1、第二讲 三角形的等积变形内容概述我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底高2从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积如果三角形的底不变，高越大（小） ，三角形面积也就越大（小） ；如果三角形的高不变，底越大（小） ，三角形面积也就越大（小） ；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化比如当高变为原来的 3 倍，底变为原来的 1/3，则三角形面积与原来的一样。这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的
2、情况下，可以有无数多个不同的形状在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： 等底等高的两个三角形面积相等若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍夹在一组平行线之间的等积变形，如下图， 和 夹在ACDB一组平行线之间，且有公共底边 那么 ；反之，如果S，则可知直线 平行于 。BCDASAB例题精讲【例 1】 如右图，BD 长 12 厘米，DC 长 4 厘米，B、C 和 D 在同一条直线长。 求三角形 ABC 的面积是三
3、角形 ABD 面积的多少倍？ 求三角形 ABD 的面积是三角形 ADC 面积的多少倍？分析：因为三角形 ABD、三角形 ABC 和三角形 ADC 在分别以 BD、BC 和 DC 为底时，它们的高都是从A 点向 BC 边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等。于是： 三角形 ABD 的面积=12 高2=6高三角形 ABC 的面积=（12+4）高2=8高三角形 ADC 的面积=4高2=2高AC DB所以，三角形 ABC 的面积是三角形 ABD 面积的 4/3 倍；三角形 ABD 的面积是三角形 ADC 面积的 3 倍。巩固理解结论：两个三角形等高时， 面积的倍数=底的倍数【例 2】 如右图，E
4、在 AD 上，AD 垂直 BC， AD=12 厘米，DE=3 厘米。 求三角形 ABC 的面积是三角形 EBC 面积的几倍？分析：因为 AD 垂直于 BC，所以当 BC 为三角形 ABC 和三角形 EBC 的底时，AD是三角形 ABC 的高，ED 是三角形 EBC 的高，于是： 三角形 ABC 的面积=BC122 = BC6三角形 EBC 的面积=BC32 = BC1.5 所以三角形 ABC 的面积是三角形 EBC 的面积的 4 倍。巩固理解结论：两个三角形等底时， 面积的倍数=高的倍数【例 3】用两种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形分析：法 1：如图（1） ，将 BC 边
5、四等分，连接各等分点，则ABD、ADE、AEF、AFC 面积相等。法 2：如图（2） ，D 是 BC 的二等分点，E 、F 是 AC、AB 的中点，从而得到四个等积三角形ADF 、BDF、DCE、ADE法 3：如图（3） ，D 是 BC 的四等分点，E 、F 是 AD 的三等分点，从而得到ABD 、AEC、ECF、FCD 面积相等。【例 4】如图，三角形 ABC 的面积是 24，D 、E 和 F 分别是 BC、AC 和 AD 的中点。求：三角形 DEF 的面积。分析：三角形 ADC 的面积是三角形 ABC 面积的一半 242=12，三角形 ADE 又是三角形 ADC 面积的一半 122=6。三
6、角形 FED 的面积是三角形 ADE 面积的一半，所以三角形 FED 的面积=62=3 。【例 5】 如右图所示，在平行四边形 ABCD 中，E 为 AB 的中点，AF=2CF，三角形 AFE(图中阴影部分)的面积为 8 平方厘米平行四边形的面积是多少平方厘米 ?分析：连结 FB.三角形 AFB 面积是三角形 CFB 面积的 2 倍，而三角形 AFB 面积是三角形 AEF 面积的 2倍，所以三角形 ABC 面积是三角形 AEF 面积的 3 倍；又因为平行四边形的面积是三角形 ABC 面积的 2倍，所以平行四边形的面积是三角形 AFE 面积的(32)=6 倍因此，平行四边形的面积为 8 6=48
7、(平方厘米)【例 6】 图中AOB 的面积为 15cm2，线段 OB 的长度为 OD 的 3 倍，求梯形ABCD 的面积.分析：【例 7】 如右图，在ABC 中，BD=2AD，AG=2CG，BE=EF=FC，求阴影部分面积占三角形面积的几分之几？分析：连结 BG，在ABG 中， SADG+ SBDE+SCFG【例 8】 如右图，把四边形 ABCD 改成一个等积的三角形分析：本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二是改成的三角形与原四边形面积相等我们可以利用三角形等积变形的方法，如右上图把顶点 A 移到2 AOB AODABDC2 C2 BOCD S15cmO=3SS15cS45c80m
8、在 中 ， 因 为 ， 且 ，所 以 有 ，因 为 和 等 底 等 高 ， 所 以 有从 而 ，在 中 ， ，所 以 梯 形 面 积 ： 。CB 的延长线上的 A处，A BD 与ABD 面积相等，从而 ADC 面积与原四边形 ABCD 面积也相等这样就把四边形 ABCD 等积地改成了三角形A DC问题是 A位置的选择是依据三角形等积变形原则过 A 作一条和 DB 平行的直线与 CB 的延长线交于 A点具体做法：连结 BD；过 A 作 BD 的平行线，与 CB 的延长线交于 A连结 AD，则ACD 与四边形 ABCD 等积【例 9】 如右图，ABCD 为平行四边形，EF 平行 AC，如果ADE
9、的面积为 4 平方厘米求三角形 CDF 的面积分析：连结 AF、CE，SADE= SACE；SCDF =SACF；又AC 与 EF 平行，SACE= SACF； SADE= SCDF=4（平方厘米） 【例 10】如右图，三角形 ABG 和三角形 ECF 是两个完全一样的直角三角形，AB=10，BC=7，ED=4。求四边形 EDGF 的面积。分析：因为三角形 ABC 与三角形 ECF 的面积相等，所以三角形 ABC小三角形 DCG =三角形 ECF-小三角形 DCG，所以，四边形 EDGF 的面积 =四边形 ABCD 的面积 =（10+6 ）72=56 。【例 11】正方形 ABCD 和正方形
10、CEFG，且正方形 ABCD 边长为 10厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？ 分析：法 1 ：三角形 BEF 的面积 = BEEF2，梯形 EFDC 的面积 =（EF+CD）CE2= BEE F2 = 三角形 BEF 的面积 ，而四边形 CEFH 是它们的公共部分，所以 三角形 DHF 的面积 = 三角形 BCH 的面积，进而可得 阴影面积 = 三角形 BDF 的面积 = 三角形 BCD 的面积 = 10102=50（平方厘米） 。法 2：连接 CF，那么 CF 平行 BD ，所以，阴影面积 = 三角形 BDF 的面积 = 三角形 BCD 的面积 =50（平方厘米）。附加题目【附 1】如右图
11、，四边形 ABCD 面积为 1，且AB=AE，BC=BF，DC=CG ， AD=DH求四边形 EFGH 的面积分析：连结 BD，将四边形 ABCD 分成两个部分 S1与 S2连结 FD，有 SFBD=SDBC=S2 ，所以 SCGF=SDFC=2S2同理 SAEH=2S1，因此 SAEH+SCGF=2S1+2S2=2（S1+S2）=21=2同理，连结 AC 之后，可求出 SHGD+SEBF=2 所以四边形 EFGH 的面积为 2+2+1=5（平方单位）【附 2】 如图，在 ABC 中，DC=3BD，DE=EA，若ABC 面积是 2，则阴影部分的面积是多少？ 分析：连结 FD，由 AE=ED 可
12、知：SAFE=SEFD，S AECS DCE由 DC=3BD，可知：SDCF=3SBDF因此SABC= （ 1+33）SBDF=7SBDF【附 3】 （北京市第八届“迎春杯”数学竞赛决赛）如右图 BE=1/3BC，CD=1/4AC，那么三角形 AED 的面积是三角形 ABC 面积的_.分析：图中，三角形 AEC 与三角形 ABC 的高相等，而 BE=1/3BC，于是 EC=2/3BC，32ABCE的 面 积三 角 形 的 面 积三 角 形又由于三角形 AED 与三角形 AEC 的高相等，而 CD=1/4AC,于是 AD=3/4AC,4ED的 面 积三 角 形 的 面 积三 角 形所以，三角形
13、AED 的面积=3/4三角形 AEC 的面积 =.=【附 4】 （北京市第一届 “迎春杯”刊赛）如右图.将三角形 ABC 的 BA 边延长32ABC三 角 形 的 面 积1三 角 形 的 面 积1 倍到 D，CB 边延长 2 倍到 E，AC 边延长 3 倍到 F.如果三角形 ABC 的面积等于 l，那么三角形 DEF 的面积是？分析：连结 AE、BF、CD(如右下图 ).由于三角形 AEB 与三角 ABC 的高相等，而底边 EB=2BC，所以三角形 AEB 的面积是 2.同理，三角形 CBF 的面积是 3，三角形 ACD 的面积是 1.类似地：三角形 AED 的面积= 三角形 AEB 的面积=
14、2.三角形 BEF 的面积 =2(三角形 CBF 的面积)=6.三角形 CFD 的面积 =3(三角形 ACD 的面积)=3.于是三角形 DEF 的面积等于三角形ABC、AEB、CBF、ACD、AED 、BEF、CFD 的面积之和，即 1+2+3+1+2+6+3=18.【附 5】 （第四届小数报数学竞赛初赛）如图，梯形 ABCD 被它的一条对角线 BD 分成了两部分三角形 BDC 的面积比三角形 ABD 的面积大 l0 平方分米已知梯形的上底与下底的长度之和是 15 分米，它们的差是 5 分米求梯形 ABCD 的面积分析：如右图，作 AB 的平行线 DE三角形 BDE 的面积与三角形 ABD 的
15、面积相等，三角形 DEC 的面积就是三角形 BDC 与三角形 ABD 的面积差(10平方分米)从而，可求出梯形高 (三角形 DEC 的高) 是：2105 = 4 （分米） ， 梯形面积是：1/2154=30(平方分米)【附 6】（北京市第四届“迎春杯”刊赛）下图中三角形 ABC 的面积为 1，其中AE=3AB，BD=2BC，那么三角形 BED 的面积是_.分析：连接辅 C 助线 E. (三角形 BCE 的面积 )(三角形 DCE 的面积)=BCCD=1 1，所以三角形 BCE 的面积等.于三角形 DCE 的面积.又因为(三角形 BCE 的面积)l=BEAB=2 1，所以三角形 BCE 的面积等
16、于 2.因此三角形 BDE 的面积等于 2+2=4.习题二1如图（1） ，在ABC 中，D 是 BC 中点，E 是 AD 中点，连结 BE、CE，那么与ABE 等积的三角形一共有哪几个三角形？ 解答：3 个。AEC、BED、DEC 。2如图（2） ，在平行四边形 ABCD 中，EF 平行 AC，连结 BE、AE、CF 、BF 那么与BEC 等积的三角形一共有哪几个三角形？解答：AEC、AFC、ABF。3如图（3） ，在梯形 ABCD 中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？解答：ABD 与ACD ， ABC 与DBC，ABO 与DCO 。4右图中两个正方形的边长分别是 6 厘米和
17、4 厘米，则图中阴影部分三角形的面积是（ ）平方厘米。解答：442=85如右图，D、E、F 分别是 BC、AD、BE 的三等分点，已知 SABC=27 平方厘米，求 SDEF解答：数学童话唐僧师徒摘桃子一天，唐僧命徒弟悟空、八戒、沙僧三人去花果山摘些桃子。不长时间，徒弟三人摘完桃子高高兴兴回来。师父唐僧问：“你们每人各摘回多少个桃子？ “ 八戒憨笑着说：“师父，我来考考你。我们每人摘的一样多，我筐里的桃子不到 100 个，如果 3 个 3个地数，数到最后还剩 1 个。你算算，我们每人摘了多少个？“沙僧神秘地说：“师父，我也来考考你。我筐里的桃子，如果 4 个 4 个地数，数到最后还剩 1 个。你算算，我们每人摘了多少个？“ 悟空笑眯眯地说：“师父，我也来考考你。我筐里的桃子，如果 5 个 5 个地数，数到最后还剩 1 个。你算算，我们每人摘多少个？“唐僧很快说出他们每人摘桃子的个数。你知道他们每人摘多少个桃子吗？
