1、1专题 1.3 三角函数与平面向量一考场传真1. 【2017 课标 1，理 9】已知曲线 C1： y=cos x， C2： y=sin (2x+ 23)，则下面结论正确的是A把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 6个单位长度，得到曲线 C2B把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 12个单位长度，得到曲线 C2C把 C1上各点的横坐标缩短到原来的 12倍，纵坐标不变，再把得到的 曲线向右平移 6个单位长度，得到曲线 C2D把 C1上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 12个单位长度，
2、得到曲线 C2【答案】D2 【2017 课标 3，理 6】设函数 f(x)=cos(x+ 3)，则下列结论错误的是A f(x)的一个周期为2 B y=f(x)的图像关于直线 x= 83对称C f(x+ )的一个零点为 x= 6D f(x)在( 2, )单调递减【答案】 D【解析】函数的最小正周期为 21T ，则函数的周期为 2TkZ ，取 1k ，可得函数 fx 的一个周期为 ，选项 A 正确；函数的对称轴为 3x ，即：23xkZ ，取 3k 可得 y=f(x)的图像关于直线 x= 83对称，选项 B 正确；coscos3fx，函数的零点满足 2kZ ，即6xkZ，取 0k 可得 f(x+
3、)的一个零点为 x= 6，选项 C 正确；当 ,x 时，54,3，函数在该区间内不单调，选项 D 错误；故选 D.3 【2017 课标 3，理 12】在矩形 ABCD 中， AB=1， AD=2，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上.若AP= B+D，则 + 的最大值为A3 B2 C 5D2【答案】 A2154z ，解得 13z，所以 z的最大值是 3，即 的最大值是 3，故选 A.34 【2017 课标 II，理 12】已知 ABC是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则()PABC的最小是（ ）A. 2 B. 32 C. 43 D. 1【答案】B【解析】以
4、BC为 x轴， 的垂直平分线 AD为 y轴， 为坐标原点建立坐标，则 (0,3)A，(1,0)， (,)，设 (,)Py，所以 (,3)x， (1,)PBxy， 1PCxy所以 2,Px， 2223()(BPCy当 3(0,)时，所求的最小值为 32，故选 B. 5 【2017 课标 1，理 13】已知向量 a， b 的夹角为 60，| a|=2，| b|=1，则| a +2 b |= .【答案】 2346 【2017 课标 II，理 14】函数 23sincos4fxx（ 0,2）的最大值是 .【答案】1【解析】化简三角函数的解析式： 22 23131cosscos3scos144fxxxx
5、，由自变量的范围：0,可得： 0,1，当 时，函数 f取得最大值 1. 7 【2017 课标 1，理 17】 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 ABC 的面积为23sinaA（1）求 sinBsinC;（2）若 6cosBcosC=1， a=3，求 ABC 的周长.8【2017 课标 II，理 17】 ABC的内角 、 、 所对的边分别为 ,abc，已知 2sin8sinBAC，（1）求 cosB；（2）若 6a， 的面积为 2，求 b.【解析】(1)由题设及 AC， 2sin8iB，故 sin41cosB.上式两边平方，整理得217cos3s150B，解得
6、co1(舍去)， 5co7.（2）由 7得 8inB，故 ABC=si21Sa .又 ABC=2S ，则 17ac.由余弦定理5及 6ac得： 22cosbaB21cosacB1753624，所以b=2.9【2017 课标 3，理 17】 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c.已知 sin3cos0A ， a=27,b=2.（1）求 c；（2）设 D 为 BC 边上一点，且 ADAC,求 ABD 的面积.二高考研究【考纲解读】1.考纲要求考纲要求：三角函数：了解任意角、弧度制的概念，理解任意角三角函数的定义；理解同角三角函数的基本关系式，能用诱导公式进行化简求值证明；掌
7、握三角函 数的图像与性质，了解函数 xAysin的图像，了解参数,A对函数图像变化的影响；掌握和差角、二倍角公式，能运用公式进行简单的恒等变换；掌握正弦定理、余弦定理和面积公式，并能解决一些简单的三角形度量问题.平面向量：掌握向量的加法和减法，掌握实数与向量的积，解两个向量共线的充要条件，解平面向量基本定，解平面向量的坐标概念，掌握平面向量的坐标运算，掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处有关长度、角度和垂直问题，掌握向量垂直的条件. 【命题规律】6(1)高考对三角函数图象的考查主要包括三个方面：一是用五点法作图，二是图象变换，三是已知图象求解析式或求解析式中的参数的值
8、，常以选择题或填空题的形式考查(2)高考对三角函数性质的考查是重点，以解答题为主，考查 yAsin(x)的周期性、单调性、对称性以及最值等，常与平面向量、三角形结合进行综合考查，试题难度属中低档（3）三角恒等变换包括三角函数的概念，诱导公式，同角三角函数间的关系，和、差角公式和二倍角公式，要抓住这些公式间的内在联系，做到熟练应用.（4）解三角形既是对三角函数的延伸又是三角函数的主要应用，因此，在一套高考试卷中，既有选择题、填空题，还有解答题（5）平面向量的命题以客观题为主，主要考查平面向量的基本概念、向量的线性运算、向量的平行与垂直、向量的数量积，考查数形结合的数学思想，在解答题中常与三角函数
9、相结合，或作为解题工具应用到解析几何问题中.3学法导航 1. 已知函数 y Asin(x )(A0， 0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求 A；由函数的周期确定 ；确定 常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置2. 在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换变换只是相对于其中的自变量 x 而言的，如果 x 的系数不是 1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向3. 函数 y Asin(x )的性质及应用的求解思路：第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成 y As
10、in(x ) B 的形式；第二步：把“ x ”视为一个整体，借助复合函数性质求 y Asin(x ) B 的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题4. (1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现“张冠李戴”的情况(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解5关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则
11、都适用，同时要注意“三统一” ，即“统一角、统一函数、统一结构” ，这是使问题获得解决的突破口6(1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底，同时注意平面向量基本定理的灵活运用(2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系7数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算8在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量7平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决
12、此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题一基础知识整合基础知识：一基础知识整合1三角函数的图象及常用性质(表中 kZ)ysin x ycos x ytan x图象增区间 Error!，Error!Error!Error!Error!Error!减区间 Error!Error! 2k ， 2k 无对称轴 x k 2 x k 无对称中心(k，0) ( 2 k ， 0) (k2， 0)2.三角函数的两种常见变换(1)ysin x 向 左 ( 0)或 向 右 ( 0) 平 移 | |个 单 位ysin ( x ) y Asin(
13、x )(A0， 0) 纵 坐 标 变 为 原 来 的 A倍 横 坐 标 不 变ysin x 向 左 ( 0)或 向 右 ( 0) 平 移 | |个 单 位ysin( x ) y Asin (x )(A0， 0) 纵 坐 标 变 为 原 来 的 A倍 横 坐 标 不 变3正弦型函数 y Asin (x )的对称中心是函数图象与 x 轴的交点，对称轴是过函数图象的最高点或8者最低点且与 x 轴垂直的直线；正切型函数 y Atan(x )的图象是中心对称图形，不是轴对称图形.4三角形面积公式：(1) S aha(ha为 BC 边上的高)；(2) S absin C bcsin A acsin B；(
14、3)12 12 12 12S (R 为 ABC 外接圆的半径)；(4) S2 R2sin Asin Bsin C(R 为 ABC 外接圆的半径)；(5) S abc4R；(6) S (a b c)r pr(p (a b c)， r 为 ABC 内切圆的半p(p a)(p b)(p c)(p12(a b c) 12 12径)5四边形面积公式： S l1l2sin (l1， l2为对角线长， 为对角线夹角)126正弦定理及其变形： 2 R(2R 为 ABC 外接圆的半径)asin A bsin B csin C a b csin A sin B sin C7余弦定理： a2 b2 c22 bcco
15、s A， b2 a2 c22 accos B； c2 a2 b22 abcos C.8常用边角互化方法：sin A ；sin B ；sin C ；cos A ；a2R b2R c2R b2 c2 a22bccos B ；cos C .a2 c2 b22ac a2 b2 c22ab9平面向量中的四个基本概念(1)零向量模的大小为 0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为 0.(2)长度等于 1 个单位长度的向量叫单位向量，与 a 同向的单位向量为 .a|a|(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)(4)向量的投影：| b|cos a， b叫做向量 b 在向量 a 方向上的投影10平
16、面向量的两个重要定理：(1)向量共线定理：向量 a(a0)与 b 共线当且仅当存在唯一一个实数 ，使 b a.(2)平面向量基本定理：如果 e1， e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 1， 2，使 a 1e1 2e2，其中 e1， e2是一组基底11两非零向量平行、垂直的充要条件：设 a( x1， y1)， b( x2， y2)，则：(1)若 a ba b(b0)； a bx1y2 x2y10；(2)若 a bab0； a bx1x2 y1y20.12平面向量的三个性质：(1)若 a( x， y)，则| a| .(2)若 A(x1， y1)， B
17、(x2， y2)，则|aa x2 y2AB| .(3)若 a( x1， y1)， b( x2， y2)， 为 a 与 b 的夹角，(x2 x1)2 (y2 y1)2则 cos .ab|a|b| x1x2 y1y2x21 y21x2 y213平面向量的三个锦囊：(1)向量共线的充要条件： O 为平面上一点，则 A， B， P 三点共线的充要条件是OP 1 A 2 OB (其中 1 21)(2)三角形中线向量公式：若 P 为 OAB 的边 AB 的中点，9则向量 OP与向量 A， B的关系是 OP ( A B)(3)三角形重心坐标的求法： G 为 ABC 的重12心 0GCG .(xA xB xC
18、3 ， yA yB yC3 )二高频考点突破考点 1 三角函数的定义、同角三角函数基本关系式、诱导公式的应用【例 1】已知角 的顶点与原点 O重合，始边与 x轴的非负半轴重合， (2)(0Pm， 是角 终边上的一点，则 tan()4的值为 （ ）A.3 B.13C.13D. 3【答案】C【例 2】已知 1cosin2s，则 tan .【答案】 1【解析】 sitca1ta21【规律方法】1、利用三角函数定义将角的终边上点的坐标和三角函数值建立了联系，但是注意角的顶点在坐标原点，始边在 x 轴的非负半轴.2. 正、余弦三兄妹“ sinco、 sincox”的应用sincox与 i通过平方关系联系
19、到一起，即 2(sinco)1sincoxx，2(sc)1,x 21(i)sinco.x因此在解题中若发现题设条件有三者之一，就可以利用上述关系求出或转化为另外两个.sinco、的求值技巧：当已知 si4， cs4时，利用和、差角的三角函数公式展开后都含有 sx或 inco，这两个公式中的其中一个平方后即可求出 2sinco，根据同角三角函数的平方关系，即可求出另外一个，这两个联立即可求出 inco、 的值或者把 s、sinco与 22is=1联立，通过解方程组的方法也可以求出 i、 的值103.如何利用“切弦互化”技巧（1）弦化切：把正弦、余弦化成切得结构形式，这样减少了变量，统一为“切”得
20、表达式，进行求值. 常见的结构有: sin,co的二次齐次式（如 2 2sinicosab）的问题常采用“ 1”代换法求解； 的齐次分式（如 icd）的问题常采用分式的基本性质进行变形 （2）切化弦：利用公式 taso，把式子中的切化成弦.一般单独出现正切、余切的时候，采用此技巧.4温馨提示：（1）求同角三角函数有知一求三规律，可以利用公式求解，最好的方法是利用画直角三角形速解.（2）利用平方关系求三角函数值时，注意开方时要结合角的范围正确取舍“ ”号.5. 利用诱导公式求值：i.给角求值的原则和步骤：(1)原则：负化正、大化小、化到锐角为终了.(2)步骤：利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为 02:之间角的三角函数，然后求值，其步骤为：ii.给值求值的原则:寻求所求角与已知角之间的联系，通过相加或相减建立联系，若出现 2的倍数，则通过诱导公式建立两者之间的联系,然后求解.常见的互余与互补关系(1)常见的互余关系有： 3与 6； 3与 6； 4与 等. (2)常见的互补关系有： 与 2; 4与 等.遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换的思想方法解决问题.6. 利用诱导公式化简、证明
