1、 长春市普通高中 2017 届高三质量监测（四） 数学理科第卷（选择题，共 60 分）一、选择题（本大题包括 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上）1. i为虚数单位，则 234iiA. 0B. C. D. 1 2. 已知集合 2| Axx， 1|28xB,则 R()AB A. |4x B. 4 C. | D. 4或3. 已知函数2,()1xf，则函数 ()fx的值域为A. ,B. (,) C. 1,2 D. 4. 下面四个残差图中可以反映出回归模型拟合精度较好的为A. 图 1 B. 图 2 C. 图 3 D. 图
2、 4 5.公元 263 年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率 ，刘徽称这个方法为“割圆术” ，并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”下图是根据刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图.若运行该程序，则输出的 n的值为：（参考数据： 1.72， sin50.28， sin7.5013）A. 48B. 36C. 0 D. 246.将函数 ()cos2infxx的图象向左平移 8个单位后得到函数 ()Fx的图象，则下列说法中正确的是A. F是奇函数，最小值是 B. ()Fx是偶函数，最小值是 2 C. ()x
3、是奇函数，最小值是 2D. 是偶函数，最小值是否360sin2S是开始.1?输出 n结束2n7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A. 642 B. 4625 C. 4256 D. 4268. 二项式 10()x的展开式中， x项的系数是A. 52 B. C. D. 1 9. 据统计，某城市的火车站春运期间日接送旅客人数 X（单位：万）服从正态分布 2(6,0.8)XN，则日接送人数在 6万到 .8万之间的概率为（ (|)02PX, (|2)0.954PX, (|3)0.974P）A. . B. .954 C. 7 D. 110. 球面上有 A， B， C三点，球心 O到平面 A
4、BC的距离是球半径的 ，且 2AB， CB，则球 O的表面积是A. 81 B. 9 C. 814 D. 94 11. 已知 1F， 2是双曲线 C：21(0,)xyabb的两个焦点， P是双曲线 C上一点，若12|6Pa，且 1P最小内角的大小为 3，则双曲线 C的渐近线方程是A. 0xy B. C. 2xy D. 20xy12.已知函数 2()(ln)xefkx，若 是函数 ()f的唯一极值点，则实数 k的取值范围为A. , B. , C. (,e D. 0,e 第卷（非选择题，共 90 分）本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22 题23
5、题为选考题，考生根据要求作答.二 、 填 空 题 (本 大 题 包 括 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 20 分 ， 把 正 确 答 案 填 在 答 题 卡 中 的 横 线 上 ).13. 已知实数 ,xy满足条件 21xy ，则 zyx的最小值为_.14. 若非零向量 ,ab满足 |ba，则向量 a与 b夹角的余弦值为_.15. 已知在锐角 ABC中，角 ， ， C的对边分别是 ， ， c， 2sin3aBb， 2， 3c，AD是角 的平分线， D在 上，则 B_.16. 有甲、乙二人去看望高中数学张老师，期间他们做了一个游戏，张老师的生日是 m月 n日，张老师把m告诉了甲，把
6、n告诉了乙，然后张老师列出来如下 10 个日期供选择：2 月 5 日，2 月 7 日，2 月 9 日，5 月 5 日，5 月 8 日，8 月 4 日，8 月 7 日，9 月 4 日，9 月 6 日，9 月 9 日.看完日期后，甲说“我不知道，2222正视图 侧视图俯视图但你一定也不知道” ，乙提听了甲的话后，说“本来我不知道，但现在我知道了” ，甲接着说， “哦，现在我也知道了”.请问张老师的生日是_.三、解答题（本大题包括 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17.（本小题满分 12 分）等差数列 na的前 项和为 nS，数列 nb是等比数列，满足 13a， 1
7、b， 2S10，523b. (1)求数列 n和 b的通项公式；(2) 若,nScb为，设数列 nc的前 项和为 nT，求 2n.18. （本小题满分 12 分）某市对大学生毕业后自主创业人员给予小额贷款补贴，贷款期限分为 6个月、 12个月、 8个月、24个月、 36个月五种，对于这五种期限的贷款政府分别补贴 20元、 3元、 0元、 4元、 0元，从 2016 年享受此项政策的自主创业人员中抽取了 1人进行调查统计，选取贷款期限的频数如下表：贷款期限 个月 12个月 8个月 4个月 个月频数 2040201010以上表中各种贷款期限的频数作为 2017 年自主创业人员选择各种贷款期限的概率.
8、(1)某大学 2017 年毕业生中共有 3 人准备申报此项贷款，计算其中恰有两人选择贷款期限为 2个月的概率；(2)设给某享受此项政策的自主创业人员补贴为 X元，写出 的分布列；该市政府要做预算，若预计2017 年全市有 60人申报此项贷款，则估计 2017 年该市共要补贴多少万元.19. （本小题满分 12 分）如图，四棱柱 1ABCD中，底面 ABCD为菱形， 1A底面 BCD， E为 1的中点.1A（1）证明：平面 CE平面 ABD；（2）若二面角 D为 60， 1，求三棱锥 CAED的体积.1 1EB20. （本小题满分 12 分）如图，在矩形 ABCD中， |=4， |2A， O为
9、B中点， P,Q分别是 AD和 C上的点，且满足 |PQ，直线 与 P的交点在椭圆 E：21(0)xyab上.(1)求椭圆 E的方程;(2)设 R为椭圆 的右顶点， M为椭圆 E第一象限部分上一点，作 MN垂直于 y轴，垂足为 N，求梯形 OMN面积的最大值.21. （本小题满分 12 分）已知函数 2()axfe.（1）当 0时，讨论函数 ()f的单调性；（2）在(1)条件下，求函数 x在区间 0,1上的最大值；（3）设函数 ln()2xge，求证：当 a，对 (0,1)x， g()2xf恒成立.请考生在 22、23 中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22. （本小题满分 10
10、 分）选修 44：坐标系与参数方程选讲.在平面直角坐标系中，以原点 O为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 1C的极坐标方程为22(13sin)，曲线 2C： cosiny（ 为参数）.（1）求曲线 1的直角坐标方程和 2的普通方程；（2）极坐标系中两点 1020(,)(,)AB都在曲线 1C上，求 21的值.23. （本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲.(1)已知函数 ()|fxxa（ ） ，若不等式 ()5fx 的解集为 |23xx为 ，求a的值；yPCABx(2) 已知实数 ,abcR，且 abcm，求证： 1192abcam .长春市普通高中 2017 届高三质量监
11、测（四）数学（理科）参考答案与评分标准一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1. A 【命题意图】本题考查复数的基本概念及运算. 【试题解析】A 由 21i可知，原式 10i. 故选 A.2. B【命题意图】本题考查集合交、补运算 .【试题解析】B 由 |4Ax或 ， |4Bx，故 ()|4R. 故选 B. 3. B【命题意图】本 题 考 查 分 段 函 数 的 图 像 与 性 质 .【试题解析】B 根据分段函数的 ()f的图像可知，该函数的值域为 (1,). 故选 B.4. A【命题意图】本 题 考 查 统 计 学 中 残 差 图 的 概 念 . 【试题解析】A 根
12、据残差图显示的分布情况即可看出图 1 显示的残差分布集中，拟合度较好，故选A.5. D【命题意图】本题依据中华传统文化算法割圆术考查程序框图.【试题解析】D 运行算法可获得结果 24，故选 D. 6. C【命题意图】本题主要考查三角变换公式与三角函数的图像与性质. 【试题解析】C 由 ()cos2in2cos()4fxxx，则()2cos()in84Fx. 故选 C. 7. D【命题意图】本题考查三视图 .【试题解析】D 由图形补全法，将图形补全为长方体，进而获得该几何体的直观图，再求得该几何体的表面积为： 11122234262S. 故选 D. 8. B【命题意图】本题考查二项式相关问题 .
13、 【试题解析】B 10()2x的展开式中， x的系数是 731015()22xCx. 故选 B. 9. D【命题意图】本题主要考查正态分布的相关知识 . 【试题解析】D .682(6)34P . 故选 D. 10. B【命题意图】本 题 主 要 考 查 球 内 的 几 何 体 的 相 关 性 质 . 【试题解析】B 由 题 可 知 AB为 C的 直 径 ， 令 球 的 半 径 为 R， 则 22()3， 可 得32R， 则 球 的 表 面 积 为 249SR. 故选 B. 11. A【命题意图】本题考查双曲线的定义 . 【试题解析】A 不妨设 12|PF，则 12|6PFa，则 1|4PFa，
14、 2|，且12|Fc，即 2|PF为最小边，即 1230PF，则 12PF为直角三角形，且 23ca，即渐近线方程为 yx，故选 A. 12. A【命题意图】本题是考查函数与导数的应用问题 . 【试题解析】A 已知 2()(ln)xefkx，则 3()()xfek ，当 0x时， 0xek 恒成立，因此 e . 故选 A. 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）简答与提示：13. 2【命题意图】本题考查线性规划的相关知识.【试题解析】由题意可先画出可行域，再由目标函数的几何意义，判断最优解为 (1,0)故， z的最小值为 . 14. 14【命题意图 】本题考查向量的运算
15、和几何意义 .【试题解析】由题意 222|abab，则 2a+|，即 2|cosab，故 1cos4.15. 375【命题意图 】本题考查解三角形的问题 .【试题解析】由正弦定理可得 2sin3sinAB，可得 3A，由余弦定理可得 7BC，再根据角分线定理可知， 375BD. 16. 8 月 4 日【命题意图】本题考查学生的逻辑推理能力. 【试题解析】根据甲说“我不知道，但你一定也不知道” ，可排除 5 月 5 日、5 月 6 日、9 月 4 日、9 月 6 日、9 月 9 日；乙听了甲的话后，说“本来我不知道，但现在我知道了” ，可排除 2 月 7 日、8 月 7 日；甲接着说“哦，现在我
16、也知道了” ，现在可以得知张老师生日为 8 月 4 日.三、解答题17.(本小题满分 12 分)【命题意图】本题考查等差数列、等比数列的相关知识. 【试题解析】(1)设等差数列 na的公差为 d，等比数列 nb的公比为 q. 125233,10,abSb=+=-Q4qd-（2 分）,（4 分）12nnab-（6 分）（2）由（1）知， (32)(2)Sn+=+（8 分）1,ncn-=为 奇 数为 偶 数（9 分）135212 1( )(2)352nnTn-+-+213n+=-. （12 分）18. (本小题满分 12 分)【命题意图】本小题主要考查学生对概率统计知识的理解，同时考查学生的数据处
17、理能力.【试题解析】(1)由题意知，每人选择贷款期限为 12 个月的概率为 25， （2 分）所以 3 人中恰有 2 人选择此贷款的概率为 236()51PC=（6 分）(2)由题意知，享受补贴 200 元的概率为 1,享受补贴 300 元的概率为 23P=，享受补贴 400 元的概率为 35，即随机变量 X的分布列为 （9 分）X 200 300 400P 1351（10 分）20940()355EX=+=， 6080w=元. 所以，2017 年政府需要补贴全市 600 人补贴款 18 万元. （12 分）19.(本小题满分 12 分)【命题意图】本题以四棱柱为载体，考查平面与平面垂直，以及
18、二面角、体积等问题. 【试题解析】 （）证明：连接 BD，设 AC与 的交点为 F，连接 E，因为 E为 1BD中点， F为 中点，所以 1/EB，所以 平面 ABCD，又因为 在平面 AC内，所以平面 平面 . （6 分）（）由于四边形 是菱形，所以以 为坐标原点，分别以 ， ， E为 ,xyz轴，建立空间直角坐标系，设 Fa， b，有 21a，(,0)A， (,0)， (,)D，(0,)2E，有1(,0)2Aa， (,0)ADab，设平面 的法向量为 1nb，平面 ACE 的法向量为 n， （8 分）由题意知122|cos6|,n ，解得b. （10 分）所以菱形 ABC为正方形，所以三棱
19、锥 DE的体积132VEFADC. （12 分）20.(本小题满分 12 分)【命题意图】本小题考查椭圆的标准方程及面积最值问题，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.【试题解析】 （）设 Q于 BP交点 为 (,)xy， 1(,)P， 1(,)Qx，由题可知，1 112,424yxyyx， （4 分）从而有 ，整理得 2，即为椭圆方程. （6 分）（） (2,0)R，设 0(,)Mxy，有 2001x，从而所求梯形面积 01(2)Sxy2201(4)x， （8 分）令 02,4txt， 3t，令 322()u， （10 分）当 (,)t时， 34t单调递增，当 4时， 单调递减，所以当 3t
20、时 S取最大值 34. （12 分）21.(本小题满分 12 分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性等，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】 （） 2()axfe，令 ()0fx可得， x或 2a.（2 分）又 0a，则可知 在 ,0和 (,上单调递减；在 ,上单调递增. （4 分）（）在（）条件下，当 1a ，即 2a 时， ()fx在 1上单调递增，则 ()fx最大值为 ()fe； （6 分）当 21a，即 2时， ()fx在 0,单调递增，在 2(,)上单调递减，则 ()f的最大值为 24a. （9 分）（）要证 ()gxf，即
21、证 3ln()xe， （10 分）令 3()2he，则 22(1)xhx x，又 0,1，可知在 0,1内存在极大值点，又 0h， e，则 x在 (,)上恒大于 2， （11 分）而 ln在 上恒小于 2，因此 ()gxf在 (,)x上恒成立. （12 分）22. (本小题满分 10 分)【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化.【试题解析】 （）由题意可知21:,4xCy22:()4xy. （5 分）（）由点 ,AB在曲线 上，则212043sin， 2203sin()，20213sin，20213cos，因此2021i1co544. （10 分）23.(本小题满分 10 分)【命题意图】本小题主要考查含绝对值不等式以及不等式证明的相关知识，本小题重点考查考生的化归与转化思想.【试题解析】 （） 因为 0a，所以21,()|1|=,xafxx ， 又因为不等式 ()5fx 的解集为 |2x 或 3x ，解得 2a. （5 分）（）11()()1 bcabcabcm2am=3 92ccabab（10 分）
