四个角都是直角） 1+2=90又 3+2=90， 1=3 ABMDAN AM=DN 同理 AN=DP AM+AN=DN+DP即 MN=PN 四边形 PQMN 是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）同底上的两角相等得出它为等腰梯形